2019版高考數(shù)學(xué) 10.5 古 典 概 型課件.ppt

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第五節(jié) 古 典 概 型,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)基本事件的特點: ①任何兩個基本事件是_____的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成_____事件的和.,互斥,基本,(2)古典概型的定義: 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件___________; ②每個基本事件出現(xiàn)的可能性_____. (3)古典概型的概率公式: P(A)= .,只有有限個,相等,,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)古典概型中的基本事件都是互斥的. (2)任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和. 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:列舉法、樹狀圖法等. (2)數(shù)學(xué)思想:分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)某袋中裝有大小均勻的三個紅球、兩個黑球、一個白球,那么每種顏色的球被摸到的可能性相同.( ) (2)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.( ),(3)分別從3名男同學(xué)、4名女同學(xué)中各選一名作代表,那么每個同學(xué)當(dāng)選的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率公式求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點,這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率.( ) (5)從長為1的線段AB上任取一點C,求滿足AC≤ 的概率是多少”是古典概型.( ),【解析】(1)錯誤.摸到紅球的概率為 ,摸到黑球的概率為 ,摸到 白球的概率為 ,所以(1)錯.(2)正確.取到小于0的數(shù)的概率為 ,取 到不小于0的概率也為 ,所以(2)正確.(3)錯誤.男同學(xué)當(dāng)選的概率 為 ,女同學(xué)當(dāng)選的概率為 ,所以(3)錯.(4)錯誤.由正方形內(nèi)點的 個數(shù)具有無限性,與古典概型不符,所以(4)錯.(5)錯誤.因為線段上 的點及所取的點不具有古典概型所滿足的有限性，所以(5)錯. 答案: (1) (2)√ (3) (4) (5),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修3P125例1改編)從1,2,3,4,5中隨機(jī)取出三個不同的數(shù), 則其和為偶數(shù)的基本事件個數(shù)為( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】選C.從5個數(shù)中取出3個不同的數(shù)共有(1,2,3),(1,2,4), (1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5), (3,4,5)10種不同結(jié)果,其中和為偶數(shù)的有6種結(jié)果.,(2)(必修3P145T5改編)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球,其中 紅色球3個,黃色球2個.若從中隨機(jī)取出2個球,則所取出的2個球顏色 不同的概率為 . 【解析】從5個球中任取2個球有 =10(種)取法,2個球顏色不同的 取法有 =6(種),故所求概率為 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015廣東模擬)在圓周上有10個等分點,以這些點為頂點,每3 個點可以構(gòu)成一個三角形,如果隨機(jī)選擇3個點,剛好構(gòu)成直角三角形 的概率是( ) 【解析】選C.從10個點中任取三個有 種方法,能構(gòu)成直角三角形 時,必須有兩點連線為直徑,這樣的直徑有5條,因為能構(gòu)成直角三角 形58=40個,所以概率P=,(2)(2014江蘇高考)從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù),則 所取2個數(shù)的乘積為6的概率是 . 【解析】從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù),共有結(jié)果為 (1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),所取2個數(shù)積為6的共 有(1,6),(2,3)兩種結(jié)果,故概率為 . 答案:,(3)(2013上海高考)盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九 個球,從中任意取出兩個,則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是 (結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示). 【解析】9個數(shù)5個奇數(shù),4個偶數(shù),根據(jù)題意知,所求概率為1- 答案:,考點1 基本事件及事件的構(gòu)成 【典例1】有兩顆正四面體的玩具,其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗:用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示第1顆正四面體玩具底面出現(xiàn)的點數(shù),y表示第2顆正四面體玩具底面出現(xiàn)的點數(shù).試寫出:,(1)試驗的基本事件. (2)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”. (3)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)相等”. 【解題提示】每個基本事件對應(yīng)著兩個數(shù)字的一個組合;符合其他條件的事件關(guān)鍵是看兩個數(shù)字之間的關(guān)系.,【規(guī)范解答】(1)這個試驗的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4). (2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含以下13個基本事件: (1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (3)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下四個基本事件: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).,【規(guī)律方法】古典概型中基本事件的探求方法 (1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的. (2)樹狀圖法:適合較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求,注意在確定基本事件時(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)與(2,1)不同.