2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案【含解析】新人教A版必修4

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1、 2．3.2 & 2.3.3　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 [提出問題] 問題1：在平面內(nèi)，規(guī)定e1，e2為基底，那么一個(gè)向量對(duì)e1，e2的分解是唯一的嗎？ 提示：唯一． 問題2：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，任作一向量.根據(jù)平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)與A點(diǎn)的坐標(biāo)相同嗎？ 提示：相同． 問題3：如果向量也用(x，y)表示，那么這種向量與實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)之間是否一一對(duì)應(yīng)？ 提示：一一對(duì)應(yīng)． [導(dǎo)入新知] 1．平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互

2、相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則(x，y)叫做a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐標(biāo)表示． 3．向量i，j，0的坐標(biāo)表示 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)． [化解疑難] 辨析點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo) (1)當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量本身的坐標(biāo)． (2)書寫不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)． (3)給定一個(gè)向量，它的坐標(biāo)是唯一的；給定一對(duì)實(shí)數(shù)，由于向量可以平

3、移，故以這對(duì)實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無窮多個(gè)． (4)兩個(gè)向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同． 即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a＝b? 注意：相等向量的坐標(biāo)是相同的，但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [提出問題] 設(shè)a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 問題1：a，b的坐標(biāo)分別是什么？ 提示：(x1，y1)，(x2，y2)． 問題2：試求3a和2a－b. 提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j， 2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j. 問題3：3a與2a－b的坐標(biāo)分別是什么？ 提示：(3x

4、1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)． 問題4：若把向量平移到，則和的坐標(biāo)相同嗎？的坐標(biāo)是C點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？ 提示：相同．的坐標(biāo)不是C點(diǎn)坐標(biāo)． [導(dǎo)入新知] 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 文字 符號(hào) 加法 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 減法 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2) 數(shù)乘向量 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo) 若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λ

5、x，λy) 重要結(jié)論 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo) 已知向量的起點(diǎn)A(x1，y1)，終點(diǎn)B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1) [化解疑難] 向量坐標(biāo)的特點(diǎn) (1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)． (2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變. 平面向量的坐標(biāo)表示 [例1]　已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)． [解]　由題知B，D分別是30，120角的終邊與單位圓的交點(diǎn)． 設(shè)B(x1，y1)，

6、D(x2，y2)． 由三角函數(shù)的定義，得 x1＝cos 30＝，y1＝sin 30＝， ∴B. x2＝cos 120＝－，y2＝sin 120＝， ∴D. ∴＝，＝. [類題通法] 求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法 (1)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)． (2)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)． [活學(xué)活用] 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60. (1)求向量的坐標(biāo)； (2)若B(，－1)，求的坐標(biāo)． 答案：(1)＝(2，6)　(2)＝(，7)

7、 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [例2]　(1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝__________，－2＝________. (2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)． [解]　(1)(11,13)　(－7，－14) (2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)． [類題通法] 平面向量的坐標(biāo)

8、運(yùn)算技巧 在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算(直角坐標(biāo)運(yùn)算法則即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差，數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積)． [活學(xué)活用] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于(　　) A．－a＋b　　　　　　B.a－b C.a－b D．－a＋b 答案：B 2．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則等于(　　) A．(－2，－4) B．(3,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 答案：A 由向量相等求坐標(biāo) [例3

9、]　(1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，則p＝________，q＝________. (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐標(biāo)． [解]　(1)1　4 (2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)， ＝2＝2(6,3)＝(12,6)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20

10、； ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2， 所以M(0,20)，N(9,2)， ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． [類題通法] 坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 (1)坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量． (2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可求某些參數(shù)的值． [活學(xué)活用] 已知a＝，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 答案：A(8，－10) 　　　　 [典例]　(12分)已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，

