高考數學 3.6 簡單的三角恒等變換課件.ppt

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第六節(jié) 簡單的三角恒等變換,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填,2sin2α,2cos2α,2α,α,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)輔助角公式 asinx+bcosx=________sin(x+φ), 其中sinφ= ,cosφ= . (2)tan =,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:整體代入法、數形結合法. (2)數學思想:轉化化歸,函數與方程.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)當α是第一象限角時, ( ) (2)對任意角α, 都成立.( ) (3)半角的正余弦公式實質就是將倍角的余弦公式逆求而得來 的.( ) (4)公式 中φ的取值與a,b的值有關.( ),【解析】(1)錯誤.α在第一象限時, 在第一或第三象限. 當 在第一象限時, ,當 在第三象限時, (2)錯誤.此式子必須使tan 有意義且1+cosα≠0.即 ≠kπ+ 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). (3)正確.由半角公式推導過程可知正確. (4)正確.由 可知φ的取值與a,b的值有關. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P142 T4(2)改編)函數y=2cos2 +1的最小正周期為 . 【解析】因為y=2· +1=cos x+2, 所以函數的最小正周期T= =4π. 答案:4π,(2)(必修4 P143B組T2改編)若sin80°=m,則用含m的式子表示cos5°= . 【解析】由題意,得sin80°=cos10°=m, 又cos10°=2cos25°-1, 所以2cos25°-1=m,cos25°= 所以cos5°= 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·合肥模擬)已知cos α＝ ，α∈(π，2π)，則cos 等于( ) 【解析】選B.因為cos α＝ ，α∈(π，2π)，所以 ∈ ( ，π)，所以,(2)(2014·山東高考)函數y= sin 2x+cos2x的最小正周期為____. 【解析】因為y= sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ ，所以T= =π. 答案：π,考點1 利用三角恒等變換化簡與證明 【典例1】(1)(2015·棗莊模擬)化簡:sin2α·sin2β+cos2α· cos2β- cos2α·cos2β= . (2)證明:cosθ-cosφ= 【解題提示】(1)可以從統一角入手進行化簡. (2)聯想兩角和與差的余弦公式,進行整體變換證明.,【規(guī)范解答】(1)方法一:(從“角”入手,倍角→單角) 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(2cos2α-1)· (2cos2β-1) =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- (4cos2α·cos2β- 2cos2α-2cos2β+1) =sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β- =sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β- =sin2β+cos2β- =1- = .,方法二(從“角”入手,單角→倍角) 原式= - cos2α·cos2β = (1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+ (1+cos2α·cos2β+ cos2α+cos2β)- ·cos2α·cos2β = . 答案:,(2)因為cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以兩式相減,得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ, 令α+β=θ,α-β=φ, 則 所以cosθ-cosφ=,【一題多解】解答本例(1),(2),還有其他方法嗎? 解答本題(1),還可以從統一名稱和式子的形式的變化入手進行化簡. 方法一:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β- cos2α·cos2β =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos2α·cos2β =cos2β-sin2α·cos2β- cos2α·cos2β =cos2β-cos2β·（sin2α+ cos2α）,方法二:(從“形”入手,利用配方法,先對二次項配方) 原式=(sinα·sinβ-cosα·cosβ)2+2sinα·sinβ·cosα· cosβ- cos2α·cos2β =cos2(α+β)+ sin2α·sin2β- cos2α·cos2β =cos2(α+β)- ·cos(2α+2β) =cos2(α+β)- ·[2cos2(α+β)-1]= . 