2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-4-2第2課時(shí) 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)同步檢測(cè) 新人教版選修2-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-4-2第2課時(shí) 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)同步檢測(cè) 新人教版選修2-1 一、選擇題 1.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1) 、B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,那么,|AB|等于( ) A.8 B.10 C.6 D.4 [答案] A [解析] 由題意,|AB|=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=6+2=8,選A. 2.到點(diǎn)(-1,0)與直線x=3的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為( ) A.x2=-4y+4 B.y2=-4x+4 C.x2=-8y+8 D.y2=-8x+8 [答案] D [解析] 由已知得=|x-3|, 變形為:y2=-8x+8,故選D. 3.(xx湖南文,5)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 [答案] B [解析] 本題考查拋物線的定義. 由拋物線的定義可知,點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是4+2=6. 4.已知A、B在拋物線y2=2px(p>0)上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),如果|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F,則直線AB的方程是( ) A.x-p=0 B.4x-3p=0 C.2x-5p=0 D.2x-3p=0 [答案] C [解析] 如圖所示: ∵F為垂心,F(xiàn)為焦點(diǎn),OA=OB,∴OF垂直平分AB. ∴AB為垂直于x軸的直線 設(shè)A為(2pt2,2pt)(t>0),B為(2pt2,-2pt), ∵F為垂心,∴OB⊥AF ∴kOBkAF=-1, 即=-1,解得t2= ∴AB為x=2pt2=p,∴選C. 5.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則的值是( ) A.12 B.-12 C.3 D.-3 [答案] D [解析] 設(shè)A(,y1),B(,y2),則=(,y1),=(,y2),則=(,y1)(,y2)=+y1y2,又∵AB過(guò)焦點(diǎn),則有y1y2=-p2=-4, ∴=+y1y2=-4=-3,故選D. 6.(xx中山市高二期末)若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 [答案] D 7.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),到點(diǎn)(1,1)和直線x+2y=3距離相等的點(diǎn)的軌跡是( ) A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線 [答案] A [解析] 點(diǎn)(1,1)在直線x+2y=3上,∴軌跡為過(guò)點(diǎn)(1,1)且與x+2y=3垂直的直線. 8.拋物線y=-x2上的點(diǎn),到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( ) A. B. C. D.3 [答案] A [解析] 拋物線y=-x2上到直線4x+3y-8=0的距離最小的點(diǎn)也就是拋物線y=-x2的與4x+3y-8=0平行的切線的切點(diǎn). 設(shè)切線方程為4x+3y+b=0,聯(lián)立與y=-x2組成的方程組,解得切點(diǎn)為(,-) ∴最小距離為d==. 9.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),作一條直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( ) A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在 [答案] B [解析] 由定義|AB|=5+2=7, ∵|AB|min=4,∴這樣的直線有兩條. 10.直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn),由P、Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR、QS,垂足分別為R、S.如果|PF|=a,|QF|=b,M為RS的中點(diǎn),則|MF|的值為( ) A.a(chǎn)+b B.(a+b) C.a(chǎn)b D. [答案] D [解析] 根據(jù)拋物線的定義,有|PF|=|PR|,|QF|=|QS|. ∵∠RFO=∠FRP=∠RFP,∠SFO=∠FSQ=∠SFQ, ∴∠RFS=∠RFP+∠SFQ. ∴△RFS為直角三角形,故|MF|為直角三角形斜邊上的中線.在直角梯形PRSQ中,|RS|==2. 故|FM|=|RS|=. 二、填空題 11.已知點(diǎn)A(2,0)、B(4,0),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2=-4x上運(yùn)動(dòng),則取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是______. [答案] (0,0) [解析] 設(shè)P,則=,=,=+y2=+y2+8≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)取等號(hào),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0). 12.已知點(diǎn)A(4,0),M是拋物線y2=6x上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M到A距離最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______. [答案] (1,) [解析] 設(shè)M,則|MA|2=2+y =y(tǒng)-y+16=(y-6)2+15≥15, 當(dāng)且僅當(dāng)y=6,即y1=,x1==1時(shí),|MA|取最小值,此時(shí)M(1,). 13.(xx全國(guó)Ⅱ文,15)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過(guò)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于A,與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,若A=M,則p=________. [答案] 2 [解析] 本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系. 由斜率為,∠M=60, 又=,∴M為中點(diǎn). ∴BP=BM,∴M為焦點(diǎn), 即=1,∴p=2. 14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,且拋物線上一點(diǎn)(-3,m)到焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線的方程為_(kāi)_______. [答案] x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y [分析] 應(yīng)分焦點(diǎn)在y軸正半軸,負(fù)半軸兩種情況考慮,利用拋物線的定義,結(jié)合待定系數(shù)法求拋物線方程. [解析] 解法一:若焦點(diǎn)在y軸的正半軸上,則可設(shè)方程為x2=2py(p>0) 準(zhǔn)線方程為y=-,所以m-=5. 又因?yàn)?=2pm,所以m=,所以+=5. 得p=1或p=9. 所以拋物線方程為x2=2y,或x2=18y. 若焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,則方程為x2=-2py(p>0), 準(zhǔn)線方程為y=,所以-m=5,所以+=5,得p=1或p=9, 所以拋物線的方程為x2=-2y,或x2=-18y. 解法二:設(shè)拋物線的方程為x2=2ay(a≠0), 則p=|a|,準(zhǔn)線方程為y=-. 依題意有 解此方程組可得四組解: 所以所求拋物線方程為: x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y. [點(diǎn)評(píng)] 注意焦點(diǎn)在x軸或y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2=2ax(a≠0)或x2=2ay(a≠0)的形式,以簡(jiǎn)化運(yùn)算. 此題沒(méi)要求求m的值,故解方程組可只求a即可,這樣,解法二就更加簡(jiǎn)捷. 三、解答題 15.已知點(diǎn)A在平行于y軸的直線l上,且l與x軸的交點(diǎn)為(4,0).動(dòng)點(diǎn)P滿足平行于x軸,且⊥,求P點(diǎn)的軌跡. [解析] 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則由已知有A的坐標(biāo)為(4,y),所以=(4,y),=(x,y). 因?yàn)椤停裕?,因此4x+y2=0, 即P的軌跡方程為4x+y2=0.∴軌跡是拋物線. 16.(xx湖北文,20)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程; (2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [分析] 本小題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力. [解析] (1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)P(x,y)滿足: -x=1(x>0) 化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0) (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2). 設(shè)l的方程為x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0, 此時(shí)Δ=16(t2+m)>0. 于是① 又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2) <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0② 又x=,于是不等式②等價(jià)于+y1y2-(+)+1<0?+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0③ 由①式,不等式③等價(jià)于m2-6m+1<4t2④ 對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,即3-20)的準(zhǔn)線為x=-,A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)A、B到準(zhǔn)線的距離分別為dA,dB,由拋物線的定義知,|AF|=dA=x1+,|BF|=dB=x2+, 于是|AB|=x1+x2+p=p;x1+x2=p. 當(dāng)x1=x2時(shí),|AB|=2p
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