2019-2020年高三數學一輪復習 專項訓練 等差數列(含解析).doc
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2019-2020年高三數學一輪復習 專項訓練 等差數列(含解析) 1、在等差數列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求數列{an}的通項公式; (2)若數列{an}的前k項和Sk=-35,求k的值. 解 (1)設等差數列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3. 解得d=-2.從而,an=1+(n-1)(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n. 所以Sn==2n-n2. 進而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或-5. 又k∈N*,故k=7為所求. 2、知等差數列{an}滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項的和S10=( ). A.85 B.135 C.95 D.23 解析:設等差數列{an}的首項為a1,公差為d, 則解得 ∴S10=10(-4)+3=95. 考點二:等差數列的判定與證明 1、若數列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=. (1)求證:成等差數列; (2)求數列{an}的通項公式. (1)證明 當n≥2時,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2, 又==2,故是首項為2,公差為2的等差數列. (2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=. 當n≥2時, an=Sn-Sn-1=-==-. 當n=1時,a1=不適合上式. 故an= 2、已知數列{an}滿足:a1=2,an+1=3an+3n+1-2n. 設bn=.證明:數列{bn}為等差數列,并求{an}的通項公式. 證明 ∵bn+1-bn=-=-=1, ∴{bn}為等差數列,又b1==0. ∴bn=n-1,∴an=(n-1)3n+2n. 考點三 等差數列的性質及應用 1、(1)設Sn為等差數列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( ). A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)在等差數列{an}中,前m項的和為30,前2m項的和為100,則前3m項的和為________. 解析 (1)S8=4a3?=4a3?a3+a6=a3,∴a6=0,∴d=-2,∴a9=a7+2d=-2-4=-6. (2)記數列{an}的前n項和為Sn,由等差數列前n項和的性質知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,則2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m),又Sm=30,S2m=100,S2m-Sm=100-30=70,所以S3m-S2m=2(S2m-Sm)-Sm=110,所以S3m=110+100=210. 答案 (1)A (2)210 2、已知等差數列{an}中,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=________. 解析 ∵{an}為等差數列, ∴S3,S6-S3,S9-S6成等差數列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6). ∴a7+a8+a9=S9-S6 =2(S6-S3)-S3 =2(36-9)-9=45. 答案:45 3、(1)(xx遼寧卷)在等差數列{an}中,已知a4+a8=16,則該數列前11項和S11=( ). A.58 B.88 C.143 D.176 (2)(xx北京卷)若等比數列{an}滿足:a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=________;前n項和Sn=________. 解:(1)由a1+a11=a4+a8=16,得 S11====88. (2)由已知,得==q=2, 又a1=2,所以Sn==2n+1-2. 4.記Sn為等差數列{an}前n項和,若-=1,則其公差d=( ). A. B.2 C.3 D.4 解析 由-=1,得-=1, 即a1+d-=1,∴d=2. 答案 B 5.在等差數列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于( ). A.21 B.30 C.35 D.40 解析 由題意得3a6=15,a6=5.所以a3+a4+…+a9=7a6=75=35. 答案 C 6.在等差數列{an}中,首項a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,則m的值為( ). A.37 B.36 C.20 D.19 解析 由am=a1+a2+…+a9,得(m-1)d=9a5=36d?m=37. 答案 A 7.{an}為等差數列,Sn為其前n項和,已知a7=5,S7=21,則S10=( ). A.40 B.35 C.30 D.28 解析 設公差為d,則由已知得S7=,即21=,解得a1=1,所以a7=a1+6d,所以d=.所以S10=10a1+d=10+=40. 答案 A 8.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,滿足a13=S13=13,則a1=( ). A.-14 B.-13 C.-12 D.-11 解析 在等差數列中,S13==13,所以a1+a13=2,即a1=2-a13=2-13=-11. 答案 D 9.在等差數列{an}中,a15=33,a25=66,則a35=________. 解析 a25-a15=10d=66-33=33,∴a35=a25+10d=66+33=99. 答案 99 10.已知等差數列{an}的首項a1=1,前三項之和S3=9,則{an}的通項an=________. 解析 由a1=1,S3=9,得a1+a2+a3=9,即3a1+3d=9,解得d=2,∴an=1+(n-1)2=2n-1. 答案 2n-1 11.若等差數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),若a2∶a3=5∶2,則S3∶S5=________. 解析?。剑剑剑? 答案 3∶2 12.已知等差數列{an}的公差d=1,前n項和為Sn. (1)若1,a1,a3成等比數列,求a1; (2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍. 解 (1)因為數列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數列,所以a=1(a1+2),即a-a1-2=0,解得a1=-1或2. (2)因為數列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>a+8a1,即a+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 故a1的取值范圍是(-5,2). 10.設數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an=+2(n-1)(n∈N*). (1)求證:數列{an}為等差數列,并求an與Sn. (2)是否存在自然數n,使得S1+++…+-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,請說明理由. 