答案:,解答本例(2),還可從式子的變形入手進行證明. 證明:因為原式右=,=- ［(1+cos φ-cos θ-cos θcos φ)-(1-cos φ+cos θ- cos θcos φ)］=- (2cos φ-2cos θ) =cos θ-cos φ=左， 所以原等式成立，即cos θ-cos φ=,【規(guī)律方法】 1.三角函數式的化簡遵循的三個原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯系,把角進行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數名稱”,看函數名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. (3)三看“結構特征”,分析結構特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.,2.三角函數式化簡的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角;降冪或升冪. 在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數式時,一般需要升次.,【變式訓練】化簡: (0θπ)=________________.,【解析】原式= 因為00, 所以原式=-cos θ. 答案：-cos θ,【加固訓練】1.化簡 =( ) A.sin α B.cos α C.tan α D. 【解析】選C.原式=,2.化簡： ＝_______.,【解析】原式＝ 答案： cos 2x,考點2 三角恒等變換在實際問題中的應用 【典例2】(2015·西安模擬)如圖,現要在一塊 半徑為1 m,圓心角為 的扇形白鐵片AOB上剪 出一個平行四邊形MNPQ,使點P在弧AB上,點Q 在OA上,點M,N在OB上,設∠BOP=θ,平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關于θ的函數關系式. (2)求S的最大值及相應的θ角.,【解題提示】(1)雖然P點變化但OP不變,通過構造 與角θ所在的直角三角形,將平行四邊形的底和高用角θ表示,從而求出S關于θ的函數關系式.(2)利用三角恒等變換先化簡,再求S的最大值及相應的θ角.,【規(guī)范解答】(1)分別過P,Q作PD⊥OB于D,QE⊥OB于E,則四邊形QEDP為矩形. 由扇形半徑為1m,得PD=sinθ,OD=cosθ. 在Rt△OEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DE=OD-OE=cosθ- sinθ, S=MN·PD=(cosθ- sinθ)·sinθ =sinθcosθ- sin2θ,θ∈(0, ).,【互動探究】在本例中若點M與O重合,圖形變?yōu)槿鐖D,記平行四邊形ONPQ的面積為S.求S的最大值.,【解析】如圖,過P作PD⊥OB于D,則 由扇形半徑為1m,得PD=sinθ,OD=cosθ, 在Rt△PND中,因為∠PND=∠AOB= , 所以ND= PD= sinθ, ON=OD-ND=cosθ- sinθ, S=ON·PD=(cosθ- sinθ)·sinθ,【易錯警示】解答本題有三點容易出錯: (1)不知平行四邊形的面積公式,無從下手,導致不會解答. (2)不會化簡所求關系式致誤. (3)忽視θ的取值范圍致誤.,【規(guī)律方法】三角函數應用題的處理方法 (1)結合具體圖形引進角為參數,利用三角函數的有關公式進行化簡,解決最優(yōu)化問題. (2)解決三角函數應用問題和解決一般應用性問題一樣,先建模,再討論變量的范圍,最后作出結論并回答問題.,【加固訓練】1.(2015·吉林模擬)已知直線l1∥l2,A是l1,l2之間的一定點,并且A點到l1,l2的距離分別為h1,h2,B是直線l2上一動點,作AC⊥AB,且使AC與直線l1交于點C,則△ABC面積的最小值為 .,【解析】如圖,設∠ABD=α,則∠CAE=α,AB= ,AC= . 所以S△ABC= ·AB·AC= 當2α= ,即α= 時,S△ABC的最小值為h1h2. 答案:h1h2,2.(2015·海口模擬)如圖所示,已知OPQ是半徑為1,圓心角為 的扇形,ABCD是扇形的內接矩形,B,C兩點在圓弧上,OE是∠POQ的平分線,連接OC,記∠COE=α,問:角α為何值時矩形ABCD面積最大,并求最大面積.,【解析】設OE交AD于M,交BC于N,顯然矩形ABCD關于OE對稱,而M,N均為AD,BC的中點, 在Rt△ONC中,CN=sinα,ON=cosα. = sinα, 所以MN=ON-OM=cosα- sinα, 即AB=cosα- sinα,又BC=2CN=2sinα,,故S矩形=AB·BC=(cosα- sinα)·2sinα =2sinαcosα-2 sin2α=sin2α- (1-cos2α) =sin2α+ cos2α- = 因為0α ,所以02α , 2α+ ,故當2α+ = , 即α= 時,S矩形取得最大值,此時S矩形=2- .,考點3 三角恒等變換在研究三角函數圖象與性質中的應用 知·考情 利用三角恒等變換將三角函數式化簡后研究其圖象及性質是高考的熱點.