高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教版選修2-2.ppt

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2.3 數(shù)學(xué)歸納法,第二章 推理與證明,1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理. 2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點(diǎn)一 歸納法及分類,,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為 歸納法和 歸納法， 完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的，因?yàn)樗疾炝藛栴}涉及的所有對象； 不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因?yàn)樗豢疾炝四臣虑榈牟糠謱ο?，但它是一種重要的思考問題的方法，是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明，是解決問題的一種重要途徑.,完全,不完全,完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結(jié)論的推理方法，又叫枚舉法. 與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的. 通常在事物包括的特殊情況不多時(shí)，采用完全歸納法.,思考 下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，請?jiān)诶ㄌ柪锾钌线m當(dāng)?shù)臄?shù). (1)1,5,9,13,17，( )；,,答案,21,8,21,知識點(diǎn)二 數(shù)學(xué)歸納法,,答案,1.數(shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： ①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立； ②(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立. 2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)注意幾點(diǎn)： (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與 有關(guān)的命題. (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可. (3)步驟②的證明必須以“假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立”為條件.,正整數(shù)n,,答案,不能保證猜想一定正確，需要嚴(yán)密的證明.,,(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件？,答案 ①第一塊骨牌倒下； ②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下. 條件②事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系， 換言之就是假設(shè)第K塊倒下， 則相鄰的第K＋1塊也倒下.,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立,,解析答案,反思與感悟,例1 求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*).,,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋1＝2，右邊＝211＝2，左邊＝右邊，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2k－1)，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2),＝2k13…(2k－1)(2k＋1)2 ＝2k＋113…(2k－1)[2(k＋1)－1]＝右邊. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立. 由(1)(2)可知，對一切n∈N*，原等式均成立.,,反思與感悟,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式兩邊會增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).,,,解析答案,,解析答案,,,題型二 證明不等式問題,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,證明 由已知條件可得bn＝2n(n∈N*)，,∴不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立.,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,反思與感悟,,要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，,反思與感悟,∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立. 由(1)(2)可知，對一切n∈N*，原不等式均成立.,,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標(biāo)，在湊證明目標(biāo)時(shí)，比較法、綜合法、分析法都適用.,反思與感悟,,解析答案,,解析答案,(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,,解析答案,所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立. 由(1)(2)知，不等式對一切n∈N*都成立.,題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,,解析答案,反思與感悟,例3 求證n∈N*時(shí)，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.,,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋(a＋1)21－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被a2＋a＋1整除， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立. 由(1)(2)知，對任意n∈N*，命題成立.,,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時(shí)，關(guān)鍵是從當(dāng)n＝k＋1時(shí)的式子中拼湊出當(dāng)n＝k時(shí)能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意非負(fù)整數(shù)n，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除.,證明 (1)當(dāng)n＝0時(shí)，A0＝112＋12＝133，能被133整除. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥0)時(shí)，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝1111k＋2＋122122k＋1 ＝1111k＋2＋11122k＋1＋(122－11)122k＋1 ＝11(11k＋2＋122k＋1)＋133122k＋1， 能被133整除. 由(1)(2)可知，對于任意非負(fù)整數(shù)n，An都能被133整除.,題型四 用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題,,解析答案,反思與感悟,例4 已知n個(gè)平面都過同一點(diǎn)，但其中任何三個(gè)平面都不經(jīng)過同一直線，求證：這n個(gè)平面把空間分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.,,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，1個(gè)平面把空間分成2部分， 而f(1)＝1(1－1)＋2＝2(部分)，所以命題正確. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，命題成立， 即k個(gè)符合條件的平面把空間分為f(k)＝k(k－1)＋2(部分)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，第k＋1個(gè)平面和其他每一個(gè)平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分， 故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k ＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立. 根據(jù)(1)(2)，知n個(gè)符合條件的平面把空間分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.,,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k增加到k＋1時(shí)，所證的幾何量增加多少，同時(shí)要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k＋1之間的遞推關(guān)系.,反思與感悟,,解析答案,,解析答案,證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，,∴當(dāng)n＝2時(shí)，命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥2)時(shí)命題成立，,那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,l與其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k， 從而k＋1條直線共有f(k)＋k個(gè)交點(diǎn)，,∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立. 由(1)(2)可知，對任意n∈N*(n≥2)命題都成立.,,解析答案,因弄錯(cuò)從n＝k到n＝k＋1的增加項(xiàng)致誤,防范措施,返回,,易錯(cuò)易混,,錯(cuò)解 ①當(dāng)n＝1時(shí)，,解析答案,防范措施,即n＝1時(shí)不等式成立. ②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時(shí)不等式成立，,那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,,即n＝k＋1時(shí)，不等式成立.,正解 ①當(dāng)n＝1時(shí)，,即n＝1時(shí)不等式成立.,解析答案,防范措施,,防范措施,②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)不等式成立，,那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,所以n＝k＋1時(shí)，不等式成立.,,,防范措施,,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，可以寫出相應(yīng)增加的項(xiàng)，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.,返回,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a4,B,解析答案,解析 當(dāng)n＝1時(shí)，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項(xiàng)為a，左邊是1＋a，故選B.,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,比較①②可知C正確.,1,2,3,4,5,,解析答案,2k,解析 觀察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，,因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k項(xiàng).,1,2,3,4,5,,解析答案,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步應(yīng)驗(yàn)證______________.,n＝3時(shí)是否成立,解析 n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n＝3時(shí)是否成立.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為________.,,課堂小結(jié),1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存，缺一不可. 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ). 2.歸納假設(shè)的作用. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)： (1)歸納假設(shè)就是已知條件； (2)在推證n＝k＋1時(shí)，必須用上歸納假設(shè).,,返回,3.利用歸納假設(shè)的技巧. 在推證n＝k＋1時(shí)，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè). 此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系. 在推證時(shí)，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用. 4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍. 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題、探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題中.,