11、B(4,5)，且＝＋t，試問： (1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？ (2)四邊形OABP可能為平行四邊形嗎？若可能，求出相應(yīng)的t值；若不可能，請(qǐng)說明理由． [解題流程] [規(guī)范解答] 由題可知＝(1,2)，＝(3,3)， ＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(2分) (1)若P在x軸上， 則有2＋3t＝0，t＝－；(3分) 若P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－；(4分) 解得－

12、3－3t)．(8分) 若四邊形OABP是平行四邊形，則有＝ ，(10分) 即方程組顯然無解．(11分) ∴四邊形OABP不可能是平行四邊形．(12分) [名師批注] 由向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系可知，向量的坐標(biāo)就是P點(diǎn)坐標(biāo)．正確求解的坐標(biāo)是后續(xù)解題的關(guān)鍵． 點(diǎn)在x軸上，只需縱坐標(biāo)為0即可． 點(diǎn)在y軸上，只需橫坐標(biāo)為0即可． 點(diǎn)在第二象限，需橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0.此處易搞混坐標(biāo)符號(hào)而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 假設(shè)四邊形OABP是平行四邊形，則＝.由＝相等求t，依據(jù)t是否有解判斷假設(shè)是否成立即可．此處易出現(xiàn)找不到關(guān)于t的關(guān)系式而造成無法求解的情況.

13、　 [活學(xué)活用] 如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 答案：點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)或(6,4)或(0，－6) [隨堂即時(shí)演練] 1．(全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 答案：A 2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，則a＝(　　) A．(－3,4) B．(5，－12) C．(1，－4) D．(－4,8) 答案

14、：A 3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________. 答案：(－4,9) 4．已知a＝(3,4)，點(diǎn)A(1，－3)，若＝2a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________． 答案：(7,5) 5．已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，則λ為何值時(shí)， (1)點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上？ (2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？ 答案：(1)λ＝　(2)λ<－1 [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，則等于(　　) A．(－2,3)　　　　　 　B．(2，－3) C．(2,3) D．(－2，－3)

15、 答案：A 2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，則c等于(　　) A．(－2,6) B．(－4,0) C．(7,6) D．(－2,0) 答案：D 3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，則(　　) A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2 C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2 答案：C 4．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A．2 B．1 C. D. 答案：A 5．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝

16、(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案：D 二、填空題 6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，則α＋β＝________. 答案：或－ 7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，試以e1，e2為基底，將a分解成λ1e1＋λ2e2的形式為________． 答案：a＝e1＋e2 8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB

17、內(nèi)，|OC|＝2，且∠AOC＝.設(shè)＝ λ＋ (λ∈R)，則λ＝ ________. 答案： 三、解答題 9．已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo)． 解：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)．由題意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)， ＝(－3，－6)． ∵＝，＝－， ∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)． 則有 解得 ∴C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(－2,0)， 因此＝(－2，－4)． 10．已知三點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(

18、7,10)，點(diǎn)P滿足＝＋λ (λ∈R)． (1)λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在正比例函數(shù)y＝x的圖象上？ (2)設(shè)點(diǎn)P在第三象限，求λ的取值范圍． 解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則＝(x1－2，y1－3)． ＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)， 即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)， 由＝＋λ， 可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 則解得 ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(5＋5λ，4＋7λ)． (1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝， ∴當(dāng)λ＝時(shí)，P點(diǎn)在函數(shù)y＝x的圖象上． (2)因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，∴解得λ＜－1， ∴λ的取值范圍是{λ|λ＜－1}． 11．已知向

19、量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示． (1)證明：對(duì)任意向量a，b及常數(shù)m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)； (3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常數(shù))的向量c的坐標(biāo)． 解：(1)證明：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， ∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1) ＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)f(a)＝(1,21－1)＝(1,1)， f(b)＝(0,20－1)＝(0，－1)． (3)設(shè)c＝(x，y)， 則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)， ∴y＝p,2y－x＝q， ∴x＝2p－q， 即向量c＝(2p－q，p)． - 10 -