高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課件 理 新人教A版.ppt
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第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,Ⅰ.理解等差數(shù)列的概念. Ⅱ.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式. Ⅲ.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. Ⅳ.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.,,,整合主干知識,1.等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列___________________________________ ________________,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______,通常用字母d表示. 2.等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是____________________.,從第2項起,每一項與它的前一項的差,公差,an=a1+(n-1)d,都等于同一個常數(shù),4.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=am+_________,(n,m∈N*). (2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),則_______________. (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為____. (4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.,(n-m)d,ak+al=am+an,2d,(5)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為_____的等差數(shù)列. 5.等差數(shù)列的前n項和公式,md,7.等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中,a10,d0,則Sn存在最____值.,大,小,質(zhì)疑探究:等差數(shù)列通項公式與前n項和公式的推導(dǎo)分別用了什么方法? 提示:前者用的是疊加法,后者用的是倒序相加法.,1.給出下列命題: ①若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列. ②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. ③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的. ④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù). ⑤等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).,其中正確的命題是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤ 解析:①錯誤.若這些常數(shù)都相等,則這個數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個數(shù)列就不是等差數(shù)列.②正確.如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列. ③正確.當(dāng)d0時為遞增數(shù)列;d=0時為常數(shù)列;d0時為遞減數(shù)列.,④錯誤.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當(dāng)d≠0時,等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù),否則不是.,答案:B,2.(2015海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}中,a2=3,a3+a4=9,則a1a6的值為( ) A.14 B.18 C.2 D.27,答案:A,3.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176,答案:B,4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,則k=________.,答案:3,,聚集熱點題型,[典例賞析1] (1)(2013安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)(2015石家莊市高三質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,則n的值為( ) A.8 B.9 C.10 D.11,等差數(shù)列基本量的計算,[思路點撥] 在等差數(shù)列{an}的an,Sn,a1,d,n的五個量中,知其三,求其二.,[答案] (1)A (2)C,[思考] 本例(1)中,已知條件不變,則Sn=________.,答案:-n2+11n,[名師講壇] ①此類問題的通法是把條件轉(zhuǎn)化為a1與d的方程(組),進(jìn)而可求其它問題. ②結(jié)合性質(zhì)求解,可簡化計算.,,[變式訓(xùn)練] 1.(1)(2015荊州市高三調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項,且S10=60,則S20=( ) A.80 B.160 C.320 D.640 (2) (2015鄭州市高三質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的前7項和等于前2項和,若a1=1,ak+a4=0,則k=________.,答案:(1)C (2)6,[思路點撥] 由題設(shè)條件構(gòu)造(an+1-an)-(an-an-1)的值,并累加求和.,等差數(shù)列的判定或證明,[名師講壇] 等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個常數(shù).,(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (3)通項公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.,,(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法,而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.,[典例賞析3] (1)(2014重慶高考)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 (2)(2015武漢市高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大的n是( ) A.18 B.19 C.20 D.21,等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,[解析] 由題意,得a1+2d+a1+4d=2a1+6d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.故選B. (2)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時,n=20.,[答案] (1)B (2)C (3)D,[名師講壇] 利用等差數(shù)列性質(zhì)的常見題型與求解策略,答案:5,[備課札記] __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項和的最值中的應(yīng)用,(注:對應(yīng)文數(shù)熱點突破之二十五),在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值. [審題視角] 由a1=20及S10=S15可求得d,進(jìn)而求得通項,由通項得到此數(shù)列前多少項為正,或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值的方法求解.,[方法點睛]求等差數(shù)列前n項和的最值,常用的方法:①利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項;②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;③將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.,已知等差數(shù)列{an}的首項a1=20,公差d=-2,則前n項和Sn的最大值為________.,答案:110,1.一個推導(dǎo) 利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式. 2.兩個技巧 (1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設(shè)為…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設(shè)為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….,,3.兩種思想 (1)等差數(shù)列的通項公式,前n項和公式涉及“五個量”,“知三求二”,需運用方程思想求解,特別是求a1和d. (2)等差數(shù)列{an}中,an=pn+q(p,q為常數(shù)),Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)),均是關(guān)于“n”的函數(shù),充分運用函數(shù)思想,借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)簡化解題過程.,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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