2019-2020年高中數學 排列教案 新人教A版選修2-3.doc

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2019-2020年高中數學 排列教案 新人教A版選修2-3 【教學目的】理解排列、排列數的概念，了解排列數公式的推導；能用“樹型圖”寫出一個排列中所有的排列；能用排列數公式計算。 【教學重點】排列、排列數的概念。 【教學難點】排列數公式的推導 一、問題情景 〖問題1〗從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？ 分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學中每次選取2名同學，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素。 〖問題2〗．從這四個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？ 分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的字母，從余下的3個字母中取，有3種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的2個字母中取，有2種方法 由分步計數原理共有：432=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法 二、數學構建 1．排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。 說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 2．排列數的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示 注意區(qū)別排列和排列數的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數；“排列數”是指從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數，是一個數所以符號只表示排列數，而不表示具體的排列。 3．排列數公式及其推導：由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數就是排列數．由分步計數原理完成上述填空共有種填法，∴= 由此，求可以按依次填3個空位來考慮，∴=， 求以按依次填個空位來考慮，得排列數公式如下： （） 說明： （1）公式特征：第一個因數是，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數； （2）全排列：當時即個不同元素全部取出的一個排列。全排列數公式如下： （叫做n的階乘） 4．階乘的概念：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列，這時；把正整數1到的連乘積，叫做的階乘表示： ， 即規(guī)定． 5．排列數的另一個計算公式： 即 =。 三、知識運用 【例1】計算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ；（2） ＝＝720 ；（3）＝＝360。 【例2】（1）若，則 ， ． （2）若則用排列數符號表示為 ． 解：（1）17，14 ． （2）若則＝ ． 【例3】（1）從這五個數字中，任取2個數字組成分數，不同值的分數共有多少個？（2）5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？（3）某年全國足球甲級（A組）聯賽共有14隊參加，每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1次，共進行多少場比賽？ 解：（1）；（2）；（3） 【例4】計算：①；② ． 解：①原式 =； ②原式． 【例5】解方程：3． 解：由排列數公式得：， ∵，∴ ，即， 解得 或，∵，且，∴原方程的解為． 【例6】解不等式：． 解：原不等式即， 也就是，化簡得：， 解得或，又∵，且， 所以，原不等式的解集為． 【例7】求證：（1）；（2）． 證明：（1），∴原式成立 （2） 右邊 ∴原式成立 說明： （1）解含排列數的方程和不等式時要注意排列數中，且這些限制條件，要注意含排列數的方程和不等式中未知數的取值范圍； （2）公式常用來求值，特別是均為已知時，公式=，常用來證明或化簡。 【例8】化簡：⑴；⑵。 解：⑴原式 ⑵提示：由，得， 原式。 說明： ． 【例9】（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ （2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數是：，所以，共有60種不同的送法 （2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數是：，所以，共有125種不同的送法 說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學，各人得到的書不同，屬于求排列數問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯系，要用分步計數原理進行計算 【例10】某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？ 解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種； 第二類用2面旗表示的信號有種； 第三類用3面旗表示的信號有種， 由分類計數原理，所求的信號種數是：， 答：一共可以表示15種不同的信號 例3．將位司機、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？ 分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個不同元素中取出個元素排成一列，有種方法； 第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法， 利用分步計數原理即得分配方案的種數 解：由分步計數原理，分配方案共有（種） 答：共有576種不同的分配方案 【例11】用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？ 解法1：用分步計數原理： 所求的三位數的個數是： 解法2：符合條件的三位數可以分成三類：每一位數字都不是0的三位數有個，個位數字是0的三位數有個，十位數字是0的三位數有個， 由分類計數原理，符合條件的三位數的個數是：． 解法3：從0到9這10個數字中任取3個數字的排列數為，其中以0為排頭的排列數為，因此符合條件的三位數的個數是-． 說明：解決排列應用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進行恰當的分類和分步，直接計算符合條件的排列數如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數如解法3．對于有限制條件的排列應用題，要恰當地確定分類與分步的標準，防止重復與遺漏 【例12】（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：7個元素的全排列＝5040． （2）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？ 解：根據分步計數原理：7654321＝7?。?040． （3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——=720． （4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ 解：根據分步計數原理：第一步 甲、乙站在兩端有種； 第二步 余下的5名同學進行全排列有種，所以，共有=240種排列方法 （5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ 解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法，所以一共有＝2400種排列方法 解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種． 說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮 【例13】從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？ 解法一：（從特殊位置考慮）； 解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：， 則共有種； 解法三：（間接法） 【例14】 7位同學站成一排， （1）甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？ 解：先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學）一起進行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法．所以這樣的排法一共有種 （2）甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？ 解：方法同上，一共有＝720種 （3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？ 解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個元素進行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝960種方法 解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法， 所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法 解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學“松綁”，所以，這樣的排法一共有＝960種方法． （4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起 解：將甲、乙、丙三個同學“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，時一共有2個元素，∴一共有排法種數：（種） 說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）． 