【教學(xué)設(shè)計(jì)】《空間幾何體的直觀圖》(人教版)-1

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1、 《空間幾何體的直觀圖 》 ◆ 教材分析 “空間幾何體的直觀圖” 只介紹了最常用的、 直觀性好的斜二測(cè)畫法。 用斜二測(cè)畫法畫 直觀圖，關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體直觀圖的基礎(chǔ)。 因此， 教科書安排了兩個(gè)例題， 用以說(shuō)明畫水平放置的平面圖形直觀圖的方法和步驟。 在教 學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)

2、的位置。 因?yàn)? 多邊形頂點(diǎn)的位置一旦確定， 依次連接這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來(lái)， 因此平面多邊形水平放 置時(shí)， 直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。 而在平面上確定點(diǎn)的位置， 可以借助 于平面直角坐標(biāo)系， 確定了點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定點(diǎn)的位置。 因此，畫水平放置的平面直角坐 標(biāo)系應(yīng)當(dāng)是學(xué)生首先要掌握的方法。 值得注意的是直觀圖的教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生正確把握?qǐng)D形尺寸大小之間的關(guān)系；另外， 教學(xué)中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片， 讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形。 ◆ 教學(xué)目標(biāo)

3、 【知識(shí)與能力目標(biāo)】 （ 1）掌握斜二測(cè)畫法畫水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖。 （ 2）采用對(duì)比的方法了解在平行投影下面空間圖形與在中心投影下面空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)。 【過(guò)程與方法目標(biāo)】 學(xué)生通過(guò)觀察和類比，利用斜二測(cè)畫法畫出空間幾何體的直觀圖。 【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】 （ 1）提高空間想象力與直觀感受。 （ 2）體會(huì)對(duì)比在學(xué)習(xí)中的作用。 （ 3）感受幾何作圖在生產(chǎn)活動(dòng)中的應(yīng)用。 ◆ 教學(xué)重難點(diǎn) ◆ 【教學(xué)重點(diǎn)】 用斜二測(cè)畫法畫空間幾何

4、體的直觀圖。 【教學(xué)難點(diǎn)】 直觀圖和三視圖的互化。 ◆ 課前準(zhǔn)備 ◆ 多媒體課件 ◆ 教學(xué)過(guò)程 （一）導(dǎo)入新課 出示幻燈片 3( 浙江省臺(tái)州的斑馬線披上的“立體彩裝” ) 問(wèn)題：左圖的斑馬線為什么會(huì)有立體的感覺？如何把立體圖形畫在紙上？ 由此引入“直觀圖”的概念 教師指出： 很多圖片都是空間圖形在平面上的反映， 通過(guò)對(duì)圖片的研究可以了解空間圖 形的一些性質(zhì)和特征。 三視圖是用平面圖形表示空間圖形的一種重要方法， 但三視圖的直觀

5、 性較差， 因此有必要繪制空間圖形的直觀圖。 一般采用中心投影或平行投影。 中心投影雖然 可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖較復(fù)雜，又不易度量。立體幾何中常用平行投影 ( 斜 投影 ) 來(lái)畫空間圖形的直觀圖，這種畫法叫做斜二測(cè)畫法。 （出示幻燈片 5，介紹投影規(guī)律） （二）課堂探究 1 、水平放置的平面圖形的畫法 思考 1: 把一個(gè)矩形水平放置，從適當(dāng)?shù)慕嵌扔^察，給人以平行四邊形的感覺，如圖。 比較兩圖，其中哪些線段之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？ 思考 2: 把一個(gè)直角梯形水平放置，得其直觀圖如圖，比

6、較兩圖，其中哪些線段之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？ 思考 3: 畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖中各頂點(diǎn)的位置，我 們可以借助平面坐標(biāo)系解決這個(gè)問(wèn)題。 那么在畫水平放置的直角梯形的直觀圖時(shí)應(yīng)如何操 作？ 活動(dòng)：學(xué)生觀察幻燈片上的圖片，思考，交流討論回答思考 1、 2 中的問(wèn)題，并結(jié)合前 兩副圖獲得的直觀認(rèn)知， 嘗試解決思考 3 中的問(wèn)題， 教師給予評(píng)價(jià)。 在此基礎(chǔ)之上再進(jìn)一步 學(xué)習(xí)水平放置的正六邊形的直觀圖畫法。 例１、用斜二測(cè)畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖。 活動(dòng)：教師

