（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)8 高考中的數(shù)學(xué)文化題 高考中的創(chuàng)新應(yīng)用題（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)8 高考中的數(shù)學(xué)文化題 高考中的創(chuàng)新應(yīng)用題（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)8 高考中的數(shù)學(xué)文化題 高考中的創(chuàng)新應(yīng)用題（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題限時集訓(xùn)(八)　高考中的數(shù)學(xué)文化題　高考中的創(chuàng)新應(yīng)用題 1．(2015·全國卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 B　[設(shè)圓錐的底面半徑為r，則r＝8， 解得r＝，故米堆的體積為××π××5≈，∵1斛米的體積約為1.6

2、2立方， ∴÷1.62≈22，故選B．] 2．(2016·全國卷Ⅱ)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s＝(　　) A．7 B．12 C．17 D．34 C　[∵輸入的x＝2，n＝2， 當(dāng)輸入的a為2時，s＝2，k＝1，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)再次輸入的a為2時，s＝6，k＝2，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)輸入的a為5時，s＝17，k＝3，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的s值為17，故選C．] 3．(2015·全國卷Ⅱ)根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單

3、位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) D　[從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；2004－2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯誤．

4、故選D．] 4．(2019·全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是(　　) A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm B　[頭頂至脖子下端的長度為26 cm， 說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26 cm， 由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚臍的長度小于≈42 cm， 由頭頂至肚

5、臍的長度與肚臍至足底的長度之比是， 可得肚臍至足底的長度小于≈110， 即有該人的身高小于110＋68＝178 cm， 又肚臍至足底的長度大于105 cm， 可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.618≈65 cm， 即該人的身高大于65＋105＝170 cm，故選B．] 5.(2018·上海高考)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 D　[根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1-A1ABB1，D1

6、-A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E，和D1一樣，有2×4＝8，當(dāng)A1ACC1為底面矩形，有4個滿足題意，當(dāng)A1AEE1為底面矩形，有4個滿足題意， 故有8＋4＋4＝16，故選D．] 6.(2019·北京高考)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論： ①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)； ②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過； ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3. 其中，所有正確結(jié)論的序號是(　　) A．① B．② C．①② D．①②③ C　[將x換成－x方

7、程不變，所以圖形關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x＝0時，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲線經(jīng)過(0,1)，(0，－1)； 當(dāng)x＞0時，方程變?yōu)閥2－xy＋x2－1＝0，所以Δ＝x2－4(x2－1)≥0，解得x∈， 所以x只能取整數(shù)1，當(dāng)x＝1時，y2－y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲線經(jīng)過(1,0)，(1,1)， 根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過(－1,0)，(－1,1)， 故曲線一共經(jīng)過6個整點，故①正確． 當(dāng)x＞0時，由x2＋y2＝1＋xy得x2＋y2－1＝xy≤，(當(dāng)x＝y(tǒng)時取等)， ∴x2＋y2≤2，∴≤，即曲線C上y軸右邊的點到原點的距離不超過，根據(jù)對稱性可得：曲線C上任意一點到原點的距離都不

8、超過，故②正確． 在x軸上方圖形面積大于矩形面積＝1×2＝2，x軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積＝×2×1＝1，因此曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于2＋1＝3，故③錯誤．故選C．] 7．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛

9、頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r).設(shè)α＝.由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　) A． R B． R C． R D． R D　[∵α＝.∴r＝αR， r滿足方程：＋＝(R＋r). ∴＝≈3α3， ∴r＝αR＝R.故選D．] 8．(2020·新高考全國卷Ⅰ)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面．在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯

10、40°，則晷針與點A處的水平面所成角為(　　) A．20° B．40° C．50° D．90° B　[過球心O、點A以及晷針的軸截面如圖所示，其中CD為晷面，GF為晷針所在直線，EF為點A處的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°， ∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故選B．] 9．(2020·全國卷Ⅱ)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12，設(shè)1≤i

11、原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 C　[法一：由題意，知ai，aj，ak構(gòu)成原位大三和弦時，j＝k－3，i＝j(luò)－4，所以ai，aj，ak為原位大三和弦的情況有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4；k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1共5種．a(chǎn)i，aj，ak構(gòu)成原位小三和弦時，j＝k－4，i＝j(luò)－3，所以ai，aj，ak為原位小三和弦的情況有：k＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k＝8，j＝4，i＝1共5種．所以用這

12、12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10，故選C． 法二：由題意，知當(dāng)ai，aj，ak為原位大三和弦時，k－j＝3且j－i＝4，又1≤i