有時也可以看成是無序的,如(1,2)(2,1)相同.,【變式訓(xùn)練】1.高一(2)班有4個學(xué)習(xí)小組,從中抽出2個小組進(jìn)行作 業(yè)檢查.在這個試驗中,基本事件的個數(shù)為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】選C.設(shè)這4個學(xué)習(xí)小組為A,B,C,D,“從中任抽取兩個小組”的基本事件有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6個.,2.用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中3個矩形隨機(jī)涂色,每個矩形只涂一種顏色,求: (1)3個矩形顏色都相同的概率. (2)3個矩形顏色都不同的概率.,【解析】所有可能的基本事件共有27個,如圖所示.,(1)記“3個矩形都涂同一顏色”為事件A,由圖知事件A的基本事件有 13=3(個),故P(A)= (2)記“3個矩形顏色都不同”為事件B,由圖可知事件B的基本事件有 23=6(個),故P(B)=,【加固訓(xùn)練】甲、乙兩人出拳游戲(石頭、剪子、布)、所有可能的 基本事件有 個. 【解析】所有可能的基本事件為(石頭、石頭),(石頭、剪子), (石頭、布),(剪子、剪子),(剪子、布),(布、布),共6種. 答案:6,考點2 簡單的古典概型問題 【典例2】(1)(2014廣東高考)從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,則取到字母a的概率為 . (2)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié),則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 (用數(shù)字作答).,【解題提示】(1)先列舉出所有的基本事件,并計算出其個數(shù),再找出符合條件的事件所含基本事件的個數(shù),然后用概率公式求解. (2)相鄰兩節(jié)文化課最多間隔1節(jié)藝術(shù)課(含有每2節(jié)文化課之間1節(jié)藝術(shù)課、2節(jié)文化課排在一起,3節(jié)文化課排在一起).,【規(guī)范解答】(1)因為從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,不考慮 先后順序共有10種取法,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c), (b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中取到字母a的有4種:(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),所求概率為P= 答案:,(2)當(dāng)每兩節(jié)文化課之間都有一節(jié)藝術(shù)課時，共有 ＝72種排法； 當(dāng)有兩節(jié)文化課排在一起時，共有 ＝216種排法； 當(dāng)三節(jié)文化課排在一起時，共有 ＝144種排法． 所以在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 答案：,【易錯警示】解答本題(1)有兩點容易出錯 (1)列舉基本事件時,不按規(guī)律列舉,導(dǎo)致結(jié)果出錯. (2)兩個字母沒有排序,如果按有序排列,則不合題意,導(dǎo)致解答錯誤.,【互動探究】本例(2)條件不變,則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間 至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率. 【解析】相鄰兩節(jié)文化課間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有 =144種, 所以所求概率為,【規(guī)律方法】 1.求古典概型概率的基本步驟 (1)算出所有基本事件的個數(shù)n. (2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m. (3)代入公式P(A)= ,求出P(A).,2.基本事件個數(shù)的確定方法 (1)列舉法:此法適合于基本事件較少的古典概型. (2)列表法:此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗,也可看成是坐標(biāo)法.,【變式訓(xùn)練】1.(2015北京模擬)一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游 戲,讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機(jī)排成一 行,若卡片按從左到右的順序排成“1314”,則孩子會得到父母的獎勵, 那么孩子受到獎勵的概率為( ) 【解析】選A.先從4個位置中選一個排4,再從剩下位置中選一個排3, 所有可能的排法有43=12種,滿足要求的排法只有1種,因此,所求概 率為P=,2.在集合A={2,3}中隨機(jī)取一個元素m,在集合B={1,2,3}中隨機(jī)取一 個元素n,得到點P(m,n),則點P落在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為 . 【解析】點P的取法有23=6種,點P在圓內(nèi)部,則m2+n29,所以m=2, n=1或2. 因此,所求概率P= 答案:,【加固訓(xùn)練】1.(2015嘉興模擬)如圖給定6個點(任意相鄰兩點距離為1)A,B,C,D,E,F組成正三角形點陣,在其中任意取兩個點,則兩點間的距離為2的概率是( ),【解析】選B.從6個點中選出2個的選法共有 15種. 若使得取出的兩點中距離為2,有 ,D-F三種, 所以P=,2.從分別寫有A,B,C,D,E的5張卡片中任取2張,這2張卡片上的字母恰 好是按字母順序相鄰的概率是 . 【解析】從5張卡片中任取2張,所有的基本事件為AB,AC,AD,AE,BC, BD,BE,CD,CE,DE,共10組,設(shè)“2張卡片上的字母恰好是按字母順序 相鄰”為事件M,則M包含AB,BC,CD,DE,共4組,所以P(M)= 答案:,考點3 較復(fù)雜的古典概型問題 知考情 較復(fù)雜的古典概型問題是高考命題的重點內(nèi)容之一,其命題方向是古典概型與平面幾何、函數(shù)、統(tǒng)計交匯命題等,其解決方法是尋找其基本事件以及所含事件的個數(shù),然后利用古典概型的概率公式求解.,明角度 命題角度1:古典概型與平面幾何知識交匯命題 【典例3】(2014陜西高考)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為( ) 【解題提示】根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計算即可得到結(jié)論.,【規(guī)范解答】選B.