2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《解三角形》之三角形中的幾何計(jì)算教案(二) 北師大版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《解三角形》之三角形中的幾何計(jì)算教案(二) 北師大版必修5 一、教學(xué)目標(biāo):1、會(huì)在各種應(yīng)用問(wèn)題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法;2、搞清利用解斜三角形可解決的各類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題的基本圖形和基本等量關(guān)系;3、理解各種應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ),如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等;4、通過(guò)解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí),提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 二、教學(xué)重點(diǎn):實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法 教學(xué)難點(diǎn):實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定 三、教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式 四、教學(xué)過(guò)程: (一).復(fù)習(xí)回顧: 1.正弦定理: 2.余弦定理: , 3.解三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用,如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼,就暴露出解三角形問(wèn)題的本質(zhì),這就要提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及化實(shí)際問(wèn)題為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力下面,我們將舉例來(lái)說(shuō)明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用 (二)、探析范例: 例1:某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出求救信號(hào),我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向,以9海里/h的速度向某小島B靠攏,我海軍艦艇立即以21海里/h的速度前去營(yíng)救,試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間 分析:設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為x h,則利用余弦定理建立方程來(lái)解決較好,因?yàn)槿鐖D中的∠1,∠2可以求出,而AC已知,BC、AB均可用x表示,故可看成是一個(gè)已知兩邊夾角求第三邊問(wèn)題 解:設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為xh,則AB=21x海里,BC=9x 海里,AC=10 海里,∠ACB=∠1+∠2=45+(180-105)=120, 根據(jù)余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120得 (21x)2=102+(9x)2-2109xcos120, 即36x2-9x210=0 解得x1=,x2=- (舍去) ∴AB=21x=14,BC=9x=6 再由余弦定理可得cos∠BAC= ∴∠BAC=2147′,45+2147′=6647′所以艦艇方位角為6647′,小時(shí)即40分鐘答:艦艇應(yīng)以6647′的方位角方向航行,靠近漁船則需要40分鐘 評(píng)述:解好本題需明確“方位角”這一概念,方位角是指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,其范圍是(0,360)在利用余弦定理建立方程求出x后,所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知三邊求角的問(wèn)題,故仍然利余弦定理 例2:如圖所示,已知半圓的直徑AB=2,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,BC=1,點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DC為邊作等邊△PCD,且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè),求四邊形OPDC面積的最大值 分析:要求四邊形OPDC面積的最大值,這首先需要建立一個(gè)面積函數(shù),問(wèn)題是選誰(shuí)作為自變量,注意到動(dòng)點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動(dòng)與∠POB大小變化之間的聯(lián)系,自然引入∠POB=θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC,S△OPC可用OPOCsinθ表示,而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長(zhǎng)求解,而邊長(zhǎng)PC可以在△POC中利用余弦定理表示,至于面積最值的獲得,則通過(guò)三角函數(shù)知識(shí)解決 解:設(shè)∠POB=θ,四邊形面積為y,則在△POC中,由余弦定理得: PC2=OP2+OC2-2OPOCcosθ=5-4cosθ ∴y=S△OPC+S△PCD=+(5-4cosθ) =2sin(θ-)+ ∴當(dāng)θ-=即θ=時(shí),ymax=2+ 評(píng)述:本題中余弦定理為表示△PCD的面積,從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能,可見(jiàn)正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù),一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式,要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性 另外,在求三角函數(shù)最值時(shí),涉及到兩角和正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的構(gòu)造及逆用,應(yīng)要求學(xué)生予以重視 (三).隨堂練習(xí):1.已知兩地的距離為兩地的距離為,現(xiàn)測(cè)得,則兩地的距離為 ( ) A. B. C. D. 2在△ABC中,已知角B=45,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,求 AB 解:在△ADC中, cosC= 又0<C<180,∴sinC= 在△ABC中, ∴AB= 評(píng)述:此題在求解過(guò)程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求邊,要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用 2、 如圖,在四邊形ABCD中,已知AD^CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長(zhǎng)。 解:在△ABD中,設(shè)BD=x則 即 整理得:解之:(舍去)由余弦定理: ∴ (四).小結(jié):通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家在了解解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用的同時(shí),掌握由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,并提高解三角形問(wèn)題及實(shí)際應(yīng)用題的能力 (五)、課后作業(yè):課本本節(jié)2-1 B組2、3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 補(bǔ)充題:在△ABC中已知a=2bcosC,求證:△ABC為等腰三角形 證法一:欲證△ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等,因而在已知條件中化去邊元素,使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a= ∴2bcosC=,即2cosCsinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ∴sinBcosC-cosBsinC=0即sin(B-C)=0,∴B-C=nπ(n∈Z) ∵B、C是三角形的內(nèi)角,∴B=C,即三角形為等腰三角形 證法二:根據(jù)射影定理,有a=bcosC+ccosB,又∵a=2bcosC∴2bcosC=bcosC+ccosB∴bcosC=ccosB,即又∵∴即tanB=tanC ∵B、C在△ABC中,∴B=C∴△ABC為等腰三角形 五、教后反思:- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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