2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《排列組合》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《排列,組合》 1.排列組合題的求解策略 (1)排除:對有限條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況排除,這是解決排列組合題的常用策略. (2)分類與分步 有些問題的處理可分成若干類,用加法原理,要注意每兩類的交集為空集,所有各類的并集是全集;有些問題的處理分成幾個步驟,把各個步驟的方法數(shù)相乘,即得總的方法數(shù),這是乘法原理. (3)對稱思想:兩類情形出現(xiàn)的機會均等,可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù). (4)插空:某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間. (5)捆綁:把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”,然后與其它“普通元素”全排列,然后再“松綁”,將這些特殊元素在這些位置上全排列. (6)隔板模型:對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中,求裝的方法數(shù),常用隔板模型.如將12個完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個縫隙中任意插入3塊隔板,把球分成4堆,分別裝入4個不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為,這也就是方程的正整數(shù)解的個數(shù). 2.圓排列 (1)由的個元素中,每次取出個元素排在一個圓環(huán)上,叫做一個圓排列(或叫環(huán)狀排列). (2)圓排列有三個特點:(i)無頭無尾;(ii)按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列;(iii)兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同,但元素之間的順序不同,才是不同的圓排列. (3)定理:在的個元素中,每次取出個不同的元素進行圓排列,圓排列數(shù)為. 3.可重排列 允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列,叫做有重復(fù)的排列. 在個不同的元素中,每次取出個元素,元素可以重復(fù)出現(xiàn),按照一定的順序那么第一、第二、…、第位是的選取元素的方法都是種,所以從個不同的元素中,每次取出個元素的可重復(fù)的排列數(shù)為. 4.不盡相異元素的全排列 如果個元素中,有個元素相同,又有個元素相同,…,又有個元素相同(),這個元素全部取的排列叫做不盡相異的個元素的全排列,它的排列數(shù)是 5.可重組合 (1)從個元素,每次取出個元素,允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)次的組合叫從個元素取出個有重復(fù)的組合. (2)定理:從個元素每次取出個元素有重復(fù)的組合數(shù)為:. 例題講解 1.?dāng)?shù)1447,1005,1231有某些共同點,即每個數(shù)都是首位為1的四位數(shù),且每個四位數(shù)中恰有兩個數(shù)字相同,這樣的四位數(shù)共有多少個? 2.有多少個能被3整除而又含有數(shù)字6的五位數(shù)? 3.有個人參加收發(fā)電報培訓(xùn),每兩人結(jié)為一對互發(fā)互收,有多少種不同的結(jié)對方式? 4.將個不同的小球放入個不同的盒子中,要使每個盒子都不空,共有多少種放法? 5.在正方體的8個頂點,12條棱的中點,6個面的中心及正方體的中心共27個點中,共線的三點組的個數(shù)是多少個? 6.用8個數(shù)字1,1,7,7,8,8,9,9可以組成不同的四位數(shù)有多少個? 7.用五種顏色給正方體的各個面涂色,并使相鄰面必須涂不同的顏色,共有多少種不同的涂色方式? 8.某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品(每只產(chǎn)品可區(qū)分),每次取一只測試,直到4只次品全部測出為止.求最后一只次品在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種? 9.在平面上給出5個點,連結(jié)這些點的直線互不平行,互不重合,也互不垂直,過每點向其余四點的連線作垂線,求這此垂線的交點最多能有多少個? 10.位政治家舉行圓桌會議,兩位互為政敵的政治家不愿相鄰,其入坐方法有多少種? 11.某城市有6條南北走向的街道,5條東西走向的街道.如果有人從城南北角(圖點)走到東南角中點最短的走法有多少種? 12.用4個1號球,3個2號球,2個3號球搖出一個9位的獎號,共有多少種可能的號碼? 13.將個相同的小球,放入個不同的盒子(). (1)有多少種不同的放法? (2)如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法? 14.8個女孩和25個男孩圍成一圈,任意兩個女孩之間至少站著兩個男孩.(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就重合的排列認(rèn)為是相同的) 課后練習(xí) 1.8次射擊,命中3次,其中愉有2次連續(xù)命中的情形共有( )種 (A)15 ?。˙)30 ?。–)48 ?。―)60 2.在某次乒乓球單打比賽中,原計劃每兩名選手恰比賽一場,但有3名選手各比賽了2場之后就退出了,這樣,全部比賽只進行了50場。那么,在上述3名選手之間比賽的場數(shù)是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.某人從樓下到樓上要走11級樓梯,每步可走1級或2級,不同的走法有(?。┓N (A)144 ?。˙)121 (C)64 ?。―)81 4.從7名男乒乓球隊員,5名女乒乓球隊員中選出4名進行男女混合雙打,不同的分組方法有( ?。┓N (A) ?。˙) (C) ?。―) 5.有5分、1角、5角的人民幣各2枚、3張、9張,可組成的不同幣值(非0)有( ?。┓N (A)79 ?。˙)80 ?。–)88 (D)89 6.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)中取出3個數(shù),使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有________種 7.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角,那么,這樣的直線的條數(shù)是______. 8.設(shè)ABCDEF為正六邊形,一只青蛙開始在頂點A處,它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一.若在5次之內(nèi)跳到D點,則停止跳動;若5次之內(nèi)不能到達D點,則跳完5次也停止跳動,那么這只青蛙從開始到停止,可能出現(xiàn)的不同跳法共 種. 9.如果:(1)a,b,c,d都屬于{1,2,3,4};(2)ab,bc,cd,da;(3)a是a,b,c,d中的最小值,那么,可以組成的不同的四位數(shù)的個數(shù)是_________. 10.在一個正六邊形的六個區(qū)域種植觀賞植物,要求同一塊中種同一種植物,相鄰的兩塊種不同的植物?,F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇,則有 種載種方案. 11.10人圍圓桌而,如果甲、乙二人中間相隔4人,有 種坐法. 12.從中,按從小到大的順序選取四個數(shù),使得,,.問符合上要求的不同取法有多少種? 13.8人圍張一張圓桌,其中、兩人不得相鄰,而、兩人以必須相鄰的不同圍坐方式有多少種? 14.4對夫婦去看電影,8人坐成一排.若每位女性的鄰座只能丈夫或另外的女性,共有多少種坐法?- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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