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2019-2020年（新課程）高中數(shù)學《第三章 三角恒等變換》質(zhì)量評估 新人教A版必修4
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．計算sin 89cos 14－sin 1cos 76＝( )．
A. B. C. D.
解析 sin 89cos 14－sin 1cos 76
＝sin 89cos 14－cos 89sin 14
＝sin 75＝sin(45＋30)＝.
答案 A
2．若＝3，則cos2θ＋sin 2θ的值是( )．
A．－ B．－ C. D.
解析 ∵tan θ＝，
∴原式＝＝＝＝＝.
答案 D
3．(xx湖南師大附中高一檢測)已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，則sin α＝( )．
A. B. C．－ D．－
解析 ∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
由sin β＝－得cos β＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝＋＝.
答案 A
4．設a＝sin 17cos 45＋cos 17sin 45，b＝2cos213－1，c＝，則有( )．
A．c
0，
∴A＋B<，∴C>，
∴△ABC為鈍角三角形．
答案 A
6．若x∈，cos x＝，則tan 2x等于( )．
A. B．－ C. D．－
解析 ∵x∈，cos x＝，∴sin x＝－，∴tan x＝－，∴tan 2x＝＝－.
答案 D
7．函數(shù)y＝sin4x＋cos2x的最小正周期為( )．
A. B. C．π D．2π
解析 y＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x)2＋cos2x＝2＋＝cos 4x＋.∴T＝.
答案 B
8．已知sin＝，則sin 2x的值為( )．
A. B. C. D.
解析 sin 2x＝cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－22＝.
答案 D
9．(xx日照高一檢測)當函數(shù)y＝sincos取得最大值時，tan x的值為( )．
A．1 B．1 C. D．－1
解析 y＝
＝(sin2x＋cos2x)＋sin xcos x＋sin x cos x
＝＋sin 2x.
當sin 2x＝1時，ymax＝，
此時2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)，∴tan x＝1.
答案 A
10．函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象可以看成是由函數(shù)y＝sin x＋cos x的圖象平移得到的．下列所述平移方法正確的是( )．
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
解析 令y＝sin x＋cos x
＝sin＝f(x)，
則y＝sin x－cos x＝sin
＝sin ＝f，
∴y＝sin x＋cos xy＝sin x－cos x.
答案 C
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)
11．化簡的結(jié)果是________．
解析 原式＝
＝
＝|cos 1|.
又0<1<，∴cos 1>0，
∴原式＝cos 1.
答案 cos 1
12．給定兩個長度為1的平面向量和，
它們的夾角為120.如圖，點C在以O為圓心
的圓弧上變動，若＝x＋y，其中
x，y∈R，則x＋y的最大值是________．
解析 建立如圖所示的坐標系，則A(1,0)，
B(cos 120，sin 120)，即B.
設∠AOC＝α，則＝(cos α，sin α)．
∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cos α，sin α)，
∴∴
∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30)．
∵0≤α≤120，
∴30≤α＋30≤150
∴x＋y有最大值2，當α＝60時取得最大值2.
答案 2
13．已知sin x－cos x＝sin xcos x，則sin 2x＝________.
解析 ∵sin x－cos x＝sin xcos x，
∴(sin x－cos x)2＝(sin xcos x)2
1－2sin xcos x＝(sin xcos x)2，
∴令t＝sin xcos x，則1－2t＝t2.
即t2＋2t－1＝0，
∴t＝＝－1.
又∵t＝sin xcos x＝sin 2x∈，
∴t＝－1，∴sin 2x＝2－2.
答案 2－2
14．(xx長沙高一檢測)關于函數(shù)f(x)＝cos＋cos，有下列說法：
①y＝f(x)的最大值為；
②y＝f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
③y＝f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
④將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向左平移個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．
其中正確說法的序號是________．(注：把你認為正確的說法的序號都填上)
解析 f(x)＝cos＋cos
＝cos－sin＝cos，
∴f(x)max＝，即①正確．
T＝＝＝π，即②正確．
f(x)的遞減區(qū)間為2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)．
即kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
k＝0時，≤x≤，所以③正確．
將函數(shù)y＝cos 2x向左平移個單位得
y＝cos≠f(x)，∴④不正確．
答案?、佗冖?
三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(10分)已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin 、cos 、tan 的值．
解 ∵|cos θ|＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－，<<.
由cos θ＝1－2sin2，
有sin ＝－ ＝－ ＝－.
又cos θ＝2cos2－1，
有cos ＝－ ＝－，tan ＝＝2.
16．(10分)求證：
＝tan .
證明 左式
＝
＝＝
＝＝＝＝tan .
17．(10分)已知sinsin＝，x∈，求sin 4x的值．
解 因為＋＝，
所以sinsin
＝sincos
＝
＝sin＝cos 2x＝，所以cos 2x＝.
又x∈，所以2x∈(π，2π)，
所以sin 2x<0，所以sin 2x＝－.
所以sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝2＝－1.
18．(12分)已知sin α＝，cos β＝－，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
解 因為sin α＝，cos β＝－，α、β均為第二象限角，所以cos α＝－＝－，sin β＝＝.
故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝.
19．(12分)設向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，
b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.
(1)求tan α；
(2)求.
解 (1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)
＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝.
∴2cos αcos β＝，2sin αcos β＝，∴tan α＝.
(2)＝＝＝－.
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