專題測試練習(xí)題 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題

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1、專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題 【自主熱身,歸納提煉】 1、設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2＋a4＝2,S2＋S4＝1,則a10＝________． 【答案】. 8 【解析】： 列方程組求出a1和d,則a10＝a1＋9d. 設(shè)公差為d,則解得所以a10＝a1＋9d＝8. 2、 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S15＝30,a7＝1,則S9的值為________． 【答案】： －9 解法1利用等差數(shù)列基本量；解法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)：①等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系：在等差數(shù)列{an}中,若m,n,p,q∈N*且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq；

2、②等差數(shù)列任兩項(xiàng)的關(guān)系：在等差數(shù)列{an}中,若m,n∈N*且其公差為d,則am＝an＋(m－n)d. 3、在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2＝1,a8＝a6＋6a4,則a3的值為________． 【答案】： 【解析】：由a8＝a6＋6a4得a2q6＝a2q4＋6a2q2,則有q4－q2－6＝0,所以q2＝3(舍負(fù)),又q>0,所以q＝,則a3＝a2q＝. 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算是高考?？碱}型,熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵,值得注意的是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣“an＝amqn－m(n>m)”的應(yīng)用． 4、已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

3、Sn,且＝－,a4－a2＝－,則a3的值為________． 【答案】：. 【解析】： 兩個(gè)已知等式均可由a3和公比q表示． 由已知,得解得 5、記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若am＝10,S2m－1＝110,則m的值為________． 【答案】： 6 【解析】：由S2m－1＝·(2m－1)＝[a1＋(m－1)d](2m－1)＝(2m－1)am得,110＝10(2m－1),解得m＝6. 6、已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,且a3＝3a,則S3＝________． 【答案】：. 【解析】：設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列

4、{an}的公比為q,則q>0,且a1>0,由4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,得2a3＝4a4＋6a5,即2a3＝4a3q＋6a3q2,解得q＝.又由a3＝3a,解得a1＝,所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝. 7、知是等比數(shù)列,是其前項(xiàng)和．若,,則的值為 ▲ ． 【答案】2或6 【解析】由,當(dāng)左邊=右邊= 顯然不成立,所以,則有,因?yàn)? 所以,即,所以或,所以. 【易錯(cuò)警示】若用到等比數(shù)列的前項(xiàng)公式,要討論公比是否為1；方程兩邊,若公因數(shù)不為0,可以同時(shí)約去,若不確定是否為0,要移項(xiàng)因式分解,轉(zhuǎn)化成乘積為0的形式再求解,否則會(huì)漏解. 8、《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有

5、一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則該竹子最上面一節(jié)的容積為________升． 【答案】：. 【解析】：設(shè)該等差數(shù)列為{an},則有S4＝3,a9＋a8＋a7＝4,即a8＝,則有即解得a1＝. 9、 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2,n∈N*),若對任意n∈N*,總有Sn≤Sk,則k的值是________． 10、若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a3－a1＝2,則a5的最小值為 ． 【答案】：．8 【解析】： 因?yàn)閍3－a1＝2,所以,即 所以,設(shè),

6、即, 所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取到等號(hào). 【問題探究,變式訓(xùn)練】 例1、已知公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若＝3,則的值為________． 【答案】：. 【解析】：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,則由＝3得＝3,所以d＝4a1,所以＝＝＝. 【變式1】、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則= ． 【解析】 由,得,由S3,S6- S3,S9- S6成等差數(shù)列, 故S6- S3 = 2S3,S9- S6 = 3S3 = S6,解得=． 【變式2】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則= ． 【解析】 由,得,由S5,S10- S5,S15- S

7、10,S20- S15成等差數(shù)列, 故S10- S5 = 2 S5,S15- S10 = 4S5,S20- S15 = 8S5, 所以,,,故． 【變式3】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則= ． 【解析】 由,得,則． 【關(guān)聯(lián)1】、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn＝2an－2,則＝________. 【解析】： 4 求出a1及an＋1與an間的遞推關(guān)系． 由Sn＝2an－2和Sn＋1＝2an＋1－2,兩式相減得an＋1－2an＝0,即an＋1＝2an.又a1＝S1＝2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公比q＝2的等比數(shù)列,所以＝q2＝4. 【關(guān)聯(lián)2

8、】、Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若＝,則＝________. 【答案】： 解法1 由＝可得,＝＝,當(dāng)n＝1時(shí),＝,所以a2＝2a1. d＝a2－a1＝a1,所以＝＝＝. 解法2 ＝＝, 觀察發(fā)現(xiàn)可令Sn＝n2＋n,則an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n,所以＝＝. 【關(guān)聯(lián)3】、 已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)的和分別是An和Bn,且,使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為 ． 【解析】,所以,, 要使得為整數(shù),則n+1為18的因數(shù), n=1,2,5,8,17, 所以,使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有5個(gè)． 例1、已知數(shù)列{an}是公差為