13、“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________. 　[如圖所示，單位圓的半徑為1，則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，△AOB是邊長為1的正三角形，所以正六邊形ABCDEF的面積為S6＝6××1×1×sin 60°＝.] 1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667－1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)6在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

14、D．第四象限 C　[由(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx， 得6＝cos ＋isin ＝－cos －isin ， ∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為，位于第三象限．故選C．] 2．(2020·淄博期中)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而四方稱之為“中國剩余理”．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2019中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成

15、一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項數(shù)為(　　) A．134 B．135 C．136 D．137 B　[由能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)， 故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2019，得n≤135， 故此數(shù)列的項數(shù)為135.故選B．] 3．(2020·綿陽模擬)數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，2018年南非雙曲線大教堂面世便驚艷世界，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點在y軸上的雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦點到上頂點的距離為2，到漸近線距離為2，則此雙曲線的離心率為(　　) A．2 B．3 C．2 D．2

16、 B　[雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的上焦點到上頂點的距離為2，到漸近線距離為2， 可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2， 所以雙曲線的離心率為：e＝＝3.故選B．] 4.(2020·濟南一模)加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400 N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(　　) (參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10 m/s2，≈1.732) A．63 B．69 C．75 D．81 B　[由題意知，F(xiàn)1＝F2＝400，夾角θ＝60°， 所以G＋F1＋F2＝

17、0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002； 即|G|＝400(N)，所以學(xué)生的體重為400÷10＝40 kg. 即該學(xué)生的體重(單位：kg)約為40＝40×1.732≈69(kg)，故選B．] 5．(2020·廣州一模)陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為(　　) A．(7＋2)π B．(10＋2)π C．(10＋4)π D．(11＋4)π C　[由題意可知幾何體的直觀圖如圖，上部是底面半徑為1，高為

18、3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐，幾何體的表面積為：4π＋×4π×2＋2π×3＝(10＋4)π，故選C．] 6．(2020·廣州模擬)某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為(　　) A．r＋R B．r＋R C．r＋R D．r＋R A　[橢圓的離心率：e＝∈(0,1)，(c為半焦距；a為長半軸)設(shè)衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為m，n，由題意，結(jié)合圖形可知，a－c＝r＋R，遠地點離地面的距離為：n＝a＋c－R，m＝a－c－R, a＝， c＝，所以遠地點離地面的

19、距離為：n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故選A．] 7．(2020·咸陽二模)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體．自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著．下圖是2015～2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是(　　) A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大 B．這五年，2015 年出口額最少 C．這五年，2019 年進口增速最快 D．這五年，出口增速前四年逐年下降 D　[對于A，這五年，出口總額之和比進口總額之和大，

20、故A正確； 對于B,2015年出口額最少，故B正確； 對于C，這五年，2019 年進口增速最快，故C正確； 對于D，根據(jù)出口線斜率可知，這五年，出口增速前三年先升后降，第四年后增速開始增加，故D錯誤． 故選D．] 8．(2020·商丘模擬)歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得π的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種π值的表達式紛紛出現(xiàn)，使得π值的計算精度也迅速增加．華理斯在1655

21、年求出一個公式：＝，根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率π的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T＞2.8，若判斷框內(nèi)填入的條件為k≥m？，則正整數(shù)m的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[初始：k＝1，T＝2，第一次循環(huán)：T＝2××＝＜2.8，k＝2，繼續(xù)循環(huán)； 第二次循環(huán)：T＝××＝＞2.8，k＝3，此時T＞2.8，滿足條件，結(jié)束循環(huán)， 所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是k≥3？，所以正整數(shù)m的最小值是3，故選B．] 9．(2020·郴州模擬)達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名．如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷．某業(yè)余愛好者

22、對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角A，C處作圓弧的切線，兩條切線交于B點，測得如下數(shù)據(jù)：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于(　　) A． B． C． D． A　[∵AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)． 設(shè)∠ABC＝2θ.∴sin θ＝＝0.866≈， ∵ 由題意θ必為銳角，可得θ≈， 設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為α. 則α＋2θ＝π，

23、 ∴α＝π－＝.故選A．] 10．(2020·福建模擬)上世紀末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1)，充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系．圖2為骨笛測量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計)，夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角． 由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如表： 黃赤交角 23°41′ 23°57′ 24°13′ 24°28′ 24°44′ 正切值 0.439 0.4

24、44 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前2000年 公元前4000年 公元前6000年 公元前8000年 根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是(　　) A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年 D　[由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為α，春秋分日光與垂直線夾角為β， 則α－β即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形： 則tan α＝＝1.6，tan β＝＝0.66， tan(α－β)

