高一數(shù)學(xué)《雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)課稿

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1、高一數(shù)學(xué)《雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)課稿 一、教材分析 1. 教材中的地位及作用 本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ) 上，反過(guò)來(lái)利用雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱 要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)，是深入研究雙曲 線(xiàn)，靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生 理解、體會(huì)解析幾何這門(mén)學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀 念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 2. 教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù) 平面解析幾何研究的主要問(wèn)題之一就是：通過(guò)方程，研究平面曲 線(xiàn)的性質(zhì)。教學(xué)參考書(shū)中明確要求：學(xué)生要掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的性質(zhì)， 初步掌握根據(jù)曲線(xiàn)的方程，研

2、究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根 據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的 教學(xué)目標(biāo)。 (1)知識(shí)目標(biāo)：①使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線(xiàn)的 范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線(xiàn)等幾何性質(zhì) ; ②掌握雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中 的幾何意義，理解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的概念及證明 ; ③能運(yùn)用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)解決雙曲線(xiàn)的一些基本問(wèn)題。 (2)能力目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類(lèi)比中獲得雙曲線(xiàn)的性質(zhì)， 培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力 和邏輯推理能力，以及類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法 ; ②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線(xiàn)性質(zhì)的基本方法，加深對(duì) 直角坐標(biāo)系中曲線(xiàn)與方

3、程的概念的理解。 （3） 德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且 能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的，變化的觀點(diǎn)分析理解事物。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù) 對(duì)圓錐曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)特有的性質(zhì)，而學(xué)生對(duì)漸近線(xiàn) 的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué) 過(guò)程中我把漸近線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生 的創(chuàng)造性思維，通過(guò)誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲 線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。 因此，我把漸近線(xiàn)的證明作為本節(jié)課的難點(diǎn)，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容 和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力， 我把

4、漸近線(xiàn)和離心率這兩個(gè)性質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)。 4. 教學(xué)方法 這節(jié)課內(nèi)容是通過(guò)雙曲線(xiàn)方程推導(dǎo)、研究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi) 容類(lèi)似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類(lèi)比講解， 讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類(lèi)似的結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得 到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)生自己 能解決的問(wèn)題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的 積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使 他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題 的能力。 漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線(xiàn)的草圖， 而學(xué)生對(duì)漸近線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)與證明方法接

5、受、理解和掌握有一定的困難。 因此，在教學(xué)過(guò)程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過(guò)誘導(dǎo)、分析， 從已有知識(shí)出發(fā)，層層設(shè) （ 釋?zhuān)?疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生 自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念 （ 或圖形 ） 特征，培養(yǎng)思維的深 刻性。 例題的選備，可將此題作一題多變 （變條件，變結(jié)論 ） ，訓(xùn)練學(xué)生 一題多解，開(kāi)拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、 提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力。 二、教學(xué)程序 （ 一 ）. 設(shè)計(jì)思路 （ 二 ）. 教學(xué)流程 1. 復(fù)習(xí)引入 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓 的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們

6、來(lái)回顧這些知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)習(xí)的舊知識(shí) 加以復(fù)習(xí)鞏固，同時(shí)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利用多媒體工具的先 進(jìn)性，結(jié)合圖像來(lái)演示。 2. 觀察、類(lèi)比 這節(jié)課內(nèi)容是通過(guò)雙曲線(xiàn)方程推導(dǎo)、研究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi) 容類(lèi)似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類(lèi)比講解， 讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，首先觀察雙曲線(xiàn)的形狀，試著按照橢圓的幾 何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類(lèi)似于推導(dǎo) 橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率， 對(duì)知識(shí)的理解不能浮于表面只會(huì)看圖，也要會(huì)從方程的角度來(lái)解釋?zhuān)? 抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性 質(zhì)范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)

