高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.1.1-1.1.2 平均變化率、瞬時變化率——導數(shù)(一)課件 蘇教版選修2-2.ppt
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1.1.1 平均變化率 1.1.2 瞬時變化率——導數(shù)(一),第 1章 1.1 導數(shù)的概念,1.理解函數(shù)平均變化率、瞬時變化率的概念. 2.掌握函數(shù)平均變化率的求法. 3.掌握導數(shù)的概念,會用導數(shù)的定義求簡單函數(shù)在某點處的導數(shù).,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數(shù)的平均變化率 1.平均變化率的概念 設函數(shù)y=f(x),x1,x2是其定義域內(nèi)不同的兩個點,那么函數(shù)的變化率可 用式子 表示,我們把這個式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的____ ______,習慣上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相對于x1的一個“增量”,可用x1+Δx代替x2;類似地,Δy= .于是,平均 變化率可以表示為 .,,答案,平均,變化率,f(x2)-f(x1),2.求平均變化率 求函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上平均變化率的步驟如下: (1)求自變量的增量Δx=______; (2)求函數(shù)值的增量Δy= ;,x2-x1,f(x2)-f(x1),,答案,,答案,思考 (1)如何正確理解Δx,Δy? 答案 Δx是一個整體符號,而不是Δ與x相乘,其值可取正值、負值,但Δx≠0; Δy也是一個整體符號,若Δx=x1-x2, 則Δy=f(x1)-f(x2),而不是Δy=f(x2)-f(x1), Δy可為正數(shù)、負數(shù),亦可取零.,,答案,(2)平均變化率的幾何意義是什么? 答案 如圖所示: y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率是 曲線y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上陡峭程度的 “數(shù)量化”, 曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”, 越大,曲線y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上越“陡峭”,反之亦然. 平均變化率的幾何意義是函數(shù)曲線上過兩點的割線的斜率, 若函數(shù)y=f(x)圖象上有兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),則= kAB.,,答案,知識點二 瞬時變化率與瞬時速度、瞬時加速度 把物體在某一時刻的速度稱為 .做直線運動的物體,它的運動規(guī)律可以用函數(shù)s=s(t)描述,設Δt為時間改變量,在t0+Δt這段時間內(nèi),物體的位移(即位置)改變量是Δs= ,那么位移改變量Δs與時間改變量Δt的比就是這段時間內(nèi)物體的平均速度 , 即 = = .,瞬時速度,s(t0+Δt)-s(t0),,答案,一般地,如果當Δt無限趨近于0時,運動物體位移s(t)的平均變化率 無限趨近于一個常數(shù),那么這個常數(shù)稱為物體在t=t0時的瞬時速度,也就是位移對于時間的 . 一般地,如果當Δt無限趨近于0時,運動物體速度v(t)的平均變化率 無限趨近于一個常數(shù),那么這個常數(shù)稱為物體在t=t0時的瞬時加速度,也就是速度對于時間的瞬時變化率.,瞬時變化率,,答案,思考 (1)瞬時變化率的實質(zhì)是什么? 答案 其實質(zhì)是當平均變化率中自變量的改變量趨于0時的值,它是刻畫函數(shù)值在某處變化的快慢. (2)平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系是什么? 答案 ①區(qū)別:平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢; ②聯(lián)系:當Δx趨于0時,平均變化率 趨于一個常數(shù),這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率,它是一個固定值.,,答案,知識點三 導數(shù)的概念 1.函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù) 設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),若Δx無限趨近于0時, 比值 = 無限趨近于一個常數(shù)A,則稱f(x)在x=x0處 ,并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x=x0處的 ,記作f′(x0)=A或 常用符號“→”表示“無限趨近于”,于是簡記為“當Δx→0時,,可導,導數(shù),2.導函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導,則稱f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,此時f′(x)構成一個新的函數(shù),稱這個函數(shù)為y=f(x)的導函數(shù),簡稱為導數(shù).,,答案,思考 (1)如何理解f(x)在x0處不可導?,,(2)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導函數(shù)與f′(x0) (x0∈(a,b))有何聯(lián)系與區(qū)別? 答案 f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導函數(shù)f′(x)是x的函數(shù)式,f′(x0)是函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù),為一個定值;,,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,反思與感悟,題型一 求平均變化率 例1 求函數(shù)y=f(x)=2x2+3在x0到x0+Δx之間的平均變化率,并求當x0=2,Δx= 時該函數(shù)的平均變化率. 解 當自變量從x0變化到x0+Δx時,函數(shù)的平均變化率為,,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練1 (1)已知函數(shù)y=f(x)=2x2-1的圖象上一點(1,1)及其鄰近一點(1+Δx,1+Δy),則 =________.,解析 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(Δx)2+4Δx,,2Δx+4,,解析答案,,解析答案,題型二 實際問題中的瞬時速度 例2 一作直線運動的物體,其位移s與時間t的關系是s=3t-t2(位移單位:m,時間單位:s). (1)求此物體的初速度;,所以當Δt→0時,v→3. 即物體的初速度為3 m/s.,,解析答案,(2)求此物體在t=2時的瞬時速度;,即此物體在t=2時的瞬時速度為1 m/s,方向與初速度方向相反.,=-Δt-1.,故Δt→0時,其值為-1.,(3)求t=0到t=2時的平均速度.,即t=0到t=2時的平均速度為1 m/s.,反思與感悟,,反思與感悟,作變速直線運動的物體在不同時刻的速度是不同的,Δt趨近于0,指時間間隔Δt越來越小,但不能為0,Δt,Δs在變化中都趨近于0,但它們的比值趨近于一個確定的常數(shù).,,解析答案,跟蹤訓練2 已知一物體作自由落體運動,下落的高度的表達式為s= gt2,其中g為重力加速度,g≈9.8米/平方秒(s的單位:米). (1)求t從3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段內(nèi)的平均速度;,解 當t在區(qū)間[3,3.1]上時,Δt=3.1-3=0.1(秒),,,解析答案,(2)求t=3秒時的瞬時速度.,所以t=3秒時的瞬時速度約為29.4米/秒.,,解析答案,題型三 函數(shù)在某點處的導數(shù),從而y′|x=1=2.,反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,,因?qū)?shù)的概念理解不到位致誤,例4 設函數(shù)f(x)在x0處可導,且f′(x0)已知,求下列各式的值.,易錯易混,解析答案,返回,防范措施,,解析答案,錯因分析 在導數(shù)的定義中,增量Δx的形式是多種多樣的,但不論Δx是哪種形式,Δy必須選擇相對應的形式.如(1)中Δx的改變量為Δx=x0-(x0-Δx),(2)中Δx的改變量為2h=(x0+h)-(x0-h(huán)).,防范措施,,防范措施,,防范措施,自變量的改變量Δx的值為變后量與變前量之差.,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.在求解平均變化率時,自變量的變化量Δx應滿足______. ①Δx>0; ②Δx<0; ③Δx≠0; ④Δx可為任意實數(shù).,③,,解析答案,2.沿直線運動的物體從時間t到t+Δt時,物體的位移為Δs,那么當Δt→0時, 的物理意義為___________________.,t時刻物體的瞬時速度,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,5.以初速度為v0(v0>0)作豎直上拋運動的物體,t秒時的高度為s(t)=v0t- gt2,求物體在t0時刻的瞬時加速度.,∴物體在t0時刻的瞬時速度為v0-gt0. 由此,類似地可得到物體運動的速度函數(shù)為v(t)=v0-gt,,故物體在t0時刻的瞬時加速度為-g.,1,2,3,4,5,,課堂小結,,返回,- 配套講稿:
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