二維正態(tài)分布及二維均勻分布

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1、 第四章 第五節(jié)二維正態(tài)分布及二維均勻分布二、二維均勻分布一、二維正態(tài)分布 一、二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為( , )X Y 212 22 11 21 1 ( )( , ) exp 2(1 )2 1 xf x y 21 2 221 2 2( )( ) ( )2 x y y 其中 為常數(shù)，1 2 1 1, , , , 則稱(chēng) 服從二維正態(tài)分布，( , )X Y記為2 21 1 2 2( , ) ( , ; , ; )X Y N 1 20, 0,| | 1, 且 定理：若 ，則：2 21 1 2 2( , ) ( , ; , ; )X Y N （1）2 21 1 2 2 ( ,

2、), ( , );X N Y N （2）2 21 1 2 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,E X D X E Y D Y 1 2( , ) , ;XYCov X Y （3）X 與 Y 相互獨(dú)立的充要條件是0. 例1 已知2 2 (1,3 ), (0,4 ),X N Y N且1.2XY 設(shè)1 1 ,3 2Z X Y 求：( ),E Z .XZ( ),D Z解：( ) 1,E X 由已知，( ) 9,D X ( ) 0,E Y ( ) 16D Y ( , )Cov X Y ( ) ( )XY D X D Y 1 3 4 62 則( )E Z 1 1( ) ( )3 2E X E Y

3、 13( )D Z 1 1 1 12 ,3 2 3 2D X D Y Cov X Y 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( , )9 4 3 2D X D Y Cov X Y 3( , )Cov X Z 1 1, 3 2Cov X X Y 1 1( , ) ( , )3 2Cov X X Cov X Y 1 1( ) ( , )3 2D X Cov X Y 0( )D Z 1 1 1 12 ,3 2 3 2D X D Y Cov X Y 0.XZ 所以 例2 設(shè)隨機(jī)變量 服從二維正態(tài)分布( , )X Y 2 221( , ) 2 x yf x y e 求隨機(jī)變量 的概率密度。2 21 ( )3

4、Z X Y 解：當(dāng) 時(shí)，0z Z 的分布函數(shù) ；( ) 0ZF z 當(dāng) 時(shí)，0z ( )ZF z 2 21 ( )3P X Y z 2 22 213 2( ) 12 x yx y z e dxdy 222 30 012 rzd e rdr 321 ze ( )ZF z對(duì) z 求導(dǎo)，得 Z 的概率密度函數(shù)320, 0( ) 3 , 02Z z zf z e z 即320, 0( ) 1 , 0Z z zF z e z 二、二維均勻分布設(shè) D 是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為 A 。若二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為( , )X Y1 , ( , )( , ) 0 , ( , )x y Df x

5、 y A x y D 則稱(chēng) 在區(qū)域 D 上服從二維均勻分布。( , )X Y例如，矩形區(qū)域上的均勻分布，其概率密度函數(shù)為1 , ,( )( )( , ) 0 , a x b c y db a d cf x y 其它 例3 設(shè)二維隨機(jī)變量 在圓域 上服從( , )X Y 2 2 2x y r 二維均勻分布，（2）問(wèn) X 與 Y 是否相互獨(dú)立。（1）求 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) ；XY解：( , )X Y的聯(lián)合密度函數(shù)為2 2 221 ,( , ) 0, x y rf x y r 其它下面求 X , Y 的邊緣概率密度函數(shù)。 當(dāng) 時(shí)，| |x r ( )Xf x 2 22 2 21r xr x dy

6、r 2 222 r xr 當(dāng) 時(shí)，| |x r ( )Xf x 0故2 222 , | |( ) 0, | |X r x x rf x r x r 同理2 222 , | |( ) 0, | |Y r y y rf y r y r 由于( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y所以 X 與 Y 不相互獨(dú)立。又( )E X 2 222 rr x r x dxr 0( )E Y 2 222 rr y r y dyr 0( )E XY 2 2 221 x y r xydxdyr 0于是( , )Cov X Y ( ) ( ) ( )E XY E X E Y 00XY 作業(yè) 習(xí)題4 24, 25, 26