2019版高考數(shù)學(xué) 2.6 冪函數(shù)與二次函數(shù)課件.ppt

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第六節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù),【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)冪函數(shù): ①定義:一般地,函數(shù)_____叫做冪函數(shù),其中__是自變量,___為常數(shù).,y=xα,x,α,②冪函數(shù)的圖象比較:,(2)二次函數(shù): ①解析式: 一般式:f(x)=______________; 頂點式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);頂點坐標(biāo)為______. 兩根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).,ax2+bx+c(a≠0),(h,k),②圖象與性質(zhì):,b=0,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是方程 __________的實根. (2)若x1,x2為f(x)=0的實根,則f(x)在x軸上截得的線段長應(yīng)為 |x1-x2|=___________.,ax2+bx+c=0,(3)當(dāng)_______時,恒有f(x)0;當(dāng)_______時,恒有f(x)0. (4)冪函數(shù)圖象的性質(zhì) ①冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性. ②冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi). ③如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點一定是原點.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:配方法、待定系數(shù)法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合,分類討論. (3)記憶口訣:冪函數(shù)在第一象限的圖象 “正拋負(fù)雙,大豎小橫” 說明:α0且α≠1時圖象是拋物線型;α1時圖象是豎直拋物線型;0α1時圖象是橫臥拋物線型.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)函數(shù)y= 是冪函數(shù).( ) (2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點一定是原點.( ) (3)當(dāng)n0時,冪函數(shù)y=xn是定義域上的減函數(shù).( ) (4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 ( ),【解析】(1)錯誤,不符合冪函數(shù)的定義. (2)正確,因若相交,則x=0得y=0,若y=0,則得x=0. (3)錯誤,冪函數(shù)y=x-1在定義域上不單調(diào). (4)錯誤,當(dāng) ?[m,n]時,二次函數(shù)的最值,在區(qū)間端點達到,而非 答案:(1) (2)√ (3) (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修1P82A組T10改編)已知點M( ,3)在冪函數(shù)f(x)的圖象上, 則f(x)的表達式為( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2 C.f(x)= D.f(x)= 【解析】選B.設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=xα,則3= ,所以α=-2. 即y=x-2.,(2)(必修1P79T1改編)設(shè)α∈{-1,1, ,3},則使函數(shù)y=xα的定義域 為R且為奇函數(shù)的所有α值為( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【解析】選A.在函數(shù)y=x-1,y=x,y= ,y=x3中,只有函數(shù)y=x和y=x3 的定義域是R,且是奇函數(shù),故α=1,3.,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015長沙模擬)函數(shù)y= 的圖象是( ),【解析】選B.因為函數(shù)y= 是冪函數(shù),冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒過點 (1,1),排除A,D.當(dāng)x1,0α1時,y=xα在直線y=x下方,排除C.,(2)(2014上海高考)若f(x)= ,則滿足f(x)0),若滿足f(x)0, 即 ,所以 因為y= 是增函數(shù),所以 1的解集為(0,1), 即x的取值范圍是(0,1). 答案:(0,1),(3)(2015蚌埠模擬)函數(shù)y=3- 的值域是 . 【解析】因為2-2x+x2=(x-1)2+1≥1, 所以 ≥1.所以y≤2. 答案:(-∞,2],考點1 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 【典例1】(1)(2015長春模擬)若 則a,b,c 的大小關(guān)系是( ) A.abc B.cab C.bca D.bac (2)已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是冪函數(shù),且x∈(0,+∞)時,f(x) 是增函數(shù),則m的值為( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.3,【解題提示】(1)利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較. (2)先利用冪函數(shù)的定義確定出m的取值范圍,再利用f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)確定m的具體值.,【規(guī)范解答】(1)選D.因為y= 在第一象限內(nèi)是增函數(shù), 所以 ,因為y= 是減函數(shù), 所以 ,所以bac.,(2)選B.