高中數(shù)學 第二章 推理與證明章末復習提升課件 蘇教版選修2-2

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1、第 2章推理與證明 1.了解推理的概念.2.理解合情推理與演繹推理的概念、思維形式、應用等.3.掌握直接證明與間接證明.4.理解數(shù)學歸納法，并會用數(shù)學歸納法證明問題.學習目標 欄目索引 知識梳理 自主學習題型探究 重點突破當堂檢測 自查自糾 知識梳理 自 主 學 習知識點一合情推理與演繹推理1.歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進一步證明.2.演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理

2、又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性. 知識點二直接證明與間接證明直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學問題時，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法. 思考反證法通常適用于哪些問題？答案反證法是高中數(shù)學的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題. 答案

3、知識點三數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題.證明時，它的兩個步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)nn0時結(jié)論成立.第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時，結(jié)論成立，推得nk1時結(jié)論也成立.數(shù)學歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立.思考何為探索性命題？其解題思路是什么？答案探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進行證明. 答案返回 題型探究 重 點 突 破 解析

4、答案 題型一合情推理及應用例1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10_.解析記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(n N*，n 3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a 10b10123.123反思與感悟 反思與感悟歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性

5、都有待嚴格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用.運用合情推理時，要認識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進行驗證. 解析答案 跟蹤訓練1自然數(shù)按下表的規(guī)律排列則上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)為_.2 0142; 2 0152；2 0132 014; 2 0142 015. 解析經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點：(1)第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個數(shù)為n2；(2)第一行第n個數(shù)為(

6、n1)21；(3)第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1；(4)第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)，應是第2 015列的第2 014個數(shù)，即為(2 0151) 212 0132 0142 015.答案 解析答案 題型二直接證明與間接證明 反思與感悟 反思與感悟 反思與感悟直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應當把分析法和綜合法結(jié)合起來使用. 解析答案 跟蹤訓練2已知等差數(shù)列an中，首項a10，公差d0.解 an是等

7、差數(shù)列，a11，d2， a47，am2m1.即2m149. m25. 解析答案又 a10，d0， an1a1ndd，因此假設(shè)不成立，故命題得證. 解析答案 題型三數(shù)學歸納法及應用例3已知ai0(i1,2，n)，考察：歸納出對a 1，a2，an都成立的類似不等式，并用數(shù)學歸納法加以證明.反思與感悟 證明：當n1時，顯然成立.假設(shè)當nk時，不等式成立，由可知，不等式對任意正整數(shù)n都成立. 反思與感悟 反思與感悟數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎(chǔ)必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟

8、，這兩步缺一不可，第二步中證明“當nk1時結(jié)論正確”的過程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯誤的. 解析答案 跟蹤訓練3數(shù)列an滿足Sn2nan(n N*).(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；解當n1時，a1S12a1， a11；當n4時，a1a2a3a4S424a4， 解析答案 (2)證明(1)中的猜想.證明當n1時，a11，結(jié)論成立.假設(shè)nk(k 1且k N*)時，結(jié)論成立，那么nk1時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1， 2ak12ak.當nk1時，結(jié)論成立. 例4已知x，y R，且x2y20，求證x，y全為0.錯解假設(shè)結(jié)論不成立，則x，y全不

9、為0，即x 0且y 0， x2y20，與x2y20矛盾，故x，y全為0.錯因分析x，y全為0的否定應為x，y不全為0，即至少有一個不是0，得x2y20與已知矛盾.正解假設(shè)x，y不全為0，則有以下三種可能：x0，y 0，得x2y20，與x2y20矛盾；x 0，y0，得x2y20, 與x2y20矛盾；x 0，y 0，得x 2y20，與x2y20矛盾.假設(shè)是錯誤的， x，y全為0. 易錯易混 應用反證法證明問題時，因?qū)Y(jié)論否定不正確致誤 解析答案返回防范措施 應用反證法證明問題時，首先要否定結(jié)論，假設(shè)結(jié)論的反面成立，當結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底. 返回 防范措施 當

10、堂檢測1.下列推理正確的是_.把a(bc)與loga(xy)類比，則loga(xy)logaxlogay；把a(bc)與sin(xy)類比，則sin(xy)sin xsin y；把(ab)n與(xy)n類比，則(xy)nxnyn；把(ab)c與(xy)z類比，則(xy)zx(yz). 答案 解析答案 2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，則ABC形狀為_.解析由sin Asin Ccos Acos C，得cos(AC)0，即cos B0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況.不確定 解析答案 解析答案 4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中

11、的花盆數(shù)an_.解析觀察知每一個圖案中間一行的花盆數(shù)為1,3,5，其中第n個圖案中間一行的花盆數(shù)為2n1，往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n2,2n3，3n23n1 解析答案 (1)求f2(x)，f3(x)； (2)猜想fn(x)的表達式，并證明.下面用數(shù)學歸納法證明：當n1時，命題顯然成立；這就是說當nk1時命題也成立. 解析答案 課堂小結(jié) 返回 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學最基本的思想方法，數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂.在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化，數(shù)學歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無限的轉(zhuǎn)化，反證法體現(xiàn)的是對立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化.從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進行證明.與正整數(shù)n有關(guān)的命題，經(jīng)常要用到歸納猜想，然后用數(shù)學歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.