從邊長為1的正方形的中心和頂點 這五點中,隨機(jī)(等可能)取兩點,共有 =10條線段, 滿足該兩點間的距離小于1的有AO,BO,CO,DO共4條線 段,則根據(jù)古典概型的概率公式可知隨機(jī)(等可能)取兩點,則該兩點間的距離小于1的概率P=,命題角度2:古典概型與函數(shù)零點交匯命題 【典例4】(2015哈爾濱模擬)設(shè)a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[1,2]上有零點的概率為( ) 【解題提示】注意函數(shù)f(x)在[1,2]上是增函數(shù),函數(shù)f(x)有零點,則需滿足f(1)f(2)≤0.,【規(guī)范解答】選C.因為f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a.因為a∈ {1,2,3,4},所以f′(x)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù). 若存在零點,則解得a+1≤b≤8+2a.因此可使函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有 零點的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8共有3種情況;a=2,3≤b≤ 12,故b=4,b=8,b=12共有3種情況;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12共 有3種情況;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12共有2種情況.所以有零點共 有3+3+3+2=11種情況.而構(gòu)成函數(shù)共有44=16個.根據(jù)古典概型可 得有零點的概率為 .,悟技法 1.與平面幾何有關(guān)概率的求法 (1)結(jié)合幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,找到符合條件的基本事件總數(shù). (2)根據(jù)事件的幾何特征求出其基本事件數(shù). (3)代入古典概型公式. 2.與函數(shù)零點有關(guān)概率的求法 與函數(shù)零點有關(guān)的概率的求法,依據(jù)題設(shè)條件將問題轉(zhuǎn)化為求基本事件個數(shù)與求出所求事件含有基本事件的個數(shù),最后利用公式求出概率.,通一類 1.(2015哈爾濱模擬)m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2， －1,0,1,2}，且方程 ＝1有意義，則方程 ＝1可表示 不同的雙曲線的概率為( ),【解析】選D.由題設(shè)知 或 1 時有不同取法33＝9種． 2 時有不同取法22＝4種． 所以，所求概率P＝,2.(2015杭州模擬)一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定:在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次,如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)的和大于2n,則算過關(guān),則某人連過前二關(guān)的概率是( ),【解析】選A.在第一關(guān),要投擲一顆骰子一次,這1次拋擲所出現(xiàn)的點 數(shù)大于2,即過關(guān),分析可得,共有6種結(jié)果,投擲一次過關(guān)的情況有3,4, 5,6,共四種,故過第一關(guān)的概率為 ;在第二關(guān),要投擲一顆骰子 二次,這2次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)的和大于4,即過關(guān),分析可得,共有36種 結(jié)果,點數(shù)小于等于4的情況有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (3,1)共6種,所以出現(xiàn)大于4的有30種,故過第二關(guān)的概率為 ; 故連過前兩關(guān)的概率是,3.(2015宿遷模擬)已知k∈Z， ＝(k,1)， ＝(2,4)，若 | |≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．,【解析】因為 ≤4，所以 因為k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3， 當(dāng)△ABC為直角三角形時，應(yīng)有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC， 由 ＝0得2k＋4＝0，所以k＝－2， 因為 ＝(2－k,3)，由 ＝0得k(2－k)＋3＝0， 所以k＝－1或3，,由 ＝0得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC為 直角三角形的k值為－2，－1或3， 所以所求概率P＝ . 答案：,4.(2015沈陽模擬)設(shè)集合A={x|x2-3x-100,x∈Z},從集合A中任取 兩個元素a,b且ab≠0,則方程 =1表示焦點在x軸上的雙曲線 的概率為 .,【解析】A={x|-20,b0,滿足條件的有:(1,-1), (2,-1),(3,-1),(4,-1)共4種,所求概率P= 答案:,自我糾錯27 求古典概型的概率問題 【典例】小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以O(shè)為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋.,(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值. (2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:(1)沒能準(zhǔn)確計算出X的所有可能值,由數(shù)量積的運(yùn)算知X的可能 取值為-2,-1,0,1,忽視 =-2. (2)基本事件列舉不全,思維定式,如X=-1,盲目認(rèn)為向量共線,遺漏向 量夾角為 的4種情況.,【規(guī)避策略】 1.準(zhǔn)確理解題意 對于X的可能取值,一定要考慮全面、準(zhǔn)確;對于合題意的,不要忽略 2.注意數(shù)量積的定義 向量的數(shù)量積由向量的模、夾角共同確定,要考慮到各種情況,要注意分類求解.,【自我矯正】(1)X的所有可能取值為－2，－1,0,1. (2)數(shù)量積為－2的有 ,共1種； 數(shù)量積為－1的有 共6種； 數(shù)量積為0的有 共4種；,數(shù)量積為1的有 共4種. 故所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為P1＝ ；小波 去唱歌的概率為P2＝ ，小波不去唱歌的概率為P＝1－,