高考數(shù)學(xué) 7.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖課件.ppt

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第七章 立體幾何 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征. ①多面體的結(jié)構(gòu)特征:,平行且相等,全等,公共點,平行于底面,相似,多邊,②旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征:,任一邊,任一直角邊,垂直于底邊的腰,直徑,(2)空間幾何體的三視圖. ①三視圖的形成與名稱: (ⅰ)形成:空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的,在這種投影之下, 與投影面平行的平面圖形留下的影子,與平面圖形的_____和_____是完 全相同的; (ⅱ)名稱:三視圖包括_______、_______、_______.,形狀,大小,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,②三視圖的畫法: (ⅰ)在畫三視圖時,重疊的線只畫一條,擋住的線要畫成_____. (ⅱ)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的_____方、 _____方、_____方觀察幾何體畫出的輪廓線.,虛線,正前,正左,正上,(3)空間幾何體的直觀圖. 空間幾何體的直觀圖常用_______畫法來畫,基本步驟是: ①畫幾何體的底面: 在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把 它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸,兩軸相交于點O′,且使∠x′O′y′ =______________,已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長度 _____,平行于y軸的線段,長度_____.,斜二測,45°(或135°),不變,減半,②畫幾何體的高: 在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面,在直觀圖中對應(yīng)的z′軸,也 垂直于x′O′y′平面,已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平 行于z′軸且長度_____.,不變,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征: ①正棱柱:側(cè)棱_____于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是_________的 直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是_________,側(cè)棱_____于底 面,側(cè)面是矩形. ②正棱錐:底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心 的棱錐叫做正棱錐.特別地,各棱_______的正三棱錐叫正四面體.,垂直,正多邊形,正多邊形,垂直,均相等,(2)簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征: 由簡單幾何體_____或_____或_____一部分而成. (3)三視圖的長度特征: 一個幾何體的三視圖___平齊、___對正、___相等. 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)三視圖與直觀圖互相轉(zhuǎn)換的方法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸思想.,拼接,截去,挖去,高,長,寬,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)底面是正方形的四棱柱為正四棱柱.( ) (2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.( ) (3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.( ) (4)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A=90°,則在直觀圖中,∠A=45°.( ) (5)正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同.( ),【解析】(1)錯誤.因為側(cè)棱不一定與底面垂直. (2)錯誤.盡管幾何體滿足了一個面是多邊形,其余各面都是三角形,但不能保證三角形具有公共頂點. (3)錯誤.因為兩個平行截面不能保證與底面平行. (4)錯誤.∠A應(yīng)為45°或135°. (5)錯誤.正方體的三視圖由于正視的方向不同,其三視圖的形狀可能不同,圓錐的側(cè)視圖與俯視圖顯然不相同. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修2P10T1改編)如圖,長方體ABCD-A′B′C′D′ 中被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的幾何體 是( ) A.棱臺 B.四棱柱 C.五棱柱 D.簡單組合體 【解析】選C.由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征知,該剩下部分為五棱柱ABFEA′-DCGHD′.,(2)(必修2P21T2(4)改編)若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體為 . 【解析】由三視圖知該幾何體為上面為一圓柱,下面為一四棱柱組合而成的簡單組合體. 答案:四棱柱與圓柱組合而成的簡單組合體,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·江西高考)一幾何體的直觀圖如圖所示,下列給出的四個俯視圖中正確的是( ) 【解析】選B.因為俯視圖是幾何體在下底面上的投影,所以選B.,(2)(2013·四川高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是( ),【解析】選D.根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致,并且俯視圖是兩個圓,可知只有選項D適合,故選D.,(3)(2015·珠海模擬)利用斜二測畫法得到的: ①三角形的直觀圖一定是三角形; ②正方形的直觀圖一定是菱形; ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形; ④菱形的直觀圖一定是菱形. 以上結(jié)論正確的個數(shù)是 .,【解析】由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確;②錯誤,是一般的平行四邊形;③錯誤,等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;而菱形的直觀圖也不一定是菱形,④也錯誤. 答案:1,考點1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【典例1】(1)下列說法正確的是( ) A.有兩個平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B.