高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第10講 函數(shù)與方程課件 理.ppt

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第 10 講,函數(shù)與方程,1．結合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)．,2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似,解．,1．函數(shù)的零點 (1) 方 程 f(x) ＝ 0 有 實 根 ? 函 數(shù) y ＝ f(x) 的 圖 象與x軸有,________?函數(shù) y＝f(x)有零點；,交點,(2)如果函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象是連續(xù)不斷的， 且有 f(a)f(b)____0，那么函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點．一,般把這一結論稱為零點存在性定理．,,2．二分法,如果函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的圖象是一條連續(xù)不斷的 曲線，且 f(m)f(n)0，通過不斷地把函數(shù) y＝f(x)的零點所在區(qū) 間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點 近似值的方法叫做二分法．,1．如圖 2-10-1 所示的是函數(shù) f(x)的圖象，它與 x 軸有 4 個 不同的公共點．給出下列四個區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù) f(x),零點的區(qū)間是(,),B,圖 2-10-1,A．[－2.1，－1] C．[4.1,5],B．[1.9,2.3] D．[5,6.1],2．(2012 年廣東韶關一模)若函數(shù) f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一 個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表： 那么方程 x3 ＋x2 －2x－2＝0 的一個近似根(精確到 0.1)為,(,C,) A．1.2 C．1.4,B．1.3 D．1.5,3．方程 2x＋x－4＝0 的解所在的區(qū)間為(,),C,A．(－1,0),B．(0,1),C．(1,2),D．(2,3),解析：令 f(x)＝2x＋x－4，∵f(1)f(2)＝－20，∴f(x)在(1,2) 內(nèi)有零點．,4．函數(shù) f(x)＝log3x＋x－2 的零點所在的區(qū)間為(,),B,A．(0,1),B．(1,2),C．(2,3),D．(3,4),解析：函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2 的定義域為(0，+∞)，且在(0， ＋∞)上單調(diào)遞增．又f(1)＝－10，∴函數(shù)f(x) 有唯一零點，且零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)．,考點 1,判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間,例 1：(1)利用計算器，列出自變量和函數(shù)值的對應值如下 表：,那么方程 2x＝x2 的一個根位于下列區(qū)間中的(,),A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2),B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0),解析：令 f(x)＝2x－x2.由 f(0.6)＝1.516－0.360，f(1.0)＝2.0 －1.00 ，排除A ；由 f(1.4) ＝2.639 －1.960 ，f(1.8) ＝3.482 － 3.240，排除 B；由 f(2.6)＝6.063－6.760，f(2.2)＝4.595－4.840，可 確定方程 2x＝x2 的一個根位于區(qū)間(1.8,2.2)上．,答案：C,答案：C,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點，,常用以下三種方法：,①當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落,在給定區(qū)間上；,②利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷；,③通過函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交,點來判斷.,【互動探究】 1．(2013 年重慶)若 abc，則函數(shù) f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x,－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(,),A,A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi) 解析：f(a)＝(a－b)(a－c)0；f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以兩個零點分別位于區(qū) 間(a，b)和(b，c)內(nèi)．,考點2,二分法的應用,例2：已知函數(shù) f(x)＝lnx＋2x－6. (1)求證：函數(shù) f(x)在其定義域上是增函數(shù)； (2)求證：函數(shù) f(x)有且只有一個零點；,(1)證明：函數(shù) f(x)的定義域為(0，＋∞)， 設 x1x2，則 lnx1lnx2,2x12x2. ∴l(xiāng)nx1＋2x1－6lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．,(2)證明：∵f(2)＝ln2－20， ∴f(2)f(3)0.∴f(x)在(2,3)上至少有一個零點． 又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，因此 f(x)＝0 至多 有一個根，從而函數(shù) f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．,【規(guī)律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一種計算方,法，它只能用來求函數(shù)的變號零點；,(2)給定精度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)的零點近似值的步驟,如下：,①確定區(qū)間[m，n]，驗證 f(m)f(n)0，給定精度ε； ②求區(qū)間[m，n]的中點 x1；,③計算 f(x1)：ⅰ)若 f(x1)＝0，則x1 就是函數(shù)y＝f(x)的零點； ⅱ) 若 f(m)f(x1)0 ，則令n＝x1[ 此時零點x0 ∈(m ，x1)] ；ⅲ) 若 f(x1)f(n)0，則令m＝x1[此時零點x0∈(x1，n)]．,【互動探究】 2．若函數(shù) f(x)的零點與 g(x)＝4x＋2x－2 的零點之差的絕對,),值不超過 0.25，則 f(x)可以是( A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1,答案：A,,考點 3,利用導數(shù)討論方程的根的分布,例 3：(2013 年廣東廣州一模)已知 f(x)是二次函數(shù)，不等式 f(x)0 的解集是(0,5)，且 f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線 6x＋y ＋1＝0 平行． (1)求 f(x)的解析式；,(2)是否存在 t∈N，使得方程 f(x)＋,37 x,＝0 在區(qū)間(t，t＋1),內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，求出 t 的值；若不存在， 請說明理由．,思維點撥：(1)由二次不等式f(x)0 的解集可設出 f(x)解析,式，利用條件求出 f′(1)，解出待定系數(shù)．,(2)對方程作等價變形,利用導數(shù)和變號零點判定法則探求 t.,∵函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線 6x＋y＋1＝0 平行， ∴f′(1)＝－6.,∴2a－5a＝－6，解得 a＝2. ∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x.,解：(1)方法一:∵f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)0. ∴f′(x)＝2ax－5a.,方法二：設 f(x)＝ax2＋bx＋c， ∵不等式 f(x)0 的解集是(0,5)， ∴方程 ax2＋bx＋c＝0 的兩根為 0,5.,∴c＝0,25a＋5b＝0.,①,∵f′(x)＝2ax＋b， 又函數(shù) f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線 6x＋y＋1＝0 平行， ∴f′(1)＝－6.,∴2a＋b＝－6.,②,由①②，解得 a＝2，b＝－10. ∴f(x)＝2x2－10x.,【互動探究】,3．函數(shù) f(x)＝2x＋x3－2 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是(,),A．0 個,B．1 個,C．2 個,D．3 個,B,解析：因為 f′(x)＝2xln2＋3x2≥0，所以函數(shù) f(x)＝2x＋x3 －2 在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增．又 f(0)＝1－2＝－10，所以由零點存在性定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)的零點個 數(shù)為 1 個．故選 B.,●思想與方法●,⊙運用分類討論思想判斷方程根的分布,例題：已知函數(shù) f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在區(qū)間[－1,1],上有零點，求實數(shù) a 的取值范圍．,令 f(x)＝0，得 x＝1 是區(qū)間[－1,1]上的零點．,當 a≠0 時，函數(shù) f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點分三種情況：,解：方法一：當a＝0 時，f(x)＝x－1.,【規(guī)律方法】(1)函數(shù) f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在區(qū)間[－ 1,1]上有零點，應該分類討論：討論 a＝0 與 a≠0；討論有一個 零點或有兩個零點；如果只有一個零點還要討論是否是重根． (2)函數(shù) f(x)的零點不是“點”，它是一個數(shù)，是方程 f(x),＝0 的實數(shù)根．,(3)準確理解根的存在性定理：①f(x)在[a，b]上連續(xù)； ②f(a)f(b)0.其中②是零點存在的一個充分條件，不是必要條件， 并且滿足 f(a)f(b)0 時，f(x)在[a，b]上至少有一個零點；不滿 足 f(a)f(b)0 時，f(x)在[a，b]上未必無零點,也可能有多個零點．,