因為f(x)是冪函數(shù), 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 當(dāng)m=-1時,m2+m-3=-3, 當(dāng)m=2時,m2+m-3=3, f(x)=x-3或f(x)=x3, 而易知f(x)=x3在(0,+∞)上為增函數(shù), f(x)=x-3= 在(0,+∞)上為減函數(shù), 所以m的值為2.,【易錯警示】解答本例題(2)有三點容易出錯 (1)對冪函數(shù)的定義不明確,不能確定m2-m-1=1. (2)對冪函數(shù)的圖象不理解,不清楚x∈(0,+∞)時函數(shù)遞增的含義. (3)在求得m后沒有進行檢驗.,【互動探究】本例(2)已知變?yōu)椤皟绾瘮?shù)f(x)=(t3-t+1) (t∈N)是偶函數(shù)”,則實數(shù)t的值如何? 【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù),所以t3-t+1=1, 解得t=0或1或-1. 當(dāng)t=0時, ,函數(shù)是奇函數(shù); 當(dāng)t=1時, ,函數(shù)是偶函數(shù); 當(dāng)t=-1時, ,函數(shù)是偶函數(shù), 故實數(shù)t的值為-1或1.,【規(guī)律方法】 1.利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧 在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪,再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進行比較. 2.冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系 當(dāng)α≠0,1時,冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象特征:,【變式訓(xùn)練】1.(2015南昌模擬)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是( ),【解析】選C.設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=xα,因為冪函數(shù)y=f(x)的圖象 過點(4,2), 所以2=4α,解得α= .所以y= ,其定義域為[0,+∞),且是增函數(shù), 當(dāng)0x1時,其圖象在直線y=x的上方,對照選項,故選C.,2.已知f(x)= ,若0ab1,則下列各式正確的是( ),【解析】選C.因為0ab1,所以0ab1 又函數(shù)f(x)= 為增函數(shù), 所以f(a)f(b),【加固訓(xùn)練】1.(2015珠海模擬)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點 ,則log4f(2)的值為( ) A. B.- C.2 D.-2 【解析】選A.設(shè)f(x)=xα,由圖象過點 ,得,2.冪函數(shù)y=x-1及直線y=x,y=1,x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成 八個“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如圖所示),那么冪函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過的“卦限”是( ) A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤,【解析】選D.由0x,x1時,y= x知,y= 的圖象 經(jīng)過①⑤“卦限”.故選D.,3.當(dāng)0g(x)f(x). 答案:h(x)g(x)f(x),考點2 求二次函數(shù)的解析式 【典例2】(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則此二次函數(shù)的解析式為 . (2)(2015長沙模擬)已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)-2x的解集為(1,3).若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .,【解題提示】(1)根據(jù)條件,利用二次函數(shù)一般式、頂點式或零點式求 解. (2)先求出函數(shù)解析式,然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定其單調(diào)遞增區(qū)間. 【規(guī)范解答】(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由題意得 解得 所以所求二次函數(shù)為f(x)=-4x2+4x+7.,【一題多解】解答本題，你知道幾種解法？ 解答本題，還有以下 解法： 方法一：(利用頂點式)： 設(shè)f(x)＝a(x-m)2＋n. 因為f(2)＝f(-1)， 所以拋物線的對稱軸為x＝,所以m＝ .又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n＝8. 所以y＝f(x)＝ 因為f(2)＝-1，所以 ＋8＝-1，解得a＝-4， 所以f(x)＝ ＋8＝-4x2＋4x＋7.,方法二(利用零點式): 由已知f(x)+1=0兩根為x1=2,x2=-1, 故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)有最大值ymax=8,即 =8. 解得a=-4. 所以所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.,答案:f(x)=-4x2+4x+7 (2)因為f(x)+2x0的解集為(1,3), 設(shè)f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因為方程②有兩個相等的根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a9a=0,,解得a=1或a=- .由于a0,舍去a=1. 將a=- 代入①式得 f(x)= 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-3]. 答案:(-∞,-3],【規(guī)律方法】求二次函數(shù)解析式的方法,【變式訓(xùn)練】1.