高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)提升課件 蘇教版選修2-2.ppt

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第 1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,章末復(fù)習(xí)提升,1.理解導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算. 2.掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 3.學(xué)會(huì)定積分的概念、運(yùn)算、應(yīng)用.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義 1.函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)：,,答案,f′(x0),函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：,f′(x),2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率等于 ，其切線方程為 .,f(x0),y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),,3.函數(shù)的求導(dǎo)公式：(C)′＝ ，(xn)′＝ . (sin x)′＝ ，(cos x)′＝ ，(ax)′＝ ， (ex)′＝ ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝ . 4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)， [f(x)g(x)]′＝ ， ＝ (g(x)≠0).,0,nxn－1,cos x,－sin x,axln a,ex,f′(x)g(x)＋f(x)g′(x),答案,,答案,知識(shí)點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)＞0，則f(x) ；f′(x)＜0，則f(x) . 2.函數(shù)的極值：f′(x0)＝0，在x0附近，從左到右，f′(x)的符號(hào)由正到負(fù)，f(x0)為 ；由負(fù)到正，f(x0)為 . 3.函數(shù)的最值：閉區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x)，最值在______ 或 處取得，最大的為最大值，最小的為最小值. 4.生活中的優(yōu)化問(wèn)題(導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用).,遞增,遞減,極大值,極小值,極值點(diǎn),區(qū)間端點(diǎn),,知識(shí)點(diǎn)三 定積分概念、運(yùn)算和應(yīng)用,定積分,定積分的概念,定積分的運(yùn)算,定積分的性質(zhì),定積分的幾何意義,微積分基本定理 ＝ (其中F′(x)＝f(x),,,定積分的應(yīng)用,,幾何中的應(yīng)用：求平面圖形的面積,物理中 的應(yīng)用,求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 求變力做功,,F(b)－F(a),答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 解決與切線有關(guān)的問(wèn)題 例1 已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為－1. (1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；,解 由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 當(dāng)xln 2時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞減； 所以當(dāng)x＝ln 2時(shí)，f(x)取得極小值， 且極小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)無(wú)極大值.,又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.,令f′(x)＝0，得x＝ln 2.,當(dāng)xln 2時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增.,,解析答案,(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x20. 故g(x)在R上單調(diào)遞增， 又g(0)＝10， 因此，當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)0，即x2ex.,反思與感悟,,反思與感悟,高考中求切線方程問(wèn)題主要有以下兩種類型： 類型1 求“在”曲線y＝f(x)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程(高考?？碱愋?.則點(diǎn)P(x0，y0)為切點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在(即函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo))時(shí)，切線斜率為k＝f′(x0)，有唯一的一條切線，對(duì)應(yīng)的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，對(duì)應(yīng)的切線方程為x＝x0.,,反思與感悟,,類型2 求“過(guò)”曲線y＝f(x)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，則切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn).這樣的直線可能有多條，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”，即：①設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)是曲線y＝f(x)上的一點(diǎn)，則以A為切點(diǎn)的切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根據(jù)題意知點(diǎn)P(x0，y0)在切線上，點(diǎn)A(x1，y1)在曲線y＝f(x)上，得到方程組,求出切點(diǎn)A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，,化簡(jiǎn)即得所求的切線方程.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；,解 ∵f(2)＝23＋2－16＝－6， ∴點(diǎn)(2，－6)在曲線上. ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝322＋1＝13， ∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.,,解析答案,(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).,解 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，,∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， ∴k＝3(－2)2＋1＝13， ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26).,,解析答案,題型二 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題 例2 設(shè)函數(shù)f(x)＝ x2＋ex－xex. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)， f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex). 若x＜0，則1－ex＞0，∴f′(x)＜0； 若x＞0，則1－ex＜0，∴f′(x)＜0； 若x＝0，則f′(x)＝0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，＋∞).,,解析答案,(2)若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，不等式f(x)＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 由(1)知f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減， ∴f(x)min＝f(2)＝2－e2. ∴當(dāng)m＜2－e2時(shí)，不等式f(x)＞m恒成立.,反思與感悟,,反思與感悟,利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時(shí)，要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f′(x)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)求解. 