7、 （實(shí)軸、虛軸 ） 、離心率 （不深入的講解 ） 的鞏 固。之后，比較雙曲線(xiàn)的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別， 這樣可以加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，借助于類(lèi)比方法，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的 興趣，激發(fā)求知欲。 3. 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)、證明 (1) 發(fā)現(xiàn) 由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫(huà)出橢圓的圖形。那么，由 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，能否較準(zhǔn)確地畫(huà)出雙曲線(xiàn) 的圖形為引例，讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐，通過(guò)列表描點(diǎn)，就能把雙曲線(xiàn) 的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)較準(zhǔn)確地畫(huà)出來(lái)，但雙曲線(xiàn)向遠(yuǎn)處如何伸展就不 是很清楚。從而說(shuō)明想要準(zhǔn)確的畫(huà)出雙曲線(xiàn)的圖形只有那四個(gè)性質(zhì) 是不行的。 從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的反比例函數(shù)入手，而且可

8、以比較精確的畫(huà)出 反比例函數(shù) 的圖像，它的圖像是雙曲線(xiàn)，當(dāng)雙曲線(xiàn)伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與 x 、 y 軸無(wú)限接近，此時(shí) x 、 y 軸是 的漸近線(xiàn)，為后面引出漸近線(xiàn)的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想 雙曲線(xiàn) 有何特征 ?有沒(méi)有漸近線(xiàn) ?由于雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，我們只須研究它 的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線(xiàn)的范圍時(shí)，由雙曲線(xiàn) 的標(biāo)準(zhǔn)方程 ，可解出 ， ，當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí)， y 也隨之增大，不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙 關(guān)系。但是如果將式子變形為 ，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x 無(wú)限增大， 逐漸減小、無(wú)限接近于 0，而 就逐漸增大、無(wú)限接近于 1( ); 若將 變形為 ，即說(shuō)明

9、此時(shí)雙曲線(xiàn)在第一象限，當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí)，其上的點(diǎn)與 坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線(xiàn)的斜率比 1 小，但與斜率為 1 的直線(xiàn)無(wú)限接近， 且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線(xiàn) 的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無(wú)限伸展的變化趨勢(shì)就可以利用對(duì)稱(chēng)性 得到，從而可知雙曲線(xiàn) 的圖形在遠(yuǎn)處與直線(xiàn) 無(wú)限接近，此時(shí)我們就稱(chēng)直線(xiàn) 叫做雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)。這樣從已有知識(shí)出發(fā)，層層設(shè) ( 釋)疑，激活已知，啟 迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念 ( 或圖形 ) 特 征，培養(yǎng)思維的深刻性。 利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線(xiàn) (a>0 ， b>0) 的漸近線(xiàn)，讓學(xué)生同樣利用類(lèi)比的方法，將其變形為 ， ，由于雙

10、曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化 趨勢(shì)，繼續(xù)變形為 ， ，可發(fā)現(xiàn)當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí)， 逐漸減小、無(wú)限接近于 0， 逐漸增大、無(wú)限接近于 ，即說(shuō)明對(duì)于雙曲線(xiàn)在第一象限遠(yuǎn)處的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線(xiàn)的 斜率比 小，與斜率為 的直線(xiàn)無(wú)限接近，且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線(xiàn) 下方。其它象限向遠(yuǎn)處無(wú)限伸展的變化趨勢(shì)可以利用對(duì)稱(chēng)性得到， 從而可知雙曲線(xiàn) (a>0 ， b>0) 的圖形在遠(yuǎn)處與直線(xiàn) 無(wú)限接近，直線(xiàn) 叫做雙曲線(xiàn) (a>0 ， b>0) 的漸近線(xiàn)。我就是這樣將漸近線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充 分暴露思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過(guò)誘導(dǎo)、分析，巧妙 地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了

11、雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想 滲透于其中，學(xué)生也易接受。 (2) 證明 如何證明直線(xiàn) 是雙曲線(xiàn) (a>0 ， b>0) 的漸近線(xiàn)呢 ? 啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語(yǔ) 言？(x—oo ,d -0) 啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進(jìn)行證明 ？ 啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用 x表示d ( 工具是什么：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式 ) 啟發(fā)思考④：讓學(xué)生設(shè)點(diǎn)，而 d的表達(dá)式較復(fù)雜，能否將問(wèn)題進(jìn) 行轉(zhuǎn)化 ？ 分析：要證明直線(xiàn) 是雙曲線(xiàn) (a>0, b>0)的漸近線(xiàn)，即要證明隨著x的增大，直線(xiàn)和曲線(xiàn)越來(lái) 越靠攏。也即要證曲線(xiàn)上的點(diǎn)

