《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí):35分鐘)
一、填空題
1.下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的序號(hào)是________.
解析 要使+≥2,只需>0成立,即a,b不為0且同號(hào)即可,故①③④能使+≥2成立.
答案?、佗邰?
2.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是________(填序號(hào)).
答案?、?
3.+與2+的大小關(guān)系為________.
解析 要比較+與2+的大小,
只需比較(+)2與(2+)2的大小,
只需比較6+7+2與8+5+4的
2、大小,
只需比較與2的大小,只需比較42與40的大小,∵42>40,∴+>2+.
答案?。?2+
4.“a=”是“對(duì)任意正數(shù)x,均有x+≥1”的________條件(填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”).
解析 當(dāng)a=時(shí),x+≥2=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時(shí)取等號(hào);反之,顯然不成立.
答案 充分不必要
5.已知m>1,a=-,b=-,則a,b的大小關(guān)系是________.
解析 ∵a=-=,
b=-=.
而+>+>0(m>1),
∴<,
即a
3、>0;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+3ab>2b2;④<.
解析 在②中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.
答案?、?
7.①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對(duì)值都小于1,用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1.則①與②的假設(shè)中正確的是________(填序號(hào)).
解析 反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論,對(duì)于①,其結(jié)論的反面是p+
4、q>2,所以①不正確;對(duì)于②,其假設(shè)正確.
答案 ②
8.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證<a”索的因應(yīng)是________(填“a-b>0、a-c>0、(a-b)(a-c)>0、(a-b)(a-c)<0”中的其中一個(gè)).
解析 由題意知<a?b2-ac<3a2
?(a+c)2-ac<3a2
?a2+2ac+c2-ac-3a2<0
?-2a2+ac+c2<0
?2a2-ac-c2>0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
答案 (a-b)(a-c)>0
二、解答題
9.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:
l
5、g+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
證明 ∵a,b,c∈(0,+∞),
∴≥>0,≥>0,≥>0.
又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立.
∴··>abc成立.
上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),
得lg>lg abc,
∴l(xiāng)g+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.
(1)解 當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
兩式相減得an+1=an,所以{a
6、n}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=.
(2)證明 反證法:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p
7、a=4,b=12時(shí)等號(hào)成立),∴a+b的最小值為16.
∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.
答案 (0,16]
12.設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則對(duì)三個(gè)數(shù)a+,b+,c+,下列結(jié)論正確的序號(hào)是________.
①都大于2;②都小于2;③至少有一個(gè)不大于2;④至少有一個(gè)不小于2.
解析 ∵a>0,b>0,c>0,
∴++=++
≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個(gè)不小于2.
答案?、?
13.凸函數(shù)的性質(zhì)定理:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函數(shù)y=sin x在
8、區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值為________.
解析 ∵f(x)=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A、B、C∈(0,π).
∴≤f=f,
即sin A+sin B+sin C≤3sin =,
所以sin A+sin B+sin C的最大值為.
答案
14.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),若f(c)=0,且00.
(1)證明:是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn);
(2)試用反證法證明>c.
證明 (1)∵f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2,
∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,
又x1x2=,∴x2=(≠c),
∴是f(x)=0的一個(gè)根.即是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn).
(2)假設(shè)0,由00,
知f>0與f=0矛盾,∴≥c,
又∵≠c,∴>c.