2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《立體圖形空間向量》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《立體圖形，空間向量》 一. 直線,平面之間的平行與垂直的證明方法 1．運用定義證明(有時要用反證法); 2．運用平行關系證明; 3．運用垂直關系證明; 4．建立空間直角坐標系,運用空間向量證明. 例如,在證明:直線直線時.可以這樣考慮 (1)運用定義證明直線與所成的角為; (2)運用三垂線定理或其逆定理; (3)運用“若平面,,則”; (4)運用“若且,則”; (5)建立空間直角坐標系,證明. 二. 空間中的角和距離的計算 1．求異面直線所成的角 (1)(平移法)過P作,,則與的夾角就是與的夾角; (2)證明(或),則與的夾角為(或); (3)求與所成的角(),再化為異面直線與所成的角(). 2,求直線與平面所成的角 (1) (定義法)若直線在平面內(nèi)的射影是直線,則與的夾角就是與的夾角; (2) 證明(或),則與的夾角為(或); (3) 求與的法向量所成的角,則與所成的角為或. 3．求二面角 (1) (直接計算)在二面角的半平面內(nèi)任取一點,過P作AB的垂線, 交AB于C,再過P作的垂線,垂足為D,連結(jié)CD,則,故為所求的二面角. (2) (面積射影定理)設二面角的大小為(),平面內(nèi)一個平面圖形F 的面積為,F在內(nèi)的射影圖形的面積為,則.(當為鈍角時取“”). (3) (異面直線上兩點的距離公式):,其中是二面角 的平面角,EA在半平面內(nèi)且于點A,BF在半平面內(nèi)且FB AB于B,而,,. (4) (三面角的余弦定理),三面角中,,,,又二面角 ,則. (5)(法向量法)平面的法向量與平面的法向量所成的角為,則所求的二面角為 (同類)或(異類). 4.求兩點A,B間距離 (1)構(gòu)造三角形進行計算; (2),導面直線上兩點間的距離公式; (3),求. 5.求點到直線的距離 (1)構(gòu)造三角形進行計算; (2)轉(zhuǎn)化為求兩平行紅色之間的距離. 6.求點到平面的距離 (1)直接計算從點到平面所引垂線段的長度; (2)轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (3) (體積法)轉(zhuǎn)化為求一個棱錐的高,其中V為棱錐體積,S為底面面積,為底面上的高.(4)在平面上取一點A,求與平面的法向量的夾角的余弦,則點P到平面 的距離為. 7.求異面直線的距離 (1)(定義法)求異面直線公垂線段的長; (2)(體積法)轉(zhuǎn)化為求幾何體的高; (3)(轉(zhuǎn)化法)轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (4)(最值法)構(gòu)造異面直線上兩點間距離的函數(shù),然后求函數(shù)的最小值; (5)(射影法)如果兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影分別是一個點P和一條直線, 則與的距離等于P到的距離; (6)(公式法). 8.求平行的線線,線面,面面之間的距離的方法,通常是轉(zhuǎn)化為求點與線或點與面之間的距離. 三.多面體與旋轉(zhuǎn)體 1.柱體(棱柱和圓柱) (1)側(cè)面積(為直截面周長,為側(cè)棱或母線長)(2)體積(為底面積,為高) 2.錐體(棱錐與圓錐) (1)正棱錐的側(cè)面積(為底面周長,為斜高)(2)圓錐的側(cè)面積: (為底面周長,為母線長)(3)錐體的體積:(為底面面積,為高). 3.錐體的平行于底面的截面性質(zhì):. 4.球的表面積:; 球的體積:. 四.解題思想與方法導引 1.空間想象能力; 2.數(shù)形結(jié)合能力; 3.平幾與立幾間的相互轉(zhuǎn)化; 4.向量法 例題講解 1．正四面體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為( ) A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9 2．由曲線,,,圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為;滿足,,的點組成的圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為,則( ) A B C D A, B, C, D, 3．如右圖,底面半徑,被過A,D兩點的傾斜平面所截,截面是離心 率為的橢圓,若圓柱母線截后最短處,則截面以下部分的 幾何體體積是( ) A, B, C, D, 4．