9、正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a2·a3＝15,S4＝16. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2) 設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1＝a1,bn＋1－bn＝. ①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； ②是否存在正整數(shù)m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差數(shù)列？若存在,求出m,n的值；若不存在,請說明理由． 【解析】： (1) 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則d＞0. 由a2·a3＝15,S4＝16,得 解得或(舍去)．所以an＝2n－1.(4分) (2) ①因?yàn)閎1＝a1＝1, bn＋1－bn＝＝＝·, (6分) 即b2－b1＝, b3－b2＝, … bn－bn－1＝,n≥

10、2, 累加得bn－b1＝＝,(9分) 所以bn＝b1＋＝1＋＝. 又b1＝1也符合上式,故bn＝,n∈N*.(11分) 解后反思 對于研究與整數(shù)有關(guān)的問題,一般地,可利用整數(shù)性或通過求出某個(gè)變量的限制范圍,利用整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行一一地驗(yàn)證． 【變式1】、設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,滿足,S7 = 7 （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn； （2）試求所有的正整數(shù)m,使得為數(shù)列{an}中的項(xiàng)． 【解析】（1）設(shè)公差為d,則,得, 因?yàn)閐 ≠ 0,所以, 又由S7 = 7得a4 = 1,解得a1 = -5,d = 2, 所以,． （2）,

11、令,則, 因?yàn)閠是奇數(shù),所以t可取的值為, 當(dāng)t = 1,m = 1時(shí),,是數(shù)列中的項(xiàng)； 當(dāng)t = -1時(shí),m = 0（舍）, 所以,滿足條件的正整數(shù)m = 1． 【變式2】、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn},{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1－,(n＋2)cn＝－,其中n∈N*. (1) 若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式； (2) 若存在實(shí)數(shù)λ,使得對一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 思路分析 (2) 若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則an＋1－＝d,－＝d,所以bn＝cn＝d.因此要先證b

12、n＝cn＝λ是常數(shù)． 【解析】： (1) 若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,則＝.(2分) 所以(n＋2)cn＝＝n＋2,得cn＝1.(4分) (2) 由(n＋1)bn＝an＋1－,得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn, 從而(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1. 兩式相減,得(n＋1)(n＋2)bn＋1－n(n＋1)bn＝(n＋1)an＋2－(n＋1)an＋1, 即(n＋2)bn＋1－nbn＝an＋2－an＋1.(*)(6分) 又(n＋2)cn－(n＋1)bn＝, 所以2(n＋2)cn－2(n＋1)bn＝(n＋2)bn＋1－nbn, 整理,得cn＝(

13、bn＋bn＋1)．(9分) 因?yàn)閎n≤λ≤cn對一切n∈N*恒成立, 所以bn≤λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ對一切n∈N*恒成立, 得cn＝λ,且bn＋bn＋1＝2λ. 而bn≤λ,bn＋1≤λ,所以必有bn＝bn＋1＝λ. 綜上所述,bn＝cn＝λ對一切n∈N*恒成立．(12分) 此時(shí),由(*)式,得an＋2－an＋1＝2λ對一切n∈N*恒成立．(14分) 對(n＋1)bn＝an＋1－,取n＝1,得a2－a1＝2λ. 綜上所述,an＋1－an＝2λ對一切n∈N*恒成立． 所以數(shù)列{an}是公差為2λ的等差數(shù)列．(16分) 思想根源 若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,

14、則是公差為d的等差數(shù)列． 【關(guān)聯(lián)1】、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1＝3,且對任意的正整數(shù)n,都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1,其中常數(shù)λ>0.設(shè)bn＝ (n∈N*)﹒ (1) 若λ＝3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 若λ≠1且λ≠3,設(shè)cn＝an＋×3n(n∈N*),證明數(shù)列是等比數(shù)列； (3) 若對任意的正整數(shù)n,都有bn≤3,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 【解析】： 因?yàn)镾n＋1＝λSn＋3n＋1,n∈N*, 所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn＝λSn－1＋3n, 從而an＋1＝λan＋2·3n,n≥2,n∈N*﹒ 又在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中,令n＝1,可得a2＝λa1＋2×31,滿

