（課標專用）天津市高考數學二輪復習 思想方法訓練1 函數與方程思想-人教版高三數學試題

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1、思想方法訓練1　函數與方程思想 　思想方法訓練第2頁　? 一、能力突破訓練 1.已知橢圓x24+y2=1的兩個焦點為F1,F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,其一個交點為P,則|PF2|=(　　) A.32 B.3 C.72 D.4 答案:C 解析:如圖,令|F1P|=r1,|F2P|=r2, 則r1+r2=2a=4,r22-r12=(2c)2=12,化簡得r1+r2=4,r2-r1=3,解得r2=72. 2.已知奇函數f(x)的定義域為R,若f(x+2)為偶函數,且f(1)=1,則f(8)+f(9)=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案:D 解析

2、:因為函數f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x). 又因為f(x+2)是偶函數,則f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故選D. 3.已知函數f(x)=x2+ex-12(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)的圖象上存在關于y軸對稱的點,則a的取值范圍是(　　) A

3、.-∞,1e B.(-∞,e) C.-1e,e D.-e,1e 答案:B 解析:由已知得,與函數f(x)的圖象關于y軸對稱的圖象的函數解析式為h(x)=x2+e-x-12(x>0). 令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12. 作函數M(x)=e-x-12(x>0)的圖象,顯然當a≤0時,函數y=ln(x+a)的圖象與M(x)的圖象一定有交點. 當a>0時,若函數y=ln(x+a)的圖象與M(x)的圖象有交點,則lna<12,則0

4、S8的值為(　　) A.16 B.32 C.64 D.62 答案:C 解析:因為a1,a2,a5成等比數列,則a22=a1·a5,即(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2.所以an=1+(n-1)×2=2n-1,S8=(a1+a8)×82=4×(1+15)=64. 5.(2019北京,理13)設函數f(x)=ex+ae-x(a為常數).若f(x)為奇函數,則a=　　　　　;若f(x)是R上的增函數,則a的取值范圍是　　　　　.? 答案:-1　(-∞,0] 解析:若函數f(x)=ex+ae-x為奇函數,則f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x),(a+1)(e

5、x+e-x)=0對任意的x恒成立,則a=-1. 若函數f(x)=ex+ae-x是R上的增函數, 則f'(x)=ex-ae-x≥0恒成立,即a≤e2x,故a≤0. 6.已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點.若該拋物線上存在點C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為　　　　　.? 答案:[1,+∞) 解析:以AB為直徑的圓的方程為x2+(y-a)2=a. 由y=x2,x2+(y-a)2=a,得y2+(1-2a)y+a2-a=0, 即(y-a)[y-(a-1)]=0. 則由題意得a>0,a-1≥0,解得a≥1. 7.(2019北京,理14)李明自主創(chuàng)業(yè),在網上經營一家水果店,

6、銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后,李明會得到支付款的80%. (1)當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　　元;? (2)在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為　　　　.? 答案:(1)130　(2)15 解析:(1)當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元. (2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為y元,

7、 當y<120時,李明得到的金額為y·80%元,符合要求. 當y≥120元時,有(y-x)·80%≥y·70%成立, 即8(y-x)≥7y,x≤y8,即x≤y8min=15. 所以x的最大值為15. 8.已知函數f(x)=cos2x+sin x+a-1,不等式1≤f(x)≤174對一切x∈R恒成立,求a的取值范圍. 解:f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-sinx-122+a+14. 因為-1≤sinx≤1, 所以當sinx=12時,函數有最大值f(x)max=a+14, 當sinx=-1時,函數有最小值f(x)min=a-2. 因為

8、1≤f(x)≤174對一切x∈R恒成立, 所以f(x)max≤174,且f(x)min≥1, 即a+14≤174,a-2≥1,解得3≤a≤4, 故a的取值范圍是[3,4]. 9.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且c=2,C=π3. (1)若△ABC的面積等于3,求a,b的值; (2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面積. 解:(1)由余弦定理及已知條件,得a2+b2-ab=4. 因為△ABC的面積等于3, 所以12absinC=3,得ab=4. 聯(lián)立a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2. (2)由題意得sin