四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形 C.有兩個平面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺 D.棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點,(2)以下命題: ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐; ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺; ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓; ④一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺. 其中正確命題的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解題提示】(1)根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷. (2)根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷. 【規(guī)范解答】(1)選B.A錯,如圖1;B正確,如圖2,其中底面ABCD是矩形,可證明∠PAB,∠PCB都是直角,這樣四個側(cè)面都是直角三角形;C錯,如圖3;D錯,由棱臺的定義知,其側(cè)棱必相交于同一點.,(2)選B.命題①錯,因為這條邊若是直角三角形的斜邊,則得不到圓錐;命題②錯,因為這條腰必須是垂直于兩底的腰;命題③對;命題④錯,必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以.,【規(guī)律方法】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧 (1)熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后再依據(jù)題意判定. (2)利用反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說明某個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.,【變式訓(xùn)練】給出下列命題: ①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形; ②用一個平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺; ③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個側(cè)面也兩兩垂直; ④若四棱柱有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱; ⑤存在每個面都是直角三角形的四面體; ⑥棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.,其中正確命題的序號是( ) A.①②③④ B.②③④⑤ C.③④⑤⑥ D.①②③④⑤⑥,【解析】選C.①錯誤,因為棱柱的側(cè)面不一定是全等的 平行四邊形;②錯誤,必須用平行于底面的平面去截棱 錐,才能得到棱臺;③正確,根據(jù)面面垂直的判定定理判 斷;④正確,因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;⑤正確,如圖所示,正方體AC1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形;⑥正確,由棱臺的概念可知.因此,正確命題的序號是③④⑤⑥.,【加固訓(xùn)練】(2015·北京模擬)下列結(jié)論正確的是( ) A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐 D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線,【解析】選D.A錯誤,如圖所示,由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱 錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不 是三棱錐; B錯誤,如圖,若△ABC不是直角三角形或是直角 三角形,但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都 不是圓錐; C錯誤,若六棱錐的所有棱長都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長必然要大于底面邊長.,考點2 空間幾何體的三視圖 知·考情 空間幾何體三視圖的確認(rèn)與應(yīng)用是高考考查空間幾何體的一個重要考向,常與空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積與體積等知識綜合,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確認(rèn)其三視圖 【典例2】(2015·廈門模擬)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點,若用過點A,E,C1的平面截去該正方體的上半部分,則剩余幾何體的側(cè)視圖為( ),【解題提示】結(jié)合原正方體先確定剩余幾何體的形狀,再確認(rèn)其側(cè)視圖.,【規(guī)范解答】選C.設(shè)過點A,E,C1的截面與棱DD1相交于點F,且F是棱DD1的中點,該正方體截去上半部分后,剩余幾何體如圖所示,則它的側(cè)視圖應(yīng)選C.,【易錯警示】解答本題有兩點易出錯: (1)將剩余的幾何體搞錯,錯誤認(rèn)為截面過D1點而誤選B或D. (2)將剩余幾何體確認(rèn)正確,但將EC1的投影搞錯而誤選A.,命題角度2:根據(jù)三視圖還原直觀圖(幾何體的結(jié)構(gòu)特征) 【典例3】(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)如圖所示,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是( ) (本題源于教材必修2P15T4) A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱,【解題提示】結(jié)合三視圖進(jìn)行判斷,特別注意垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 【規(guī)范解答】選B.將三視圖還原為幾何體即可.如圖所示,幾何體為三棱柱.,悟·技法 1.根據(jù)幾何體確認(rèn)三視圖的技巧 由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖,按照“正側(cè)一樣高,正俯一樣長,俯側(cè)一樣寬”的特點確認(rèn). 2.根據(jù)三視圖還原幾何體的技巧策略 (1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉. (2)明確三視圖的形成原理,并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖. (3)遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.,提醒:對于簡單組合體的三視圖,首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向,其次要注意組合體由哪些幾何體組成,弄清它們的組成方式,特別應(yīng)注意它們的交線的位置,區(qū)分好實線和虛線的不同.,通·一類 1.