證明 (1)由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*). 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 即an-an-1=4, 故數列{an}是以1為首項,4為公差的等差數列. 于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(n∈N*). (2)由(1),得=2n-1(n∈N*), 又S1+++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1. 令2n-1=2 015,得n=1 008, 即存在滿足條件的自然數n=1 008. 13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,則n=( ). A.12 B.14 C.16 D.18 解析 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80, S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以4(a1+an)=120, a1+an=30, 由Sn==210,得n=14. 答案 B 14.等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當Sn最大時,n的值是( ). A.5 B.6 C.7 D.8 解析;由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據等差數列的性質,可得a7+a8=0,根據首項等于13可推知這個數列遞減,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時,Sn最大. 答案 C 15.正項數列{an}滿足:a1=1,a2=2,2a=a+a(n∈N*,n≥2),則a7=________. 解析 因為2a=a+a(n∈N*,n≥2), 所以數列{a}是以a=1為首項,以d=a-a=4-1=3為公差的等差數列, 所以a=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=,n≥1. 所以a7==. 答案 16.已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn,且滿足a3a4=117,a2+a5=22. (1)求數列{an}的通項公式; (2)若數列{bn}滿足bn=,是否存在非零實數c使得{bn}為等差數列?若存在,求出c的值;若不存在,請說明理由. 解 (1)設等差數列{an}的公差為d,且d>0,由等差數列的性質,得a2+a5=a3+a4=22, 所以a3,a4是關于x 的方程x2-22x+117=0的解,所以a3=9,a4=13,易知a1=1,d=4,故通項為an=1+(n-1)4=4n-3. (2)由(1)知Sn==2n2-n,所以bn==. 所以b1=,b2=,b3=(c≠0). 令2b2=b1+b3,解得c=-. 當c=-時,bn==2n, 當n≥2時,bn-bn-1=2. 故當c=-時,數列{bn}為等差數列. 17.等差數列{an}的通項公式為an=2n+1,其前n項和為Sn,則數列的前10項的和為 ( ). A.120 B.70 C.75 D.100 解析 因為=n+2,所以的前10項和為103+=75. 答案 C 18.在等差數列{an}中,滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是數列{an}前n項的和,若Sn取得最大值,則n=( ). A.7 B.8 C.9 D.10 解析 設公差為d,由題設3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以d=-a1<0. 解不等式an>0,即a1+(n-1)>0, 所以n<,則n≤9, 當n≤9時,an>0,同理可得n≥10時,an<0. 故當n=9時,Sn取得最大值. 答案 C 19.在等差數列{an}中,a2+a8=4,則它的前9項和S9=( ). A.9 B.18 C.36 D.72 解析 在等差數列中,a2+a8=a1+a9=4,所以S9===18. 答案 B 20.已知數列{an}為等差數列,其前n項的和為Sn,若a3=6,S3=12,則公差d=( ). A.1 B.2 C.3 D. 解析 在等差數列中,S3===12,解得a1=2,所以解得d=2. 答案 B 21.設數列{an}是公差d<0的等差數列,Sn為其前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n=( ). A.5 B.6 C.5或6 D.6或7 解析 由題意得S6=6a1+15d=5a1+10d,所以a1+5d=0,即a6=0,故當n=5或6時,Sn最大. 答案 C 22、已知一等差數列的前四項和為124,后四項和為156,各項和為210,則此等差數列的項數是( ). A.5 B.6 C.7 D.8 解析 設數列{an}為該等差數列,依題意得a1+an==70.∵Sn==210,∴210=,∴n=6. 答案 B 23.在公差不為0的等差數列{an}中,2a3-a+2a11=0,數列{bn}是等比數列,且b7=a7,則b6b8=( ). A.2 B.4 C.8 D.16 解析 因為{an}是等差數列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-a+2a11=4a7-a=0,解得a7=0或4,因為{bn}為等比數列,所以bn≠0,所以b7=a7=4,b6b8=b=16. 答案 D 24.已知函數y=anx2(an≠0,n∈N*)的圖象在x=1處的切線斜率為2an-1+1(n≥2,n∈N*),且當n=1時其圖象過點(2,8),則a7的值為( ). A. B.7 C.5 D.6 解析 由題意知y′=2anx,∴2an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),∴an-an-1=,又n=1時其圖象過點(2,8),∴a122=8,得a1=2,∴{an}是首項為2,公差為的等差數列,an=+,得a7=5. 答案 C 25.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S4=8,S8=20,則a11+a12+a13+a14=________. 解析 設等差數列{an}的公差為d,依題意有即解得d=,a1=,故a11+a12+a13+a14=4a1+46d=18. 答案 18 26.現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿,自上而下每節(jié)的長度依次構成等差數列,最上面一節(jié)長為10 cm,最下面的三節(jié)長度之和為114 cm,第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項,則n=________. 解析 設每節(jié)竹竿的長度對應的數列為{an},公差為d,(d>0). 由題意知a1=10,an+an-1+an-2=114,a=a1an. 由an+an-1+an-2=114,得3an-1=114,解得an-1=38, ∴(a1+5d)2=a1(an-1+d),即(10+5d)2=10(38+d),解得d=2,所以an-1=a1+(n-2)d=38,即10+2(n-2)=38,解得n=16. 答案 16- 配套講稿:
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