【例15】位同學站成一排， （1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？ 解法一：（排除法）； 解法二：（插空法）先將其余五個同學排好有種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學分別插入這六個位置（空）有種方法，所以一共有種方法． （2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？ 解：先將其余四個同學排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有＝1440種． 說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）． 【例16】5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列。 解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個“空擋”（包括兩端）中，有種排法。 故本題的排法有（種）； （2）方法1：； 方法2：設想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有種排法；余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經指定，所以她們只有一種排法。 故本題的結論為（種） 四、課堂練習 （一） 1．四支足球隊爭奪冠、亞軍，不同的結果有（） ．種 ．10種 ．12種 ．16種 2．信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號有（ ） ．3種 ．6種 ．1種 ．27種 3．且則用排列數符號表示為（ ） ． ． ． ． 4．5人站成一排照相，甲不站在排頭的排法有（ ） ．24種 ．72種 ．96種 ．120種 5．給出下列問題： ①有10個車站，共需要準備多少種車票？ ②有10個車站，共有多少中不同的票價？ ③平面內有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？ ④有10個同學，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？ ⑤從10個同學中選出2名分別參加數學和物理競賽，有多少中選派方法？ 以上問題中，屬于排列問題的是 （填寫問題的編號） 6．若 ，，則以為坐標的點共有 個 7．從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出3名進行某場比賽，并排定他們的出場順序，有多少種不同的方法？ 8．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質的3塊土地上進行試驗，有多少中不同的種植方法？ 9．計算：（1） （2） 10．分別寫出從這4個字母里每次取出兩個字母的所有排列； 11．寫出從這六個元素中每次取出3個元素且必須含有元素的所有排列 答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. ①③⑤ 6. 63 7. 60 8. 24 9. ⑴348；⑵64 10.共有個：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc 11. 共有個，具體的排列略 （二） 1．若，則 （ ） 2．與不等的是 （ ） 3．若，則的值為 （ ） 4．計算： ； ． 5．若，則的解集是 ． 6．（1）已知，那么 ； （2）已知，那么= ； （3）已知，那么 ； （4）已知，那么 ． 7．一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？ 8．一部紀錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 （三） 1．將1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，沒格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法（ ）種. ． 6 ． 9 ． 11 ． 23 2．有5列火車停在某車站并排的五條軌道上，若快車A不能停在第三條軌道上，貨車B不能停在第一條軌道上，則五列火車的停車方法有（ ）種. ．78 ．72 ．120 ． 96 3．由0，3，5，7這五個數組成無重復數字的三位數，其中是5的倍數的共有多少個（ ） ．9 ．21 ． 24 ．42 4．從七個數中，每次選不重復的三個數作為直線方程的系數，則傾斜角為鈍角的直線共有（ ）條. ． 14 ．30 ． 70 ．60 5．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的3塊土地上進行實驗，有 _____種不同的種植方法 6．9位同學排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數共有 種。 7．（1）由數字1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字的正整數？ （2）由數字1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字，并且比13000大的正整數？ 8．學校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的出場順序，除第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外，4個音樂節(jié)目要求排在第2、5、7、10的位置， 3個舞蹈節(jié)目要求排在第3、6、9的位置，2個曲藝節(jié)目要求排在第4、8的位置，共有多少種不同的排法？ 9．某產品的加工需要經過5道工序， （1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少種排列加工順序的方法？ （2）如果其中某兩工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？ 10．一天的課表有6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)，要排語文、數學、外語、微機、體育、地理六節(jié)課，要求上午不排體育，數學必須排在上午，微機必須排在下午，共有多少種不同的排法？ 11. 由數字0，1，2，3，4，（1）可組成多少個沒有重復數字且比xx0大的自然數？（2）2不在千位，且4不在十位的五位數有多少個？ 答案：1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6. 166320 7.⑴325； ⑵114 8. 288 9.⑴96； ⑵36 10. 48 11. （1）,（2）（） （四） 1．停車場上有一排七個停車位，現有四輛汽車需要停放，若要使三個空位連在一起，則停放方法數為（ ） ． ． ． ． 2．五種不同商品在貨架上排成一排，其中兩種必須連排，而兩種不能連排，則不同的排法共有（ ） ．12種 ．20種 ．24種 ．48種 3．6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學生，若要求師生相間而坐，則不同的分法有 （ ） ． ． ． ． 4．某人射出8發(fā)子彈，命中4發(fā)，若命中的4發(fā)中僅有3發(fā)是連在一起的，那么該人射出的8發(fā)，按“命中”與“不命中”報告結果，不同的結果有（ ） ．720種 ．480種 ．24種 ．20種 5．設且，則在直角坐標系中滿足條件的點共有 個 6．7人站一排，甲不站排頭，也不站排尾，不同的站法種數有 種；甲不站排頭，乙不站排尾，不同站法種數有 種 7．一部電影在相鄰5個城市輪流放映，每個城市都有3個放映點，如果規(guī)定必須在一個城市的各個放映點放映完以后才能轉入另一個城市，則不同的輪映次序有 種（只列式，不計算）． 8．一天課表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有 種；要使3門理科的數學與物理連排，化學不得與數學、物理連排，不同的排課方法有 種 9．某商場中有10個展架排成一排，展示10臺不同的電視機，其中甲廠5臺，乙廠3臺，丙廠2臺，若要求同廠的產品分別集中，且甲廠產品不放兩端，則不同的陳列方式有多少種？ 10．用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，其中（1）三個偶數字連在一起的四位數有多少個？（2）十位數字比個位數字大的有多少個？ 11．在上題中，含有2和3并且2和3不相鄰的四位數有多少個？ 答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7. 8. 72, 144 9. 10.⑴30； ⑵15011. 66種 四、課堂小結 1．對有約束條件的排列問題，應注意如下類型： ①某些元素不能在或必須排列在某一位置；②某些元素要求連排（即必須相鄰）；③某些元素要求分離（即不能相鄰）． 2．基本的解題方法：①有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）；②某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內部排列，這種方法稱為“捆綁法”；③某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；④在處理排列問題時，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑，這是學好排列問題的根基 。