15、足上式, 所以an＋1＝λan＋2·3n, n∈N*﹒ (2分) (1) 當(dāng)λ＝3時(shí), an＋1＝3an＋2·3n,n∈N*, 從而＝＋,即bn＋1－bn＝, 又b1＝1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列, 所以bn＝.(4分) (2) 當(dāng)λ>0且λ≠3且λ≠1時(shí), cn＝an＋×3n＝λan－1＋2×3n－1＋×3n ＝λan－1＋×3n－1(λ－3＋3) ＝λ(an－1＋×3n－1)＝λ·cn－1, (7分) 又c1＝3＋＝≠0, 所以是首項(xiàng)為,公比為λ的等比數(shù)列, cn＝·λn－1﹒(8分) (3) 在(2)中,若λ＝1,則cn＝0也可使an有意義

16、,所以當(dāng)λ≠3時(shí),cn＝·λn－1. 從而由(1)和(2)可知 (9分) 當(dāng)λ＝3時(shí),bn＝,顯然不滿足條件,故λ≠3.(10分) 當(dāng)λ≠3時(shí),bn＝×n－1－. 若λ>3, >0,bn0,－>0,bn>bn＋1,n∈N*,且bn>0. 所以只需b1＝＝1≤3即可,顯然成立．故0<λ<1符合條件； (12分) 若λ＝1,bn＝1,滿足條件．故λ＝1符合條件；(13分) 若1<λ<3,<0,－>0, 從而bn0.故bn∈, 要使bn≤3恒成立,只需

17、－≤3即可． 所以1<λ≤. (15分) 綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.(16分) 【關(guān)聯(lián)2】、已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Tn,且3Tn＝S＋2Sn,n∈N*. (1) 求a1的值； (2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3) 若k,t∈N*,且S1,Sk－S1,St－Sk成等比數(shù)列,求k和t的值． 第(2)問,由于式子“3Tn＝S＋2Sn”涉及數(shù)列{an},{a}的前n項(xiàng)和,常用相鄰項(xiàng)作差法處理,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an}的遞推式,進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列求解；第(3)問,由題意,兩個(gè)未知量k和t,一個(gè)等式,屬于不定方程問題,通

18、常有以下思考方法：因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計(jì)法、奇偶性分析法,本題采用奇偶性分析法求解． 規(guī)范解答 (1) 由3T1＝S＋2S1,得3a＝a＋2a1,即a－a1＝0.因?yàn)閍1＞0,所以a1＝1.(2分) (2) 因?yàn)?Tn＝S＋2Sn,① 所以3Tn＋1＝S＋2Sn＋1,② ②－①,得3a＝S－S＋2an＋1,即3a＝(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)＋2an＋1,即3a＝(Sn＋1＋Sn)an＋1＋2an＋1, 因?yàn)閍n＋1＞0, 所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2,③(5分) 所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2,④ ④－③,得3an＋2－3an＋1＝an＋2

19、＋an＋1,即an＋2＝2an＋1, 所以當(dāng)n≥2時(shí),＝2.(8分) 又由3T2＝S＋2S2,得3(1＋a)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2), 即a－2a2＝0. 因?yàn)閍2＞0,所以a2＝2,所以＝2, 所以對n∈N*,都有＝2成立, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1,n∈N*.(10分) (3) 由(2)可知Sn＝2n－1. 因?yàn)镾1,Sk－S1,St－Sk成等比數(shù)列, 所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk),即(2k－2)2＝2t－2k,(12分) 所以2t＝(2k)2－3·2k＋4,即2t－2＝(2k－1)2－3·2k－2＋1(*)． 由于Sk－S1≠0

20、,所以k≠1,即k≥2. 當(dāng)k＝2時(shí),2t＝8,得t＝3.(14分) 當(dāng)k≥3時(shí),由(*),得(2k－1)2－3·2k－2＋1為奇數(shù), 所以t－2＝0,即t＝2,代入(*)得22k－2－3·2k－2＝0,即2k＝3,此時(shí)k無正整數(shù)解． 綜上,k＝2,t＝3.(16分) 數(shù)列中不定方程的常見解題策略有因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計(jì)法、奇偶性分析法,這些策略有一個(gè)共同的特征,就是對等式兩邊適當(dāng)?shù)淖冃芜x擇等式一邊的特征進(jìn)行解題,如整除的性質(zhì)、范圍上界或下界、因式分解的形式、是否為有理數(shù)、奇偶性等． 【關(guān)聯(lián)3】、在數(shù)列{an}中,已知a1＝2,an＋1＝3an＋2n－1. (1)