25、＝＝≈0.457. ∵0.455＜0.457＜0.461, ∴估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選D．] 11．(2020·長沙模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，給出以下四個論斷： ①它的圖象關(guān)于直線x＝對稱； ②它的圖象關(guān)于點對稱； ③它的最小正周期是π； ④在區(qū)間上是增函數(shù)． 以其中兩個論斷作為條件，余下論斷作為結(jié)論，一個正確的命題是(　　) 條件________，結(jié)論________． A．①②?③④ B．③④?①② C．②④?①③ D．①③?②④ D　[①③?②④ 由③知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 又由①2×＋φ＝kπ＋

26、，得φ＝kπ＋，k∈Z. 又∵－＜φ＜，∴φ＝， ∴f(x)＝sin. ∵f＝sin＝0， ∴它的圖象關(guān)于點對稱． ∵2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， ∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∵?， ∴f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)．故選D．] 12．(2020·江岸區(qū)模擬)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，高為10 cm.打印所用原料密度為1 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為(取π＝3.14，精確到0.1)(　　) A．6

27、09.4 g B．447.3 g C．398.3 g D．357.3 g C　[如圖，是幾何體的軸截面， 設(shè)正方體的棱長為a，則＝，解得a＝5， ∴該模型的體積為： V＝π×(5)2×10－53＝－125≈398.33(cm3)． ∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為398.33×1≈398.3(g)． 故選C．] 13．(2020·虹口區(qū)一模)已知m、n是平面α外的兩條不同直線，給出三個論斷：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中兩個論斷作為條件，寫出一個正確的命題(論斷用序號表示)：________. 若②③，則①　[已知m、n是平面α外的兩條不同直線，給出三個論斷：①

28、m⊥n；②n∥α；③m⊥α； 當(dāng)m⊥α?xí)r，m必垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，由于n∥α，所以m⊥n，如圖所示． ] 14．(2020·烏魯木齊一模)造紙術(shù)是我國古代四大發(fā)明之一．紙張的規(guī)格是紙張制成之后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸．現(xiàn)在我國采用國際標準，規(guī)定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等標記來表示紙張的幅面規(guī)格．復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張幅寬(以x表示)和長度(以y表示)的比例關(guān)系為x∶y＝1∶，②將A0紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等份，便成為A1規(guī)格，A1紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等份，便成為A2規(guī)格，…，如此對開至A8規(guī)格

29、，現(xiàn)有A0，A1，A2，A3，…，A8紙各一張，若A4紙的面積為624 cm2，這九張紙的面積之和等于________(cm2)． 19 929　[可設(shè)Ai紙張的面積分別為Si，i＝0,1，…，8，則{Si}為等比數(shù)列，公比q＝， ∵S4＝624＝S0×，解得S0＝9 984. 可得這9張紙的面積之和為＝19 929 cm2.] 15．(2020·濟南模擬)如圖所示，邊長為1的正三角形ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，將△AMN沿線段MN進行翻折，得到如圖所示的圖形，翻折后的點A在線段BC上，則線段AM的最小值為________． 2－3　[設(shè)AM＝x，∠AMN＝α，則B

30、M＝1－x，∠AMB＝180°－2α，∴∠BAM＝2α－60°， 在△ABM中，由正弦定理可得＝， 即＝，∴x＝， ∴當(dāng)2α－60°＝90°，即α＝75°時， x取得最小值＝2－3.] 16．[一題兩空](2020·赤峰模擬)現(xiàn)代足球運動是世界上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”．早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球.1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協(xié)會，并統(tǒng)一了足球規(guī)則．人們稱這一天是現(xiàn)代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色

31、正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個，則該足球表面中的正五邊形的面為________個，該足球表面的棱為________條． 12　90　[簡單多面體的頂點數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E間有關(guān)系式V＋F－E＝2， 設(shè)該足球表面中的正五邊形的面為x個，正六邊形的面為y個， 則F＝x＋y，V＝5x，E＝5x＋y， ∴5x＋(x＋y)－＝2， 化簡，得2x－y＝4， 正五邊形的邊有兩種算法： 單從正五邊形看，這x個正五邊形共有5x條邊， 從正六邊形的角度看，每個正六邊形有3條邊是正五邊形的邊， y個正六邊形有6y條邊，其中正五邊形的邊的總數(shù)為：6y×＝3y，∴ 5x＝3y. 聯(lián)立，解得x＝12，y＝20， ∴該足球表面中的正五邊形的面為12個， 該足球表面的棱為E＝5x＋y＝90個．]