在四面體ABCD中,設,,直線AB與CD的距離為2,夾角為,則四 面體ABCD的體積等于( ) A, B, C, D, 5．三個圓柱側(cè)面兩兩相切,且它們的軸也兩兩相互垂直,如果每個圓柱底面半徑都是1, 那么,與這三個圓柱側(cè)面都相切的最小球的半徑是( ) A, B, C, D, 6．四面體ABCD的頂點為A,B,C,D,其6條棱的中點為,共10個 點,任取4個點,則這4個點不共面的概率是( ) A, B, C, D, 7．正方體的棱長為,則異面直線C與BD間的距離等于 . 8．正四棱錐中,,二面角為且,(, 為整數(shù)),則 . 9．在正三棱錐中,,,過A作平面分別交平面PBC于DE.當截面 的周長最小時, ,P到截面ADE的距離為 . 10．空間四個球,它們的半徑分別是2,2,3,3.每個球都與其他三個球外切.另一個小球與這 四個球都相切,則這個小球的半徑等于 . 11．三個的正方形都被連接兩條鄰邊的中點的直線分成A,B兩 A B 片,如圖,把這六片粘在一個正六邊形的外面,然后折成多面體,則這個 多面體的體積為 . 12．直三棱柱中,平面平面,且= ,則AC與平面所成的角的取值范圍是 . A B C A1 B1 C1 13．如圖,直三棱柱中,,連接,, ,若,求證: A B C D M K N S 14．如圖,設是一個高為3,底面邊長為2的正四棱錐, K是棱SC的中點,過AK作平面與線段SB,SD分別交于M,N (M,N可以是線段的端點).試求四棱錐的體積V 的最大值與最小值. 15．有一個的長方體盒子,另有一個的長方體盒子, 其中均為正整數(shù)(),并且前者的體積是后者一半,求的最大值. 課后練習 1．甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構(gòu)型為一正四面體,碳原子位于該正四 面體的中心,四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上.若將碳原子和氫原子均視為一 個點(體積忽略不計),且已知碳原子與每個氫原子間的距離都為,則以四個氫原子為頂點 的這個正四面體的體積為( ) A, B, C, D, 2．夾在兩個平行平面之間的球,圓柱,圓錐在這兩個平面上的射影都是圓,則它們的體積之 比為( ) A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3．設二面角的大小是,P是二面角內(nèi)的一點,P點到的距離分別為1cm, 2cm,則點P到棱的距離是( ) A, B, C, D, A B C D E F 4．如圖,E,F分別是正三棱錐ABCD的棱AB,BC 的中點,且DEEF.若BC=,則此正三棱錐的體積是( ) A, B, C, D, 5．棱長為的正八面體的外接球的體積是( ) A, B, C, D, 6．若線段AB的兩端點到平面的距離都等于2,則線段AB所在的直線和平面 的位置關系是 . 7．若異面直線所原角為,AB是公垂線,E,F分別是異面直線上到A,B距離為 2和平共處的兩點,當時,線段AB的長為 . 8．如圖(1),在直四棱柱中,當?shù)酌嫠倪呅螡M足條件 時,有C(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形) A B C D A B C D 圖(1) A B E N M 圖(2) C D F 9．如圖(2),是一個正方體的展開圖,在原正方體中,有下列命題: ①AB與EF所連直線平行; ②AB與CD所在直線異面; ③MN與BF所在直線成; ④MN與CD所在直線互相垂直. 其中正確命題的序號為 .(將所有正確的都寫出) 10．如圖,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分別交AB,AC于D,E.將沿 DE折起來使得A到,且為的二面角,求到直線BC的最小距離. A B O C D E O A 11．如圖,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1. (1)問BC邊上是否存在點Q使得PQQD?并說明理由; (2)若邊上有且只有一個點Q,使得PQQD,求這時二面角Q的正切. A B C D P Q 課后習題答案 1．過頂點A,V與高作一截面交BC于點M,點O為正四面體的中心,為底面ABC的中心, 設正四面體VABC的棱長為,則AM==VM,=, ,,得 在中,,即,得. 則,有.選B. 溫馨提示:正四面體外接球的半徑:內(nèi)切球的半徑=. 2． ,選B. 3．