求解參數(shù)范圍的步驟為： (1)對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x)； (2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍； (3)驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí)，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值.,,解析答案,(1)若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；,由題意知f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴ax2－ln x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，,當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減. ∴h(x)在x0＝ 處取得最大值.,,解析答案,(2)若函數(shù)g(x)＝xf(x)有唯一零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,解 由題意知g(x)＝xf(x)＝ax2＋x＋ln x＝0，,故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，R(x)＜0，φ′(x)＜0，函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減；,且易得R(1)＝0，,當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，R(x)＞0，φ′(x)＞0，函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增. 故φ(x)≥φ(1)＝－1. 又當(dāng)x→0時(shí)，φ(x)→＋∞， 而當(dāng)x→＋∞時(shí)，φ(x)→0且φ(x)＜0，可得如圖所示的圖象. 故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥0或a＝－1}.,,解析答案,題型三 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值問(wèn)題,(1)若f(x)在x＝2時(shí)取得極值，求a的值；,因?yàn)閒(x)的定義域是(0，＋∞)，所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0， 所以當(dāng)a＝4時(shí)，x＝2是一個(gè)極小值點(diǎn)，故a＝4.,,解析答案,(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,所以當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).,,解析答案,反思與感悟 有關(guān)函數(shù)極值、最值問(wèn)題，需注意求解思路與方法，理解構(gòu)造函數(shù)在解(證)題中的靈活運(yùn)用.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx在區(qū)間(－2,1)內(nèi)，當(dāng)x＝－1時(shí)取極小值，當(dāng)x＝ 時(shí)取極大值. (1)求函數(shù)y＝f(x)在x＝－2時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程；,解 f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.,x＝－2時(shí)，f(x)＝2，即(－2,2)在曲線上. 又切線斜率為k＝f′(x)＝－3x2－x＋2，f′(－2)＝－8， 所求切線方程為y－2＝－8(x＋2)，即為8x＋y＋14＝0.,,解析答案,(2)求函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的最大值與最小值.,解 x在變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：,,例4 現(xiàn)有一批貨物由海上A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/小時(shí)，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元. (1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時(shí))的函數(shù)； (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？,易錯(cuò)易混,解實(shí)際問(wèn)題時(shí)因忽略定義域致誤,解析答案,返回,防范措施,,解析答案,防范措施,令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去). 當(dāng)0＜x＜40時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞40時(shí)，y′＞0.,故為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以40海里/小時(shí)的速度行駛.,,解析答案,防范措施,錯(cuò)因分析 解應(yīng)用題最關(guān)鍵的就是要表達(dá)清楚模型的函數(shù)關(guān)系式，這其中就包括函數(shù)的定義域.定義域一定要根據(jù)題目的條件，考慮自變量的實(shí)際意義.本題錯(cuò)解就是因?yàn)楹雎粤硕x域?qū)е伦詈蟮慕忸}錯(cuò)誤.,令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去).,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0,35]，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有極值.,,防范措施,又當(dāng)0＜x≤35時(shí)，y′＜0，,故為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/小時(shí)的速度行駛.,,正確確定自變量的取值范圍，在解題過(guò)程中，要在其允許取值范圍內(nèi)求解.,,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,1.函數(shù)f(x)＝(2πx)2的導(dǎo)數(shù)是 .,解析 因f(x)＝4π2x2，故f′(x)＝8π2x.,f′(x)＝8π2x,,解析答案,1,2,3,4,5,2.函數(shù)f(x)＝xe－x的單調(diào)遞增區(qū)間是 .,令f′(x)＞0, 得x＜1，故增區(qū)間為(－∞，1).,(－∞，1),,1,2,3,4,5,解析 由s′＝t3－5t2＋4t＝0， 得t(t2－5t＋4)＝0，t(t－1)(t－4)＝0，t1＝0，t2＝1，t3＝4， 即t＝0或1或4時(shí)，速度為0.,0或1或4,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,4.用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之 比為2∶1，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 時(shí)，其體積最大.,由V′＝0得x＝1或x＝0(舍去). ∴x＝1是函數(shù)V在(0，＋∞)上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝ 時(shí)，y＝f(x)有極值. (1)求a，b，c的值；,解 由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由題意，當(dāng)x＝1時(shí)，切線的斜率為3，可得2a＋b＝0. ①,可得4a＋3b＋4＝0. ② 由①②解得a＝2，b＝－4， ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.,由于切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，∴f(1)＝4，,故a＝2，b＝－4，c＝5.,,解析答案,(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值.,解 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，,∴f′(x)＝3x2＋4x－4.,當(dāng)x變化時(shí)，y，y′的變化情況如下表：,1,2,3,4,5,,課堂小結(jié),,返回,1.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充分必要條件是f′(x0)＝0且f ′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)不同，f′(x0)＝0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件，函數(shù)極值是一個(gè)局部概念，求極值時(shí)經(jīng)常把f′(x)＝0的點(diǎn)附近函數(shù)值的變化情況列成表格. 2.一些求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a和f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a的思想解題.存在或有解問(wèn)題，如f(x)＜a有解?a＞f(x)min和f(x)＞a有解?a＜f(x)max成立.,