在高考中常以解答題的形式出現,重點考查三角函數的值域、最值、單調性、周期、奇偶性、對稱性等問題.,明·角度 命題角度1:利用三角恒等變換研究函數的圖象變換 【典例3】(2014·浙江高考)為了得到函數y=sin3x+cos3x的圖象, 可以將函數y= sin3x的圖象( ) A.向右平移 個單位 B.向左平移 個單位 C.向右平移 個單位 D.向左平移 個單位 【解題提示】由函數y=Asin(ωx+φ)的圖象平移與變換解決.,【規(guī)范解答】選D.因為y=sin 3x+cos 3x 故只需將y= sin 3x的圖象向左平移 個單位即可.,命題角度2：利用三角恒等變換研究三角函數的性質 【典例4】(2014·福建高考)已知函數f(x)=cos x(sin x+cos x) － . (1)若0α ，且sin α= ，求f(α)的值. (2)求函數f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間. 【解題提示】(1)先由平方關系式求出cos α,再代入求f(x)的值. (2)運用降冪公式，輔助角公式進行化簡，再利用正弦型函數的性質求解．,【規(guī)范解答】方法一：(1)因為0＜α＜ ,sin α= , 所以cos α= . 所以f(α)=,(2)因為f(x)=sin xcos x+cos2x-,方法二：f(x)=sin xcos x+cos2x-,悟·技法 求函數周期、最值、單調區(qū)間的方法步驟 (1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式. (2)利用公式T= (ω0)求周期.,(3)根據自變量的范圍確定ωx+φ的范圍,根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時,根據所給關系式的特點,也可換元轉化為二次函數的最值. (4)根據正、余弦函數的單調區(qū)間列不等式求函數y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的單調區(qū)間.,通·一類 1.(2013·湖北高考)將函數y= cosx+sinx(x∈R)的圖象向左平 移m(m0)個單位長度后,所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值 是( ) 【解析】選B.由已知 當m= 時,平移后函數為y=2sin(x+ )=2cosx,其圖象關于y軸對稱,且此時m最小.,2.(2013·江西高考)函數y=sin2x+2 sin2x的最小正周期T 為 . 【解析】因為y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+ =2sin(2x- )+ ,所以最小正周期T= =π. 答案:π,3.(2014·天津高考)已知函數f(x)=cosx·sin(x+ )- cos2x+ x∈R. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在閉區(qū)間 上的最大值和最小值. 【解題提示】(1)利用三角恒等變換把函數f(x)的解析式化為Asin(ωx+φ)+t的形式,從而求最小正周期. (2)根據x的取值范圍求最值.,【解析】(1)由已知，有f(x)=cos x·,規(guī)范解答3 三角恒等變換在研究函數中的應用 【典例】(12分)(2013·陜西高考)已知向量a=(cos x,- ), b=( sin x,cos 2x),x∈R,設函數f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在[0, ]上的最大值和最小值.,解題導思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標準 體會規(guī)范 (1)f(x)=a·b=cos x· sin x－ cos 2x …………………2分 ………………………………4分 最小正周期T= =π. 所以f(x)= 的最小正周期為π. ……………………6分,…………………………………………8分 由正弦曲線y=sin x在 上的圖象知， 當2x- ,即x= 時，f(x)取得最大值1; 當2x- ,即x=0時，f(x)取得最小值- . …………10分 所以，f(x)在 上的最大值和 最小值分別為1,－ . …………………………………………………………………12分,,,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭取滿分 1.化簡函數關系式 由已知條件列出函數關系式后(或對已知的函數關系式)常先由三角恒等變換化簡函數關系式. 2.注意解題步驟的規(guī)范性 (1)求最值、單調區(qū)間或由值求角時一定要注意限定角的取值范圍； (2)涉及kπ或2kπ時要注意k的范圍，規(guī)范步驟，減少出錯； (3)注意題目最后的總結，保證步驟的完整性.,