(2015合肥模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1 (a,b∈R),x∈R.若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,則f(x)= . 【解析】由題意知 解得 所以f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1,2.(2015武漢模擬)若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(常數(shù)a,b∈R)是偶函數(shù),且它的值域為(-∞,4],則該函數(shù)的解析式f(x)= . 【解析】f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2, 由已知條件ab+2a=0,又f(x)的值域為(-∞,4], 則 因此f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4,【加固訓(xùn)練】1.若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足f(x+1)-f(x) =2x,且f(0)=1.則f(x)的解析式為 . 【解析】由f(0)=1,得c=1.所以f(x)=ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x,所以 所以 因此,f(x)=x2-x+1. 答案:f(x)=x2-x+1,2.(2015綿陽模擬)如圖直角梯形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中,其中 OC=1,BC=1,OA=2,動點P從C出發(fā)沿折線段CBA運動到A(包括端點),設(shè) 點P的橫坐標(biāo)為x,函數(shù)f(x)= (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式. (2)作出函數(shù)y=f(x)的草圖,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.,【解析】(1)由已知C(0,1),A(2,0),B(1,1), 當(dāng)點P位于線段BC上,即0≤x≤1時,點P(x,1), 于是 =(x,1), =(2-x,-1), y= =x(2-x)-1=-x2+2x-1, 當(dāng)點P位于BA上,即1x≤2時,點P(x,2-x), 于是 =(x,2-x), =(2-x,x-2), y= =x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2x2+6x-4. 于是函數(shù)f(x)=,(2)f(x)= 的圖象如圖所示: 由圖象知,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,考點3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 知考情 高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行單獨考查的頻率較低.常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題是高考的熱點,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.,明角度 命題角度1:二次函數(shù)的最值問題 【典例3】(2015長沙模擬)已知函數(shù)y=-x2+ax- 在區(qū)間[0,1] 上的最大值是2,實數(shù)a的值為 . 【解題提示】先求出二次函數(shù)的對稱軸,然后討論對稱軸與[0,1]的 關(guān)系,從而確定a的值.,【規(guī)范解答】y=-(x- (a2-a+2),其圖象的對稱軸為x= ①當(dāng)0≤ ≤1,即0≤a≤2時, ymax= (a2-a+2),由 (a2-a+2)=2, 得a=3或a=-2,與0≤a≤2矛盾,舍去; ②當(dāng) 0,即a0時,y在[0,1]上單調(diào)遞減, 有ymax=f(0),由f(0)=2得 =2解得a=-6.,③當(dāng) 1,即a2時,y在[0,1]上單調(diào)遞增, 有ymax=f(1),由f(1)=2得-1+a =2, 解得a= 綜上,得a=-6或a= 答案:-6或,命題角度2:求解一元二次不等式恒成立問題 【典例4】(2015石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對于滿足 10,則實數(shù)a的取值范圍為 . 【解題提示】思路一:分a0,a=0,a0求解. 思路二:分離參數(shù)a得a ,然后求g(x)= 的最大值即可.,【規(guī)范解答】方法一：當(dāng)a＞0時，f(x)＝ 由f(x)＞0，x∈(1,4)得：,所以a≥1或 ＜a＜1或?，即a＞ ， 當(dāng)a＜0時， 解得a∈?； 當(dāng)a＝0時，f(x)＝-2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝-6，所以不合題意. 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是a＞ 答案：,方法二：由f(x)＞0，即ax2-2x＋2＞0，x∈(1,4)， 得a＞ 在(1,4)上恒成立. 令g(x)＝ 所以g(x)max＝g(2)＝ 所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞ 即可. 答案：,悟技法 1.二次函數(shù)最值問題的類型及處理思路 (1)類型:①對稱軸、區(qū)間都是給定的;②對稱軸動、區(qū)間固定;③對稱軸定、區(qū)間變動. (2)解決這類問題的思路:抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合,三點是指區(qū)間兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸,結(jié)合配方法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.,2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 (1)一般有兩個解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是:a≥f(x)?a≥f(x)max, a≤f(x)?a≤f(x)min.,通一類 1.