(2015·天津模擬)一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖為( ),【解析】選C.根據(jù)一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為: 所以側(cè)視圖為: .,2.(2013·湖南高考)已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積為1 的正方形,側(cè)視圖是一個面積為 的矩形,則該正方體的正視圖的面 積等于( ) 【解析】選D.由題知此正方體的正視圖與側(cè)視圖是一樣的,正視圖的 面積與側(cè)視圖的面積相等,為 .,3.(2015·威海模擬)一空間幾何體的三視圖如圖所示, 則此空間幾何體的直觀圖為( ) 【解析】選A.由正視圖與俯視圖知,上部的三棱錐的頂點應(yīng)在棱的中點處.選A.,4.(2015·鄭州模擬)一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A處出發(fā),經(jīng)正方體的表面,按最短路線爬行到達(dá)頂點C1位置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【解析】選C.由已知得最短路線應(yīng)有四條,其正視圖符合要求的只有②④.故選C.,考點 空間幾何體的直觀圖 【典例】(1)(2015·宜春模擬)已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為( ),(2)如圖所示,四邊形A′B′C′D′是一水平放置的 平面圖形的斜二測畫法的直觀圖,在斜二測直觀圖 中,四邊形A′B′C′D′是一直角梯形,A′B′∥ C′D′,A′D′⊥C′D′,且B′C′與y′軸平行,若A′B′=6, D′C′=4,A′D′=2,則這個平面圖形的實際面積為 .,【解題提示】(1)先建立坐標(biāo)系,然后畫出△ABC的直觀圖△A′B′C′,求出△A′B′C′相關(guān)的邊,確定其面積. (2)按照斜二測畫法,將直角梯形還原為平面圖形再求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.如圖①②所示的實際圖形和直觀圖, 由②可知,A′B′=AB=a,O′C′= 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′, 則C′D′= 所以S△A′B′C′= A′B′·C′D′,(2)根據(jù)斜二測畫法規(guī)則可知: 該平面圖形是直角梯形,且AB=6,CD=4. 由于C′B′= A′D′=2 .所以CB=4 . 故平面圖形的實際面積為 ×(6+4)×4 =20 . 答案:20,【互動探究】若本例(1)改為“△A1B1C1是邊長為a的正三角形,且△A1B1C1是△ABC的直觀圖”,則△ABC的面積為多少? 【解析】如圖,可知 在△A1D1C1中,由正弦定理 得x= a,所以S△ABC=,【規(guī)律方法】直觀圖畫法的關(guān)鍵與結(jié)論 (1)關(guān)鍵:在斜二測畫法中,要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的 線段平行性不變,長度不變;平行于y軸的線段平行性不變,長度減半.” (2)結(jié)論:按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形 的面積的關(guān)系:S直觀圖= S原圖形.,【變式訓(xùn)練】如圖,正方形OABC的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長為 .,【解析】將直觀圖還原為平面圖形,如圖. 可知還原后的圖形中OB=2 ,AB= 于是周長為2×3+2×1=8(cm). 答案:8cm,【加固訓(xùn)練】1.如圖所示是水平放置三角形的 直觀圖,D是△ABC的BC邊中點,AB,BC分別與y′ 軸、x′軸平行,則三條線段AB,AD,AC中( ) A.最長的是AB,最短的是AC B.最長的是AC,最短的是AB C.最長的是AB,最短的是AD D.最長的是AC,最短的是AD 【解析】選B.由條件知,原平面圖形中AB⊥BC,從而ABADAC.,2.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示,若 A1C1=2,△ABC的面積為2 ,則A1B1的長為 . 【解析】由直觀圖可知AC⊥BC,BC=2B1C1,AC=2,又因為 AC·BC=2 ,所以BC=2 ,則B1C1= BC= , 所以 =22+( )2-2×2× ×cos45°=2, 解得A1B1= . 答案:,3.如圖所示,梯形A1B1C1D1是一個平面圖形ABCD 的直觀圖.若A1D1∥O1y′,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1 =2,A1D1=O1D1=1. 請畫出原來的平面幾何圖形的形狀,并求原圖形的面積.,【解析】如圖,建立直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取OD=O1D1=1;OC=O1C1=2. 在過點D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2.在過點A的x軸的平行線上 截取AB=A1B1=2.連接BC,即得到了原圖形.由作法可知,原四邊形ABCD 是直角梯形,上、下底長度分別為AB=2,CD=3,直角腰長度為AD=2,所 以面積為S= ×2=5.,自我糾錯17 三視圖的確認(rèn) 【典例】(2014·湖北高考)在如圖所示的空間直角 坐標(biāo)系O-xyz中,一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是 (0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號為①, ②,③,④的四個圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 ( ),A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程你知道錯在哪里嗎? 提示:上述解題過程錯在將正視圖中虛線誤認(rèn)為實線而失誤.,【規(guī)避策略】 1.準(zhǔn)確確定幾何體的邊界線 在確定邊界線時,要先分析幾何體由哪些面組成,從而確定邊界線,其次要確定哪些邊界線投影后與輪廓線重合,哪些邊界線投影后與輪廓線不重合,不重合的是我們要在三視圖中畫出的. 2.熟練掌握三視圖的畫法 在畫三視圖時,首先確定幾何體的輪廓線,然后再確定面與面之間的邊界線,再根據(jù)是否可視確定實虛.,【自我矯正】選D.根據(jù)正視圖、俯視圖的投影規(guī)則,找出它們各個頂點的坐標(biāo)即可.由題可知該幾何體的正視圖是一個直角三角形,三個頂點的坐標(biāo)分別是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2),且內(nèi)有一虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線),故正視圖是④;俯視圖在底面的射影是一個斜三角形,三個頂點的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯視圖是②.,