2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式》 1．二項(xiàng)工定理 2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 它是展開式的第r+1項(xiàng). 3．二項(xiàng)式系數(shù) 4．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1） （2） （3）若n是偶數(shù)，有，即中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 若n是奇數(shù)，有，即中項(xiàng)二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大. （4） （5） （6） （7） （8） 以上組合恒等式（是指組合數(shù)滿足的恒等式）是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基 本工具.（7）和（8）的證明將在后面給出. 5．證明組合恒等式的方法常用的有 （1）公式法，利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明. （2）利用二項(xiàng)式定理，通過賦值法或構(gòu)造法用二項(xiàng)式定理于解題中. （3）利用數(shù)學(xué)歸納法. （4）構(gòu)造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合應(yīng)用問題的解決方法. 例題講解 1．求的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 2．求的展開式里x5的系數(shù). 3．已知數(shù)列滿足 求證：對于任何自然數(shù)n， 是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式. 4．已知a，b均為正整數(shù)，且求證：對一切，An均為整數(shù). 5．已知為整數(shù)，P為素?cái)?shù)，求證： 6．若，求證： 7．?dāng)?shù)列中，，求的末位數(shù)字是多少？ 8．求N=1988－1的所有形如為自然數(shù)）的因子d之和. 9．設(shè)，求數(shù)x的個(gè)位數(shù)字. 10．已知試問：在數(shù)列中是否有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)？證明你的結(jié)論. 課后練習(xí) 1．已知實(shí)數(shù)均不為0，多項(xiàng)的三根為，求 的值. 2．設(shè)，其中為常數(shù)，如果求的值. 3．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足： 4．證明：當(dāng)n=6m時(shí)， 5．設(shè)展開式為，求證： 6．求最小的正整數(shù)n，使得的展開式經(jīng)同類項(xiàng)合并后至少有1996項(xiàng). 7．設(shè)，試求： （1）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和. （2）的展開式中奇次項(xiàng)的系數(shù)和. 8．證明：對任意的正整數(shù)n，不等式成立. 例題答案： 1.解：由二項(xiàng)式定理得 ① 其中第項(xiàng)為 ② 在的展開式中，設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，記為 則 ③ 由③得r－2k=0，即r=2k，r為偶數(shù)，再根據(jù)①、②知所求常數(shù)項(xiàng)為 評述：求某一項(xiàng)時(shí)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng). 2. 解：因?yàn)? 所以的展開式里x5的系數(shù)為 評述：本題也可將化為用例1的作法可求得. 3. 分析：由是等差數(shù)列，則從而可將表示成的表達(dá)式，再化簡即可. 解：因?yàn)? 所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d 有 從而 由二項(xiàng)定理，知 又因?yàn)? 從而 所以 當(dāng)?shù)囊淮味囗?xiàng)式，當(dāng)零次多項(xiàng)式. 4. 分析：由聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系. 證明：因?yàn)? 顯然的虛部，由于 所以從而的虛部. 因?yàn)閍、b為整數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理，的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切，An為整數(shù). 評述：把An為與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵. 5. 證明： 由于為整數(shù)，可從分子中約去r！，又因?yàn)镻為素?cái)?shù)，且，所以分子中的P不會(huì)紅去，因此有所以 評述：將展開就與有聯(lián)系，只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵. 6. 分析：由已知 猜想，因此需要求出，即只需要證明為正整數(shù)即可. 證明：首先證明，對固定為r，滿足條件的是惟一的.否則，設(shè) 則矛盾.所以滿足條件的m和是惟一的. 下面求. 因?yàn)? 又因?yàn)? 所以 故 評述：猜想進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵. 7. 分析：利用n取1，2，3，…猜想的末位數(shù)字. 解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=3， ，因此的末位數(shù)字都是7，猜想， 現(xiàn)假設(shè)n=k時(shí)， 當(dāng)n=k+1時(shí)， 從而 于是 故的末位數(shù)字是7. 評述：猜想是關(guān)鍵. 8. 分析：尋求N中含2和3的最高冪次數(shù)，為此將19變?yōu)?0－1和18+1，然后用二項(xiàng)式定理展開. 解：因?yàn)镹=1988－1=(20－1)88－1=(1－45)88－1 =－ 其中M是整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中2的最高次冪是5. 又因?yàn)镹=(1+29)88－1 =32288+34P=32（288+9P）其中P為整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中3的最高次冪是2. 綜上所述，可知，其中Q是正整數(shù)，不含因數(shù)2和3. 因此，N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744. 9. 分析：直接求x的個(gè)位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù). 解：令 ，由二項(xiàng)式定理知，對任意正整數(shù)n. 為整數(shù)，且個(gè)位數(shù)字為零. 因此，x+y是個(gè)位數(shù)字為零的整數(shù).再對y估值， 因?yàn)椋?且， 所以 故x的個(gè)位數(shù)字為9. 評述：轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題. 10. 分析：先求出，再將表示成與15有關(guān)的表達(dá)式，便知是否有無窮多項(xiàng)能被15整除. 證明：在數(shù)列中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)，下面證明之. 數(shù)列的特征方程為它的兩個(gè)根為， 所以 （n=0，1，2，…） 由 則 取，由二項(xiàng)式定理得 由上式知當(dāng)15|k，即30|n時(shí)，15|an，因此數(shù)列中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng). 評述：在二項(xiàng)式定理中，經(jīng)常在一起結(jié)合使用.