高考數(shù)學(xué) 3.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式課件.ppt

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第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式,,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系: ①平方關(guān)系:_______________. ②商數(shù)關(guān)系:__________.,sin2α+cos2α=1,(2)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:,-sinα,-sinα,sinα,cosα,cosα,-cosα,cosα,-cosα,sinα,-sinα,tanα,-tanα,-tanα,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)sin2α=1-cos2α,cos2α=________.,1-sin2α,(2)特殊角的三角函數(shù)值,0,1,0,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:統(tǒng)一法,整體代換法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸的思想. (3)記憶口訣:三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”.,【小題快練】 1.思考辨析靜心思考判一判 (1)120°角的正弦值是 ，余弦值是 ( ) (2)同角三角函數(shù)關(guān)系式中的角α是任意角.( ) (3)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角.( ) (4)誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“符號(hào)”與α的大小無關(guān).( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°= cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°= (2)錯(cuò)誤.在tan α= 中α≠ +kπ，k∈Z. (3)錯(cuò)誤.對(duì)于正、余弦的誘導(dǎo)公式角α可以為任意角，而對(duì)于正切的誘導(dǎo)公式α≠ ＋kπ，k∈Z. (4)正確.誘導(dǎo)公式的“符號(hào)看象限”中的符號(hào)是把任意角α都看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，因而與α的大小無關(guān). 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P21T5改編)已知f(x)= 則f(- )的值為( ) A.0 B.1 C.-5 D.-9 【解析】選C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-π)= 0+2×(-1)-4×0+3×(-1)=-5.,(2)(必修4P22T3改編)已知tan α=-2,則 =______. 【解析】原式= 答案:-2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·泰安模擬)sin 600°的值為( ) 【解析】選B.sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+ 60°)=-sin 60°=,(2)(2015·梅州模擬)已知α為銳角，且tan(π-α)+3=0,則sin α的值是( ) 【解析】選B.方法一：由tan(π-α)+3=0得tan α=3，即 sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α= 又因?yàn)棣翞殇J角，所以sin α=,方法二：因?yàn)棣翞殇J角，且tan(π-α)+3=0,所以-tan α+3=0即 tan α=3.在如圖直角三角形中，令A(yù)=α，BC=3則AC=1，故 所以,考點(diǎn)1 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【典例1】(1)(2015·蘭州模擬)計(jì)算：2sin( )+cos 12π+ tan =______. (2)已知cos( -α)= ，則sin(α- )=_____. (3)(2015·淮南模擬)已知f(x)= 則f( )=________.,【解題提示】(1)利用誘導(dǎo)公式化大角為小角，再求值. (2)注意角 -α與α- 的關(guān)系，用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化求值. (3)利用誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)，再求值.,【規(guī)范解答】(1)原式= 答案：1,(2)因?yàn)?所以 答案：,(3)因?yàn)閒(x)= 所以 答案：-1,【互動(dòng)探究】在本例題(2)的條件下，求 的值. 【解析】,【規(guī)律方法】 1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用 (1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了. (2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了. 2.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5π-α)= cos(π-α)=-cos α.,【變式訓(xùn)練】(2015·濟(jì)寧模擬)計(jì)算： 【解析】原式 答案：-1,【加固訓(xùn)練】1.(2015·南昌模擬)已知sin(x+ )= ，則cos(x+ ) 的值為( ) 【解析】選B.因?yàn)?所以,2.已知A= (k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是( ) A.{1，-1,2，-2} B.{-1,1} C.{2，-2} D.{1，-1,0,2，-2} 【解析】選C. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A= k為奇數(shù)時(shí)，,3.(2014·揚(yáng)州模擬)已知點(diǎn)(tan ,sin(- ))是角θ終邊上一點(diǎn)，則cos( +θ)=_______. 