2019-2020年高中數(shù)學復習講義 第十二章 導數(shù)及其應用.doc
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2019-2020年高中數(shù)學復習講義 第十二章 導數(shù)及其應用 【知識圖解】 平均速度 瞬時速度 平均變化率 瞬時變化率 割線斜率 切線斜率 導 數(shù) 基本初等函數(shù)導數(shù)公式、導數(shù)運算法則 微積分基本定理 導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系導數(shù)與極(最)值的關系 定積分(理科) 【方法點撥】 導數(shù)的應用極其廣泛,是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具,也是提出問題、分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時,導數(shù)是初等數(shù)學與高等數(shù)學緊密銜接的重要內(nèi)容,體現(xiàn)了高等數(shù)學思想及方法。 1.重視導數(shù)的實際背景。導數(shù)概念本身有著豐富的實際意義,對導數(shù)概念的深刻理解應該從這些實際背景出發(fā),如平均變化率、瞬時變化率和瞬時速度、加速度等。這為我們解決實際問題提供了新的工具,應深刻理解并靈活運用。 2.深刻理解導數(shù)概念。概念是根本,是所有性質(zhì)的基礎,有些問題可以直接用定義解決。在理解定義時,要注意“函數(shù)在點處的導數(shù)”與“函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。 3.強化導數(shù)在函數(shù)問題中的應用意識。導數(shù)為我們研究函數(shù)的性質(zhì),如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等,提供了一般性的方法。 4.重視“數(shù)形結合”的滲透,強調(diào)“幾何直觀”。在對導數(shù)和定積分的認識和理解中,在研究函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關系等問題時,應從數(shù)值、圖象等多個方面,尤其是幾何直觀加以理解,增強數(shù)形結合的思維意識。 5.加強“導數(shù)”的實踐應用。導數(shù)作為一個有力的工具,在解決科技、經(jīng)濟、生產(chǎn)和生活中的問題,尤其是最優(yōu)化問題中得到廣泛的應用。 6.(理科用)理解和體會“定積分”的實踐應用。定積分也是解決實際問題(主要是幾何和物理問題)的有力工具,如可以用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉體的體積、變速直線運動的路程和變力作的功等,逐步體驗微積分基本定理。 第1課 導數(shù)的概念及運算 【考點導讀】 1.了解導數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等); 2.掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義;理解導函數(shù)的概念; 3.熟記基本導數(shù)公式; 4.掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則; 5.了解復合函數(shù)的求導法則.會求某些簡單函數(shù)的導數(shù).(理科) 【基礎練習】 1.設函數(shù)f(x)在x=x0處可導,則與x0,h的關系是 僅與x0有關而與h無關 。 2.已知, 則 0 。 3.已知,則當時,。 4.已知,則。 5.已知兩曲線和都經(jīng)過點P(1,2),且在點P處有公切線,試求a,b,c值。 解:因為點P(1,2)在曲線上, 函數(shù)和的導數(shù)分別為和,且在點P處有公切數(shù) ,得b=2 又由,得 【范例導析】 例1.下列函數(shù)的導數(shù): ① ② ③ 分析:利用導數(shù)的四則運算求導數(shù)。 解:①法一: ∴ 法二:=+ ② ∴ ③e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)2e-xcosx, 點評:利用基本函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算法則及復合函數(shù)的求導法則進行導數(shù)運算,是高考對導數(shù)考查的基本要求。 例2. 如果曲線的某一切線與直線平行,求切點坐標與切線方程. 分析:本題重在理解導數(shù)的幾何意義:曲線在給定點處的切線的斜率,用導數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡單了。 解:切線與直線平行, 斜率為4 又切線在點的斜率為 ∵ ∴ ∴ 或 ∴切點為(1,-8)或(-1,-12) 切線方程為或即或 點評:函數(shù)導數(shù)的幾何意義揭示了導數(shù)知識與平面解析幾何知識的密切聯(lián)系,利用導數(shù)能解決許多曲線的切線問題,其中尋找切點是很關鍵的地方。 變題:求曲線的過點的切線方程。 答案: 點評:本題中“過點的切線”與“在點的切線”的含義是不同的,后者是以為切點,只有一條切線,而前者不一定以為切點,切線也不一定只有一條,所以要先設切點,然后求出切點坐標,再解決問題。 【反饋演練】 1.一物體做直線運動的方程為,的單位是的單位是,該物體在3秒末的瞬時速度是。 2.設生產(chǎn)個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是,則生產(chǎn)8個單位產(chǎn)品時,邊際成本是 2 。 3.已知函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)為3,則f(x)的解析式可能為 (1) 。 (1)f(x)=(x-1)2+3(x-1) (2)f(x)=2(x-1) (3)f(x)=2(x-1)2 (4)f(x)=x-1 4.若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為。 5.在函數(shù)的圖象上,其切線的傾斜角小于的點中,坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是 3 。 6.過點(0,-4)與曲線y=x3+x-2相切的直線方程是 y=4x-4 . 7. 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3) (4) (5) (6) 解:(1), (2); (3), (4); (5), (6). 8 已知直線為曲線在點處的切線,為該曲線的另一條切線,且 (Ⅰ)求直線的方程; (Ⅱ)求由直線,和軸所圍成的三角形的面積 解: 設直線的斜率為,直線的斜率為, ,由題意得,得直線的方程為 , 與該曲線的切點坐標為由直線方程的點斜式得直線的方程為: (Ⅱ)由直線的方程為,令 由直線的方程為,令 由得: 設由直線,和軸所圍成的三角形的面積為S,則: 第2課 導數(shù)的應用A 【考點導讀】 1. 通過數(shù)形結合的方法直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系,能熟練利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;會求某些簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 2. 結合函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的極大(?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲蹬c導數(shù)的關系;會求簡單多項式函數(shù)的極大(?。┲担约霸谥付▍^(qū)間上的最大(?。┲?。 【基礎練習】 1.若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),則應滿足的條件是 。 2.函數(shù)在[0,3]上的最大值、最小值分別是 5,-15 。 3.用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。 4.函數(shù)的最大值是,最小值是。 5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-∞,-2)與(0,+ ∞) 。 【范例導析】 例1.在區(qū)間上的最大值是 2 。 解:當-1x<0時,>0,當0- 配套講稿:
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