7、首先示范畫法，并讓學(xué)生思考斜二測(cè)畫法的關(guān)鍵步驟 , 讓學(xué)生發(fā)表自己的見 解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng)。 討論結(jié)果：①畫法： 1如圖 1（ 1），在正六邊形 ABCDEF中，取 AD所在直線為 x 軸，對(duì)稱軸 MN所在直線為 y 軸，兩軸相交于點(diǎn) O。在圖 1(2) 中，畫相應(yīng)的 x′軸與 y′軸，兩軸相交于點(diǎn) O′，使∠ x′ O′ y′ =45。 2 在圖 1(2) 中，以 O′為中點(diǎn)， 在 x′軸上取 A′ D′ =AD，在 y′軸上取 M′N′ = 1 2 MN。以點(diǎn) N′為中點(diǎn)畫 B′C′平行于 x′軸， 并且等于 BC；再以 M′為中點(diǎn)畫 E′

8、F′平行于 x′軸，并且等于 EF。 3 連接 A′ B′， C′ D′， D′ E′， F′ A′，并擦去輔助線 x′軸和 y′軸，便獲得正六邊形 ABCDEF水平放置的直觀圖 A′ B′ C′D′ E′ F′〔圖 1(3) 〕。 圖 1 ②步驟是： 1在已知圖形中取互相垂直的 x 軸和 y 軸，兩軸相交于點(diǎn) O。畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的 x′軸與 y′軸， 兩軸交于點(diǎn) O′， 且使∠ x′ O′ y′=45 ( 或 135 ) ，它們確定的平面表示水平面。 2已

9、知圖形中平行于 x 軸或 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 x′軸或 y′軸的 3已知圖形中平行于 x 軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸的線段， 長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。 思考 4: 斜二測(cè)畫法可以畫任意多邊形水平放置的直觀圖，如果把一個(gè)圓水平放置，看起來(lái)像什么圖形？在實(shí)際畫圖時(shí)用什么方法？ 2、 空間幾何體的直觀圖的畫法 思考 1: 對(duì)于柱、 錐、臺(tái)等幾何體的直觀圖， 可用斜二測(cè)畫法或橢圓模板畫出一個(gè)底面， 我們能否再用一個(gè)坐標(biāo)確定底面外的點(diǎn)的位置？ （由此引入空間直角坐標(biāo)系，教

10、師強(qiáng)調(diào)三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系。 ） 例 2、用斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)、 寬、高分別是 4 cm、3 cm、2 cm的長(zhǎng)方體 ABCD-A′ B′ C′D′ 的直觀圖。 活動(dòng)：讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng)。 討論結(jié)果：③畫法：1畫軸。如圖 2，畫 x 軸、y 軸、z 軸，三軸相交于點(diǎn) O，使∠ xOy=45， ∠ xOz=90。 圖 2 2畫底面。以點(diǎn) O為中點(diǎn)，在 x 軸上取線段 MN，使 MN=4 cm;在 y 軸上取線段 PQ，使 PQ=3

11、cm。分別過(guò)點(diǎn) M和 N作 y 軸的平行線，過(guò)點(diǎn) P 和 Q作 x 軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分 2 別為 A、 B、 C、 D，四邊形 ABCD就是長(zhǎng)方體的底面 ABCD。 3畫側(cè)棱。過(guò) A、B、C、D各點(diǎn)分別作 z 軸的平行線，并在這些平行線上分別截取 2 cm 長(zhǎng)的線段 AA′、 BB′、 CC′、 DD′。 4成圖。順次連接 A′、 B′、 C′、 D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分 改為虛線），就得到長(zhǎng)方體的直觀圖。 點(diǎn)評(píng)： 畫幾何體的直觀圖時(shí)，如果不作嚴(yán)格要求， 圖形尺寸可以適當(dāng)選取， 用斜二測(cè)畫 法畫圖的角

