高中數(shù)學 第3章 導數(shù)應用 1_2 函數(shù)的極值課件 北師大版選修2-2

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1、1函數(shù)的單調(diào)性與極值1.2函數(shù)的極值 課前預習學案 “橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”說的是廬山的高低起伏，錯落有致在群山之中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點. 同樣，各個谷底雖然不一定是群山之中的最低處，但它卻是附近的最低點那么，在數(shù)學上，如何來刻畫這種現(xiàn)象呢？ (1)在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在_的函數(shù)值都_的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值(2)在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在_的函數(shù)值都_的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值(3

2、)_與_統(tǒng)稱為極值，_與_統(tǒng)稱為極值點1函數(shù)極值的有關概念任何一點不大于x0點任何一點不小于x0點極大值極小值極大值點極小值點 (1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側的領域而言的(2)極值點是函數(shù)定義域內(nèi)的點，而函數(shù)定義域的端點絕不是函數(shù)的極值點(3)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值 (4)極大值與極小值沒有必然的大小關系一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，也可能沒有，在某一點的極小值可能大于另一點的極大值即極小值不一定比極大值小，極大值也不一定比極小值大(如圖所示) (1)如果函數(shù)yf(x)

3、在區(qū)間(a，x0)上是_，在區(qū)間(x0，b)上是_，則x0是極大值點，f(x0)是極大值(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是_，在區(qū)間(x0，b)上是_，則x0是極小值點，f(x0)是極小值2函數(shù)極值的判斷增加的減少的減少的增加的 函數(shù)的導數(shù)與極值的關系：(1)對于可導函數(shù)，極值點必為導數(shù)為零的點，但反之，導數(shù)為零的點不一定是極值點，如f(x)x3在x0處導數(shù)為零，但不是極值點(2)導數(shù)不存在的點也有可能是極值點，如f(x)|x|在x0處不可導，但該點為極值點綜合(1)(2)可得，函數(shù)的極值點只能是不可導點或?qū)?shù)為零的點 1關于函數(shù)的極值，有下列說法導數(shù)為零的點一定是極值點；極值點的

4、導數(shù)一定為零；極大值一定大于極小值；f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；f(x)在(x0 x，x0 x)上可導且f(x0)0，x0左側f(x)0，右側f(x)0那么x 0是極大值點； f(x)在區(qū)間(x0 x，x0 x)上可導，f(x0)0，x0左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是函數(shù)的極小值其中正確說法是()ABCD解析：根據(jù)極值的概念逐一判斷可知，錯誤，正確，故選D.答案：D 2函數(shù)y13xx3有()A極小值1，極大值1B極小值2，極大值3C極小值2，極大值2 D極小值1，極大值3解析：y33x2，令y33x20，得x1，當x變化時，f(x)，

5、f(x)的變化情況如下：x (，1)1 (1,1)f(x)0f(x)遞減極小值遞增 3已知函數(shù)f(x)x3ax2bx在x1處有極值為1，則f(2)等于_解析：由題意得f(1)0，f(1)1，f(x)3x22axb，即f(1)32ab0，f(1)1ab1，得a1，b1，f(2)84a2b2.答案：2 課堂互動講義 求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x2ex.求函數(shù)的極值 邊聽邊記(1)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)4x34x4x(x1)(x1)令f(x)0，得x0或x1或x1.列表：x (，1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1，)f(x)000f(x) 極小值

6、極大值極小值 求可導函數(shù)yf(x)極值點的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域(2)求出導數(shù)f(x)(3)解方程f(x)0. (4)對于方程f(x)0的每一個解x0，分析f(x)在x0左、右兩側的符號(即f(x)的單調(diào)性)，確定極值點若f(x)在x0兩側的符號“左正右負”，則x0為極大值點；若f(x)在x0兩側的符號“左負右正”，則x0為極小值點；若f(x)在x0兩側的符號相同，則x0不是極值點 已知f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0.求a、b的值思路導引解答本題可先求f(x)，利用x1時有極值0這一條件建立關于a、b的方程組解方程組可得a、b的值，最后將a、b代入原函數(shù)驗證極值情況已知函數(shù)

7、的極值求參數(shù)值 當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去. 7分當a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3). 9分 對于可導函數(shù)f(x)，通過極值點與導數(shù)的關系可知極值點必為f(x)0的根，而要明確是極大值點，還是極小值點必須考察極值點附近兩側的導數(shù)的符號，同時本題從逆向思維出發(fā)，實現(xiàn)了問題由已知向未知的轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過程中，利用了列表，直觀易于得到極值 2已知函數(shù)f(x)x5ax3bx1，僅當x1，x1時取得極值，且極大值比極小值大4.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的極大值和極小值解析：(1)f(x)x5ax3bx1的定

8、義域為R.f(x)5x43ax2b.x1時有極值，53ab0.b3a5. 設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點思路導引(1)中利用求極值的步驟進行；(2)結合第(1)問的結論利用數(shù)形結合加以分析函數(shù)極值的應用 利用極值判斷方程根的問題，實際上是利用連續(xù)函數(shù)的一個原理，即若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)f(b)0，則f(x)與x軸至少有一個交點具體解題時應結合圖形作全面分析 若函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極大值，則常數(shù)c_.【錯解】f(x)(xc)2x2(xc)(xc)(3xc)由f(x)在x2處有極大值，f(2)0.即(2c)(6c)0，解得c2或c6.答案：2或6 【錯因】上述解答時沒考慮極值點與導數(shù)的關系可導函數(shù)f(x0)0是x0為極值點的必要不充分條件若x0為極大值點，則f(x)在x0附近左正右負，若x0為極小值點，則f(x)在x0附近左負右正 x2時，f(x)有極小值，與已知矛盾若c6時，f(x)(x6)(3x6)3(x2)(x6)當x2時，f(x)0，f(x)在(，2)上增加，當2x6時，f(x)0，f(x)在(2,6)上減少x2時，f(x)有極大值，符合題意滿足條件的c的值為6.答案：6