2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理 教材分析 兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法,它區(qū)別于數(shù)的乘法.這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā),引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義,介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起,這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便,特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題.這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一,對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí).這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用. 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件. 2. 通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用,初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣. 任務(wù)分析 兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別,這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難.在學(xué)習(xí)時(shí),要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而不是向量.兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積,其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定. 兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”. 通過(guò)實(shí)例理解ab=bc與a=c的關(guān)系,ab=0與a=0或b=0的關(guān)系,以及(ab)c=a(bc)與(ab)c=a(bc)的不同. 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情景 如圖40-1所示,一個(gè)力f作用于一個(gè)物體,使該物體發(fā)生了位移s,如何計(jì)算這個(gè)力所做的功.由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ,真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力,這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功.即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算. W=|s||f|c(diǎn)osθ. 其中|f|c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量,也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量. 問(wèn)題:像功這樣的數(shù)量值,它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定.我們能否從中得到啟發(fā),把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢? 二、建立模型 1. 引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念: 已知兩個(gè)非零向量a與b,把數(shù)量|a||b|c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積(內(nèi)積),記作ab=|a||b|c(diǎn)osθ.其中θ是a與b夾角,|a|c(diǎn)osθ(|b|c(diǎn)osθ)叫a在b方向上(b在a方向上)的投影. 規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為0. 由上述定義可知,兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù). 說(shuō)明:向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ),b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角,其中0≤θ≤π.當(dāng)θ=時(shí),稱a和b垂直,記作a⊥b.為方便起見(jiàn),a與b的夾角記作〈a,b〉. 2. 引導(dǎo)學(xué)生思考討論 根據(jù)向量數(shù)量積的定義,可以得出 (1)設(shè)e是單位向量,ae=|a|c(diǎn)os〈a,e〉. (2)設(shè)ab是非零向量,則a⊥bab=0. (3)aa=|a|2,于是|a|=. (4)cos〈a,b〉=. (5)|ab|≤|a||b|(這與實(shí)數(shù)|ab|=|a||b|不同). 三、解釋應(yīng)用 [例 題] 已知|a|=5,|b|=4,〈a,b〉=120,求ab. 解:ab=|a||b|c(diǎn)os〈a,b〉=54cos120=-10. [練 習(xí)] 1. 已知|a|=3,b在a上的投影為-2,求:(1)ab. ?。?)a在b上的投影. 2. 已知:在△ABC中,a=5,b=8,c=60,求. 四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1. 出示問(wèn)題:從數(shù)學(xué)的角度考慮,我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算,也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律,這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義.回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律,你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎?它們成立嗎?為什么? 2. 運(yùn)算律及其推導(dǎo) 已知:向量a,b,c和λ∈R,則 (1)ab=ba(交換律). 證明:左=|a||b|c(diǎn)osθ=右. (2)(λa)b=λ(ab)=a(λb)(數(shù)乘結(jié)合律). 證明:設(shè)a,b夾角為θ,當(dāng)λ>0時(shí),λa與b的夾角為θ, ∴(λa)b=(λa)|b|c(diǎn)osθ=λ|a||b|c(diǎn)osθ=λ(ab); 當(dāng)λ<0時(shí),λa與b的夾角為(π-θ), ∴(λa)b=|λa||b|c(diǎn)os(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|c(diǎn)osθ=λ(ab); 當(dāng)λ=0時(shí),(λa)b=0b=0=λ(ab). 總之,(λa)b=λ(ab); 同理a(λb)=λ(ab). (3)(a+b)c=ac+bc(乘法對(duì)加法的分配律). 證明:如圖40-2,任取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c. ∵a+b(即)在c方向上的投影等于a,b在c方向上的投影的和,即 |a+b|c(diǎn)osθ=|a|c(diǎn)osθ1+|b|c(diǎn)osθ2, ∴|c(diǎn)||a+b|c(diǎn)osθ=|c(diǎn)|(|a|c(diǎn)osθ1+|b|c(diǎn)osθ2)= |c(diǎn)||a|c(diǎn)osθ1+|c(diǎn)||b|c(diǎn)osθ2=ca+cb, ∴(a+b)c=ac+bc. 思考:(1)向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律,即(ab)c=a(bc)嗎? (2)向量的數(shù)量積滿足消去律,即如果ab=cb,那么a=c嗎? 五、應(yīng)用與深化 [例 題] 1. 對(duì)實(shí)數(shù)a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.類似地,對(duì)任意向量a,b,也有類似結(jié)論嗎?為什么? 解:類比完全平方和公式與平方差公式,有 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2. 其證明是:(a+b)2=(a+b)(a+b)= aa+ab+ba+bb= a2+2ab+b2, (a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb= a2-b2. ∴有類似結(jié)論. 2. 已知|a|=6,|b|=4,〈a,b〉=60,求(a+2b)(a-3b). 解:(a+2b)(a-3b)= a2-3ab+2ba-6b2= |a|2-|a||b|c(diǎn)os60-6|b|2=-72. 3. 已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線.當(dāng)k為何值時(shí),(a+kb)⊥(a-kb)? 解:(a+kb)⊥(a-kb),即(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即9-k216=0,k=. 因此,當(dāng)k=時(shí),有(a+kb)⊥(a-kb). 4. 已知:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,并且=a,=b,=c,求|a+b+c|. 解法1:∵a+b+c=++=2, ∴|a+b+c|=2=2. 解法2:|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+2+211cos90+21 +21=8,∴|a+b+c|=2. [練 習(xí)] 1. |a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,求a與b的夾角θ. 2. 在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,求++. 六、拓展延伸 1. 當(dāng)向量a,b的夾角為銳角時(shí),你能說(shuō)明ab的幾何意義嗎? 如圖40-3,ab,即以b在a上射影的長(zhǎng)和a的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積(OA=OA1). 2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型,如圖40-4,=+,=-.試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系. 3. 三個(gè)單位向量a,b,c有相同終點(diǎn)且a+b+c=0,問(wèn):它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形? 解法1:如圖40-5,∵|a|=|b|=|c(diǎn)|=1,a+b+c=0,∴a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2, ∴a2+b2+2ab=c2,∴2|a||b|c(diǎn)os∠AOC=-1,cos∠AOC=,∠AOC=120. 同理∠BOC=∠AOC=120,故△AOB,△BOC,△BOC全等,∴AB=AC=BC,即該△ABC為等邊三角形. 解法2:如圖40-6,=c,=-a,=-b,由a+b+c=0,即=+. ∵|a|=|b|=1,∴OADB為菱形. 又||=1,∴∠AOB=120. 同理∠AOC=∠BOC=120,… 4. 在△ABC中,==,問(wèn):O點(diǎn)在△ABC的什么位置? 解:由=,即(-)=0,即=0,∴⊥,同理⊥,⊥.故O是△ABC的垂心. 點(diǎn) 評(píng) 這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類比方法,即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí),經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對(duì)象進(jìn)行類比.以物理學(xué)中的力對(duì)物體做功的實(shí)例,引入數(shù)量積的過(guò)程比較自然,學(xué)生容易接受.在“拓展延伸”中,較多地展示了向量的綜合應(yīng)用.這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體.運(yùn)用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問(wèn)題,越來(lái)越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面.認(rèn)識(shí)向量并會(huì)使用向量是這一部分的基礎(chǔ),也是重點(diǎn).總之,這篇案例較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo),同時(shí),關(guān)注類比方法的運(yùn)用,以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高.美中不足的是,對(duì)學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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