21、 求證：數(shù)列{an＋n}為等比數(shù)列； (2) 記bn＝an＋(1－λ)n,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項(xiàng),求λ的取值范圍． 思路分析 (1) 證明等比數(shù)列,一般從等比數(shù)列的定義出發(fā),首先要說明它的任意一項(xiàng)均不為0,且相鄰兩項(xiàng)的比值為非零的常數(shù)． (2) 由第(1)問求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,由此得到{bn}的通項(xiàng)公式,通過分組求和后得到它的前n項(xiàng)和．注意到T3為數(shù)列{Tn}中的最小項(xiàng),因此,將它轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式恒成立問題,而要研究數(shù)列中的不等式恒成立問題,研究數(shù)列的單調(diào)性是必然的手段,通過研究數(shù)列的單調(diào)性后來得到變量λ的取值范圍． 當(dāng)n＝2時(shí),由

22、T2≥T3,得λ≥9；(12分) 當(dāng)n≥4時(shí),n2＋n－12＝(n＋4)(n－3)＞0恒成立, 所以λ≤對?n≥4恒成立． 令f(n)＝,n≥4, 則f(n＋1)－f(n)＝＞0恒成立, 故f(n)＝在n≥4時(shí)單調(diào)遞增, 所以λ≤f(4)＝.(15分) 綜上,9≤λ≤.(16分) 解后反思 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法,其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．而研究數(shù)列中的取值范圍問題,一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行求解． 【關(guān)聯(lián)4】、已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0,且ak1,ak2,…,a

23、kn,…(k1＜k2＜…＜kn＜…)成等比數(shù)列,公比為q. (1) 若k1＝1,k2＝3,k3＝8,求的值； (2) 當(dāng)為何值時(shí),數(shù)列{kn}為等比數(shù)列？ (3) 若數(shù)列{kn}為等比數(shù)列,且對于任意n∈N*,不等式an＋akn＞2kn恒成立,求a1的取值范圍． 思路分析 (1) 通過等比中項(xiàng),得到a1和d的方程,從而求出的值； (2) 先由數(shù)列{kn}為等比數(shù)列,得出k＝k1k3,再結(jié)合ak1,ak2,ak3成等比數(shù)列,得方程[a1＋(k1－1)d][a1＋(k3－1)d]＝[a1＋(k2－1)d]2,化簡得＝1,再證明當(dāng)＝1時(shí),數(shù)列{kn}為等比數(shù)列,從而確定的值為1； (3

24、) 由(2)中結(jié)論得出kn＝k1qn－1(q＞1),代入an＋akn＞2kn并分離變量得0＜＜＝＋·,再證明無限小,從而確定＋·有下界,得到0＜≤,從而確定a1的取值范圍是[2,＋∞)． 【解析】： (1) 由已知可得a1,a3,a8成等比數(shù)列,所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋7d), (2分) 整理可得4d2＝3a1d.因?yàn)閐≠0,所以＝.(4分) (2) 設(shè)數(shù)列{kn}為等比數(shù)列,則k＝k1k3. 又因?yàn)閍k1,ak2,ak3成等比數(shù)列, 所以[a1＋(k1－1)d][a1＋(k3－1)d]＝[a1＋(k2－1)d]2. 整理,得a1(2k2－k1－k3)＝d(k1k3－k－

25、k1－k3＋2k2)． 因?yàn)閗＝k1k3,所以a1(2k2－k1－k3)＝d(2k2－k1－k3)． 因?yàn)?k2≠k1＋k3,所以a1＝d,即＝1.(6分) 當(dāng)＝1時(shí),an＝a1＋(n－1)d＝nd,所以akn＝knd. 又因?yàn)閍kn＝ak1qn－1＝k1dqn－1,所以kn＝k1qn－1. 所以＝＝q,數(shù)列{kn}為等比數(shù)列． 綜上,當(dāng)＝1時(shí),數(shù)列{kn}為等比數(shù)列．(8分) 因?yàn)閘nx≤x＜x,則lnn1＝2lnn1＜n1, 解不等式n1＜n1lnq＋lnε,即(n1)2lnq－n1＋lnε＞0, 可得n1＞, 所以n1＞2. 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)．不妨取n0＝＋1,則當(dāng)n1＞n0時(shí),原式得證． 所以0＜≤,所以a1≥2,即得a1的取值范圍是[2,＋∞)．(16分) 解后反思 本題第(2)問是根據(jù)必要條件來解題,由數(shù)列{kn}為等比數(shù)列,得出前三項(xiàng)成等比,求出＝1,但要注意要證明當(dāng)＝1時(shí),數(shù)列{kn}為等比數(shù)列；第(3)問,證明當(dāng)n→＋∞時(shí),→0,這里用代數(shù)方法嚴(yán)格證明,要認(rèn)真地體會(huì)．