設PA棱于點A,PM平面于點M,PN平面于點N,PA=,,則 ,得,有或(舍去), 所以,選B. 4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD. 由對稱性得,于是. ,選B. 5．可由兩個相同的四棱錐底面重合而成,有,得, 外接球的體積,選D. 6．當時,AB//;當時,AB//或AB;當時,AB//或與斜交. 7．由,得 (1)當時,有,得; (2)當時,有,得. 8． ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等) 9．將展開的平面圖形還原為正方體,可得只②,④正確. 10．解:設的高AO交DE于點,令, 由AO=,有, 在中,,有 得. 當時,到直線BC的最小距離為6. 11．解:(1)(如圖)以A為原點建立空間直角坐標系,設,則 Q,P(0,0,1),D得, 由,有,得 ① 若方程①有解,必為正數(shù)解,且小于.由,,得. (i)當時,BC上存在點Q,使PQQD; (ii)當時, BC上不存在點Q,使PQQD. (2)要使BC邊上有且只有一個點Q,使PQQD,則方程①有兩個相等的實根, 這時,,得,有. 又平面APD的法向量,設平面PQD的法向量為 而,, 由,得,解得有,則 ,則所以二面角的正切為. 例題答案： 1,B 設棱長為,外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為,則 解得,,有:R=1:3. 2,C 設,則過A的兩個截面都是圓環(huán),面積分別是和 ,于是. 3,B 在橢圓中,又,得,所求的體積 4,B 過C作,以為底面,BC為側(cè)棱作棱柱,則所求四面體的體 積等于上述棱柱體積的,而的面積,AB與CD 的公垂線MN就是棱柱的高,于是= ,因此. 5,A 三個圓柱的軸為三條兩兩垂直的異面直線,而異面直線的距離都為2,則所求球的半徑為 . 6,D . 7, 設E是上的點,過E作EH于H,所以EH面ABCD,過H在面ABCD 內(nèi)作HF,連接EF,所以EFBD,令,,,所以EF= . 8,5 因各側(cè)面為全等的等腰三角形.在內(nèi)作高AE,則CE也是的高,故 .設則,, =., 得. 9, ; 將三棱錐的側(cè)棱PA剪開,當?shù)闹荛L最小時,其展開圖如圖 A B C D E A’ P 的周長即是展開圖中線段的長.易證 ∽,又PA=2AB=,故, ,.中, DE上的高.于是 ; 從P向底面作高PO.則PO= =.于是. 又,得.設P到截面的距離 A B C D E F O 為,則,于是. 10, 設半徑為3的球心為A,B,半徑為2的球心為C,D.則易知 AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.設小球中心為O,半徑為,則O在 四面體ABCD內(nèi)且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中點E,連結(jié) CE,DE,則CEAB,DEAB,故平面CDE為線段AB的垂直平分面 ,所以O在平面CDE內(nèi),又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平 分面內(nèi),故O在等腰底邊CD上的高EF上(F為CD中點),易算出ED=EC= ,得為等邊三角形.于是EF=.而 =.OE=,代入OE+OF =EF=2得,解得. 11,864 將幾何體補成一個棱長為12的正方體,幾何體的體積為正方體體積的一半,為. 12, 作AD于D,易證AD平面,所以.設, ,則,故.易證BC平面, 故,從而,即,于是,, 又,得. 13,證明:設D,分別為AB,的中點.連結(jié)CD,及,.因為,所以 四邊形為平行四邊形,得//.因AC=BC,于是.又D, 分別為 AB,的中點,故CDAB,,而在平面ABC(或)內(nèi)的射影為AB (或),得CD,,又已知,所以平面B,從而 ,又//,所以.又,得平面CD,從而得證. A B C A1 B1 C1 S H H1 14,解:為了建立V與原四棱錐的關系.我們先引用 下面的事實: (如圖)設分別在三棱錐的側(cè)棱SA,SB,SC上, 又與的體積分別是和V,則 . 事實上,設C,在平面SAB的射影分別是H,.則, 又,所以.下面回到原題. 設,,因的體積為.于是由上面的事實有 .得= =,于是, 而由,,得.則,(). 又得.所以 (1)當時,,V為減函數(shù),(2)當時,,V為增函數(shù). 所以得,又,得. 15,解:由題意,,得. (1)當時,由,則,矛盾! (2)當時,,矛盾! (3)當時,則,即. 所以的最大值為130; (4)當時,則,即. 所以的最大值為54; (5)當時,,得. 綜上所述:的最大值為130.