(2015貴陽模擬)函數(shù)y=ax2+bx與y= (ab≠0,|a|≠|(zhì)b|)在 同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( ),【解析】選D.對A，y＝ax2＋bx滿足 得|b||a|，即 1，此時y＝ 在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合；同理B，C 也不符合；對D，y＝ax2＋bx滿足 得|b||a|，即 1，此時y＝ 在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選D.,2.(2015中山模擬)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為x=-1.給出下面四個結(jié)論:①b24ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5ab.其中正確的是( ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③,【解析】選B.因為圖象與x軸交于兩點,所以b2-4ac0,即b24ac,①正 確;對稱軸為x=-1,即 =-1,2a-b=0,②錯誤;結(jié)合圖象,當(dāng)x=-1時, y0,即a-b+c0,③錯誤;由對稱軸為x=-1知,b=2a.又函數(shù)圖象開口向 下,所以a0,所以5a2a,即5ab,④正確.,3.(2015焦作模擬)已知函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍為 . 【解析】y=x2-2x+3的對稱軸為x=1. 當(dāng)m1時,y=f(x)在[0,m]上為減函數(shù). 所以ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2. 所以m=1,無解.,當(dāng)1≤m≤2時,ymin=f(1)=12-21+3=2, ymax=f(0)=3. 當(dāng)m2時,ymax=f(m)=m2-2m+3=3,不滿足題意. 答案:[1,2],4.(2015衡水模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),對任意 的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),則實數(shù)a的取值范 圍是 . 【解析】當(dāng)x0∈[-1,2]時,由f(x)=x2-2x得f(x0)∈[-1,3],又對任意 的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以當(dāng)x1∈[-1,2] 時,g(x1)∈[-1,3].當(dāng)a0時, 解得a≤ .綜上所述,實數(shù) a的取值范圍是(0, ]. 答案:(0, ],巧思妙解2 數(shù)形結(jié)合思想在解決二次函數(shù)問題中的妙用 【典例】(2015中山模擬)設(shè)函數(shù)f(x)= ,g(x)=-x2+bx(b∈R). 若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點 A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是( ) A.當(dāng)a0 B.當(dāng)a0,y1+y20時,x1+x20時,x1+x20,y1+y20,【常規(guī)解法】選B.設(shè)F(x)=x3-bx2+1,則方程F(x)=0與f(x)=g(x)同解, 故其有且僅有兩個不同零點x1,x2.由F′(x)=0,得x=0或x= .這樣, 必須且只需F(0)=0或 =0,因為F(0)=1,故必有 =0由此得 b= .不妨設(shè)x10, 由此知y1+y2=,【巧妙解法】選B.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)= 及g(x)=-x2+bx的草 圖如圖所示,,其中點A(x1,y1)關(guān)于原點的對稱點C也在函數(shù)y= 的圖象上,坐標(biāo)為 (-x1,-y1),而點B的坐標(biāo)(x2,y2)在圖象上也明顯的顯示出來.由圖象 可知,x1+x20,y1+y20.,【方法指導(dǎo)】(1)利用二次函數(shù)圖象可以較直觀形象地解決以下幾方面問題: ①二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; ②二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值; ③借助二次函數(shù)求參數(shù)的范圍; ④與二次函數(shù)相關(guān)的圖象交點個數(shù)問題. (2)二次函數(shù)問題利用數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵:準(zhǔn)確作出二次函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求解.,【類題試解】(2015杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2, g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8. 設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=( ) A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16,【常規(guī)解法】選B.由f(x)=g(x),得(x-a)2=4, 所以當(dāng)x=a-2和x=a+2時,兩函數(shù)值相等.f(x)圖象為開口向上的拋物 線,g(x)圖象為開口向下的拋物線,兩圖象在x=a-2和x=a+2處相交,則 所以A=H1(x)min=f(a+2)=-4a-4,B=H2(x)max=g(a-2)=-4a+12, 所以A-B=-16.,【巧妙解法】選B.f(x)頂點坐標(biāo)為(a+2,-4a-4),g(x)頂點坐標(biāo)(a-2,-4a+12),并且f(x)與g(x)的頂點都在對方的圖象上,圖象如圖, 由題意知,A,B分別為兩個二次函數(shù)頂點的縱坐標(biāo), 所以A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16.,