12、到直線(xiàn)的距離 |MQ|越來(lái)越短，因此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算|MQ|。但因|MQ|不好直接 求得，因此又可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 |MN| 。 啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么 ？ ( 在其他象限，同理可證，或由對(duì)稱(chēng)性可知有相似情況 ) 引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究，從而更深刻的理解雙曲線(xiàn)的漸近 線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程。 (3) 深化 再來(lái)研究實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線(xiàn) (a>0 ， b>0) 的漸近線(xiàn)方程就會(huì)變得容易很多，此時(shí)可利用類(lèi)比的 方法或者利用對(duì)稱(chēng)性得到焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程即為 。 這樣，我們就完滿(mǎn)地解決了畫(huà)雙曲線(xiàn)遠(yuǎn)處趨向問(wèn)題，從而可比較 精確的畫(huà)出雙曲線(xiàn)。但是

13、如果仔細(xì)觀察漸近線(xiàn)實(shí)質(zhì)就是雙曲線(xiàn)過(guò)實(shí) 軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，作平行與坐標(biāo)軸的直線(xiàn) 所成的矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合，來(lái)加強(qiáng)對(duì)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn) 的理解。 4. 離心率的幾何意義 橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線(xiàn)離心率有何幾何意義 呢 ?不難得到： ，這是剛剛學(xué)生在類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)就可以得到的簡(jiǎn)單結(jié)論。 通過(guò)對(duì)離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)漸近線(xiàn)的理 解。 由等式 ，可得： ，不難發(fā)現(xiàn)： e 越小 ( 越接近于 1) ， 就越接近于 0，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越小 ;e 越大， 就越大，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越大。所以，雙曲線(xiàn)的離心率反映的是雙曲 線(xiàn)的開(kāi)口大小。通過(guò)對(duì)這些性質(zhì)

14、的探究，就可以更好的理解雙曲線(xiàn) 圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線(xiàn)的圖形。 5. 例題分析 為突出本節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識(shí)。我選配了這 樣的例題： 例 1.求雙曲線(xiàn) 9x2-16y2=144 的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦 點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線(xiàn)方程、離心率。選題目的在于拿到一個(gè)雙曲線(xiàn)的方 程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線(xiàn)的方程的方法： (1) 直 接根據(jù)漸近線(xiàn)方程寫(xiě)出 ;(2) 利用雙曲線(xiàn)的圖形中的矩形框架的對(duì)角 線(xiàn)得到。加強(qiáng)對(duì)于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的應(yīng)用和理解。 變 1：求雙曲線(xiàn) 9y2

15、-16x2=144 的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和 焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線(xiàn)方程、離心率。選題目的：和上題相同先將所給 的雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量 ; 但求 漸近線(xiàn)時(shí)可直接求出，也可以利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)求解。 關(guān)鍵在于對(duì)比：雙曲線(xiàn)的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變， 它的那些性質(zhì)改變，那些性質(zhì)不變 ?試歸納雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。 ( 小 結(jié)列表 ) 變 2：已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( ,3), 求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。選題目的 ：在已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的前提下，如何利用已知信息求解雙曲 線(xiàn)的方程。方法1:分焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)在y軸分別求解；方法2： 確定點(diǎn)

16、所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求 a、 b 。深化知識(shí)，加強(qiáng) 應(yīng)用，使知識(shí)系統(tǒng)化。 例題的選備，可將此題作一題多變 (變條件，變結(jié)論 ) ，訓(xùn)練學(xué)生 一題多解，開(kāi)拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、 提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力。 6. 課堂練習(xí) 課本P113練習(xí)1.2,讓學(xué)生自己練習(xí)，熟悉并運(yùn)用雙曲線(xiàn)的幾 何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性。 7. 課堂小結(jié) (1) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，尤 其是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) ; (2) 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)總結(jié) ( 學(xué)生填表歸納 ) 。 8. 課后作業(yè) 課本P113習(xí)題1.2.3 ,鞏固并掌握課上所學(xué)的知識(shí)。 思考：雙曲線(xiàn)與其漸近線(xiàn)的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律 ?看過(guò) " 高一數(shù)學(xué)《雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)課稿 " 的還看了 :