12、度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感。 思考 2: 畫棱柱、棱錐的直觀圖大致可分幾個(gè)步驟進(jìn)行？ 討論結(jié)果： 畫幾何體的直觀圖時(shí)還要建立三條軸， 實(shí)際是建立了空間直角坐標(biāo)系， 而畫 水平放置平面圖形的直觀圖實(shí)際上建立的是平面直角坐標(biāo)系。畫幾何體的直觀圖的步驟是： 畫軸 畫底面畫側(cè)棱 成圖，具體步驟如下 1 在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸 Ox、Oy，再作 Oz 軸， 使∠ xOy=90 , ∠ yOz=90。 2 畫出與 Ox、Oy、Oz 對(duì)應(yīng)的軸 O′x′、 O′y′、O′ z′，使∠ x

13、′O′ y′ =45， ∠ y′ O′ z′ =90 ,x ′ O′ y′所確定的平面表示水平平面。 3 已知圖形中， 平行于 x 軸、 y 軸和 z 軸的線段， 在直觀圖中分別畫成平行于 x′ 軸、 y′軸和 z′軸的線段，并使它們?cè)谒嬜鴺?biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同。 4 已知圖形中平行于 x 軸和 z 軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸 的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。 5 擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖。斜二測(cè)畫法的作圖技巧 : 1 在已知

14、圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖 時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系， 盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱直線為坐標(biāo)軸或 圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸等。 2 在原圖中與 x 軸或 y 軸平行的線段在直觀圖中依然與 x′軸或 y′軸平行，原圖 中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線， 畫端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助 線。原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)， 利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后， 用平 滑的曲線連接而畫出。 3 在畫一個(gè)水平放置的平

15、面時(shí)，由于平面是無(wú)限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個(gè)水平平面的直觀圖。 例 3 已知幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖。 圖 4 活動(dòng)：讓學(xué)生由三視圖還原為實(shí)物圖，并判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征。 教師分析： 由幾何體的三視圖知道， 這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體， 它的下部是一個(gè)圓 柱，上部是一個(gè)圓錐， 并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合。 我們可以先畫 出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐。 解：畫法

16、： （1）畫軸。如圖 5（ 1），畫 x 軸、 y 軸、 z 軸，使∠ xOy=45 , ∠ xOz=90。 (1) (2) 圖 5 （2）畫圓柱的兩底面，仿照例 2 畫法，畫出底面⊙ O。在 z 軸上截取 O′，使 OO′等于三視 圖中相應(yīng)高度，過(guò) O′作 Ox 的平行線 O′ x′ ,Oy 的平行線 O′y′ , 利用 O′ x′與 O′y′畫出底面⊙ O′（與畫⊙ O一樣）。 （3）畫圓錐的頂點(diǎn)。在  Oz 上截取點(diǎn)  P，使

17、  PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度。 （4）成圖。連接  PA′，PB′，A′A，B′ B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖  〔圖  5(2)  〕。 點(diǎn)評(píng)： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖。同時(shí)，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖。 （三）課堂訓(xùn)練 1、已知一個(gè)四邊形 ABCD的水平放置的直觀圖 A′ B′ C′ D′是一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形， 請(qǐng) 畫出這個(gè)圖形的真是圖形，并計(jì)算真是圖形的面積。

18、 2、一個(gè)四邊形的直觀圖是邊長(zhǎng)為 a 的正方形，則原圖形的面 積是。 3、（ 2012濟(jì)南高一檢測(cè)）利用斜二測(cè)畫法得到的 （ 1）三角形的直觀圖是三角形。 （ 2）平行四邊形的直觀圖是平行四邊形。 （ 3）正方形的直觀圖是正方形。 （ 4）菱形的直觀圖是菱形。以上結(jié)論，正確的是 ( ) A、 (1)(2) B 、 (1) C、 (3)(4) D 、 (1)(2)(3)(4) 4、如圖，一個(gè)平面圖形的水平放置的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)等 腰梯形， 它的底角為 45，兩腰和上底邊長(zhǎng)均為 1，求這個(gè)平 面圖形的面積。 （七）作業(yè) 習(xí)題 1、 2 A 組 第 5、6 題。 ◆ 教學(xué)反思 略。