9、(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA. 當cosA=0時,A=π2,B=π6,a=433,b=233. 當cosA≠0時,得sinB=2sinA, 由正弦定理得b=2a. 聯(lián)立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433. 故△ABC的面積S=12absinC=233. 10.某地區(qū)要在如圖所示的一塊不規(guī)則用地上規(guī)劃建成一個矩形商業(yè)樓區(qū),余下的作為休閑區(qū),已知AB⊥BC,OA∥BC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲線OC是以O為頂點且開口向上的拋物線的一段.如果矩形的兩邊分別落在AB,BC上,且一個頂點在

10、曲線段OC上,應當如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積. 解:以點O為原點,OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,則A(-2,0),B(-2,4),C(2,4),設拋物線的方程為x2=2py(p>0),把C(2,4)代入拋物線方程得p=12,所以曲線段OC的方程為y=x2(x∈[0,2]). 設P(x,x2)(x∈[0,2])在OC上,過點P作PQ⊥AB于點Q,PN⊥BC于點N, 故|PQ|=2+x,|PN|=4-x2,則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積S=(2+x)(4-x2)(x∈[0,2]). 整理,得S(x)=-x3-2x2+4x+8. 令S'(x)=-

11、3x2-4x+4=0,得x=23或x=-2(舍去),當x∈0,23時,S'(x)>0,S(x)單調遞增, 當x∈23,2時,S'(x)<0,S(x)單調遞減, 所以當x=23時,S取得最大值, 此時|PQ|=2+x=83,|PN|=4-x2=329,Smax=83×329=25627. 故該矩形商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長為329,寬為83時,用地面積最大,且為25627. 二、思維提升訓練 11.已知數列{an}是等差數列,a1=1,a2+a3+…+a10=144. (1)求數列{an}的通項an; (2)設數列{bn}的通項bn=1anan+1,記Sn是數列{bn}的前n項和,若n≥3

12、時,有Sn≥m恒成立,求m的最大值. 解:(1)∵{an}是等差數列,a1=1,a2+a3+…+a10=144, ∴S10=145. ∵S10=10(a1+a10)2,∴a10=28,∴公差d=3. ∴an=3n-2(n∈N*). (2)由(1)知bn=1anan+1=1(3n-2)(3n+1) =1313n-2-13n+1, ∴Sn=b1+b2+…+bn=131-13n+1, ∴Sn=n3n+1. ∵Sn+1-Sn=n+13n+4?n3n+1 =1(3n+4)(3n+1)>0, ∴數列{Sn}是遞增數列. 當n≥3時,(Sn)min=S3=310. 依題意,得m≤3

13、10,故m的最大值為310. 12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為22.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N. (1)求橢圓C的方程; (2)當△AMN的面積為103時,求k的值. 解:(1)由題意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2. 所以橢圓C的方程為x24+y22=1. (2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 設點M,N的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2. 所以|M

14、N|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 =(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =2(1+k2)(4+6k2)1+2k2. 因為點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=|k|1+k2, 所以△AMN的面積為S=12|MN|·d=|k|4+6k21+2k2. 由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=±1. 所以k的值為1或-1. 13.已知直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A,B兩點,直線l過點P(-2,0)和線段AB的中點M,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍. 解:由y=kx+1,x2-y2=1消去y, 得(k2-1)x2+2kx+2

15、=0.① ∵直線m與雙曲線的左支有兩個交點, ∴方程①有兩個不相等的小于等于-1的負實數根. ∴Δ=4k2+8(1-k2)>0,x1+x2=2k1-k2<0,x1·x2=-21-k2>0, 解得12. 故b的取值范圍是(-∞,-2-2)∪(2,+∞).