2019-2020年高中數(shù)學3.1回歸分析（一）教案北師大選修2-3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學3.1回歸分析（一）教案北師大選修2-3 教學目標 （1）通過實例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機誤差的原因； （2）通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法； （3）能求出簡單實際問題的線性回歸方程． 教學重點，難點 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法． 教學過程 一．問題情境 1． 情境：對一作直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計當x=９時的位置y的值． 時刻/s 位置觀測值/cm 根據(jù)《數(shù)學（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個問題的方法是： 先作散點圖，如下圖所示： 從散點圖中可以看出，樣本點呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式， 可以得到線性回歸方為，所以當時，由線性回歸方程可以估計其位置值為 2．問題：在時刻時，質(zhì)點的運動位置一定是嗎？ 二．學生活動 思考，討論：這些點并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實際值與估計值之間存在著誤差． 三．建構(gòu)數(shù)學 1．線性回歸模型的定義： 我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)； 的實際值與估計值之間的誤差記為，稱之為隨機誤差； 將稱為線性回歸模型． 說明：（1）產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測誤差． （2）對于線性回歸模型，我們應該考慮下面兩個問題： ①模型是否合理（這個問題在下一節(jié)課解決）； ②在模型合理的情況下，如何估計，？ 2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值： 對于問題②，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對于每一個，對應的隨機誤差項，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時的，值作為，的估計值，記為，． 注：這里的就是擬合直線上的點到點的距離． 用什么方法求，？ 回憶《數(shù)學3（必修）》“2．4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到，的計算公式為 ， 其中， 由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 在前面質(zhì)點運動的線性回歸方程中，，． 3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應地平均增加個單位； 4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想） 在實際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應的化為線性回歸方程的換元公式． （1），令，，則有． （2），令，，，則有． （3），令，，，則有． （4），令，，，則有． （5），令，，則有． 四．數(shù)學運用 1．例題： 例1．下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù)． 年份 人口數(shù)/百萬 解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對應人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表： 作出個點構(gòu)成的散點圖， 由圖可知，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式（1）可得 這里的分別為的估 計值，因此線性回歸方程 為 由于年對應的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計為13.23億. 例2． 某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)： 人均 資本 /萬元 人均 產(chǎn)出 /萬元 （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值； （2）估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）． 分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 解（1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示． 1 人均資本/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問題情境可得，的估計值，分別為由可得，即，的估計值分別為和． （2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本 頁） 當時，（萬元），故當企業(yè)人均資本為萬元時，人均產(chǎn)值約為萬元． 2．練習：練習第題． 五．回顧小結(jié)： 1． 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）其中的隨機誤差提供了選擇模型的準則以及在模型合理的情況下探求最佳估計值，的工具； 2． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應地平均增加個單位； 3．求線性回歸方程的基本步驟． 六．課外作業(yè)：第題． 回歸分析(2) 教學目標 （1）通過實例了解相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，感受相關(guān)性檢驗的作用； （2）能對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗，并解決簡單的回歸分析問題； （3）進一步了解回歸的基本思想、方法及初步應用． 教學重點，難點 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其顯著性檢驗的基本思想、操作步驟． 教學過程 一．問題情境 1．情境：下面是一組數(shù)據(jù)的散點圖，若求出相應的線性回歸方程，求出的線性回歸方程可以用作預測和估計嗎？ 2．問題：思考、討論：求得的線性回歸方程是否有實際意義． 二．學生活動 對任意給定的樣本數(shù)據(jù)，由計算公式都可以求出相應的線性回歸方程，但求得的線性回歸方程未必有實際意義．左圖中的散點明顯不在一條直線附近，不能進行線性擬合，求得的線性回歸方程是沒有實際意義的；右圖中的散點基本上在一條直線附近，我們可以粗略地估計兩個變量間有線性相關(guān)關(guān)系，但它們線性相關(guān)的程度如何，如何較為精確地刻畫線性相關(guān)關(guān)系呢？ 這就是上節(jié)課提到的問題①，即模型的合理性問題．為了回答這個問題，我們需要對變量與的線性相關(guān)性進行檢驗（簡稱相關(guān)性檢驗）． 三．建構(gòu)數(shù)學 1．相關(guān)系數(shù)的計算公式： 對于，隨機取到的對數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式為 ． 2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： （1）； （2）越接近與1，，的線性相關(guān)程度越強； （3）越接近與0，，的線性相關(guān)程度越弱． 可見，一條回歸直線有多大的預測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)． 3．對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗的步驟： 相關(guān)系數(shù)的絕對值與1接近到什么程度才表明利用線性回歸模型比較合理呢？這需要對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗．對此，在統(tǒng)計上有明確的檢驗方法，基本步驟是： （1）提出統(tǒng)計假設(shè)：變量，不具有線性相關(guān)關(guān)系； （2）如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在附錄（教材P111）中查出一個的臨界值（其中稱為檢驗水平）； （3）計算樣本相關(guān)系數(shù)； （4）作出統(tǒng)計推斷：若，則否定，表明有的把握認為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 說明：1．對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗，一般取檢驗水平，即可靠程度為． 2．這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系． 3．這里的是對抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的．故在統(tǒng)計分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實際情況進行合理解釋． 4．對于上節(jié)課的例1,可按下面的過程進行檢驗： （1）作統(tǒng)計假設(shè)：與不具有線性相關(guān)關(guān)系； （2）由檢驗水平與在附錄中查得； （3）根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù)； （4）因為，即，所以有﹪的把握認為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,線性回歸方程為是有意義的． 四．數(shù)學運用 1．例題： 例1．下表是隨機抽取的對母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討與之間的關(guān)系． 母親身高 女兒身高 解：所給數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：由圖可以看出，這些點在一條直線附近， 因為，， ， ， ， 所以， 由檢驗水平及，在附錄中查得，因為,所以可以認為與之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系．線性回歸模型中的估計值分別為 ， 故對的線性回歸方程為． 例2．要分析學生高中入學的數(shù)學成績對高一年級數(shù)學學習的影響，在高一年級學生中隨機抽取名學生，分析他們?nèi)雽W的數(shù)學成績和高一年級期末數(shù)學考試成績?nèi)缦卤恚? 學生編號 入學成績 高一期末成績 （1）計算入學成績與高一期末成績的相關(guān)系數(shù)； （2）如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程； （3）若某學生入學數(shù)學成績?yōu)榉?，試估計他高一期末?shù)學考試成績． 解：(1)因為，， ，， ． 因此求得相關(guān)系數(shù)為． 結(jié)果說明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的； 小結(jié)解決這類問題的解題步驟： （1）作出散點圖，直觀判斷散點是否在一條直線附近； （2）求相關(guān)系數(shù)； （3）由檢驗水平和的值在附錄中查出臨界值，判斷與是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系； （4）計算，，寫出線性回歸方程． 2．練習：練習第題． 五．回顧小結(jié)： 1．相關(guān)系數(shù)的計算公式與回歸系數(shù)計算公式的比較； 2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)； 3．探討相關(guān)關(guān)系的基本步驟． 六．課外作業(yè)：習題3.2第題．