【解析】將(tan ,sin(- ))化簡(jiǎn)得：(1，- )，在第四象限， 所以sin θ= 則 答案：,考點(diǎn)2 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 【典例2】(1)(2015·青島模擬)已知α是第四象限角，sin α= 則tan α=( ) (2)化簡(jiǎn)：(1+tan2 α)(1-sin2 α)=_______. (3)(2015·銀川模擬) 若tan α= ，則 =_______，sin2α＋2sin αcos α=__________.,【解題提示】(1)先求cos α，再求tan α，注意角α的范圍. (2)切化弦,注意應(yīng)用公式的變形. (3)第一個(gè)式子的分子分母都是關(guān)于sin α，cos α的一次式，第二個(gè)式子的分母看成1，然后轉(zhuǎn)化為sin2 α+cos2 α，此時(shí)分子分母都是關(guān)于sin α，cos α的二次式，利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan α的表達(dá)式求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)棣潦堑谒南笙藿牵瑂in α= 所以cos α= 故tan α= (2)原式= 答案：1,(3) 答案：,【一題多解】解答本例題(3)，你還知道幾種解法？ 解答本題，還有以下兩種解法： 方法一：因?yàn)閠an α= 所以sin α= 所以,方法二：因?yàn)閠an α= 所以sin α= cos α， 又因?yàn)閟in2 α+cos2 α=1， 所以 由tan α= 0,知α是二、四象限角. 當(dāng)α是第二象限角時(shí)， 此時(shí) 當(dāng)α是第四象限角時(shí)，,此時(shí) 答案：,【規(guī)律方法】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法 (1)利用sin2 α+cos2 α=1可實(shí)現(xiàn) α的正弦、余弦的互化，利用 =tan α可以實(shí)現(xiàn)角 α的弦切互化. (2)關(guān)系式的逆用及變形用：1=sin2 α+cos2 α，sin2 α=1-cos2 α， cos2 α=1-sin2 α. (3)sin α，cos α的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sin α， cos α的齊次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值時(shí)， 可將所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α=1”代換后轉(zhuǎn)化 為“切”后求解.,【變式訓(xùn)練】1.(2015·長(zhǎng)沙模擬)化簡(jiǎn)： =_______. 【解析】原式= 答案： sin 2x,2.已知 則sin xcos x+cos2x=____. 【解析】由已知,得 解得tan x=2， 所以 答案：,【加固訓(xùn)練】1.(2015·?？谀M) 記cos(-80°)=k，那么tan 100° 等于( ) 【解析】選B.因?yàn)閏os(-80°)=cos 80°=k， 所以sin 80°= 所以tan 100°=-tan 80°=,2.化簡(jiǎn):cos4α-sin4α+1= . 【解析】原式=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)+1 =cos2α-sin2α+1 =2cos2α. 答案:2cos2α,考點(diǎn)3 誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用 知·考情 利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)求值是高考的重點(diǎn),常與三角恒等變換結(jié)合,達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,在高考中常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1：利用誘導(dǎo)公式求值 【典例3】(2014·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+π)= f(x)+sin x，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f(x)=0,則f( )=( ) 【解題提示】由函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系式，逐步降角，直到把 轉(zhuǎn)化到區(qū)間［0，π)上，再利用當(dāng)0≤xπ時(shí)，f(x)=0求值.,【規(guī)范解答】選A.由f(x+π)=f(x)+sin x,得 f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π) =f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以f( )=f( ) =f( )=f( ) =f( )+sin . 因?yàn)楫?dāng)0≤xπ時(shí),f(x)=0. 所以,命題角度2：綜合利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式求值 【典例4】(2015·衡水模擬)已知 且-πα ，則cos( -α)等于( ) 【解題提示】明確 +α與 -α的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，求值時(shí)要注意角α的范圍.,【規(guī)范解答】選D.因?yàn)? 所以cos( -α)= sin[ ]=sin( +α).因?yàn)?π0，所以 所以,悟·技法 1.誘導(dǎo)公式用法的一般思路 (1)化大角為小角. (2)角中含有加減 的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉 的整數(shù)倍. 2.常見的互余和互補(bǔ)的角 (1)常見的互余的角： -α與 +α; +α與 -α; +α與 -α等. (2)常見的互補(bǔ)的角： +θ與 -θ; +θ與 -θ等.,3.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方向 (1)切化弦，統(tǒng)一名. (2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角. (3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn).,通·一類 1.(2015·合肥模擬)設(shè)f(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5x，則f( )=( ) 【解析】選D.f( )= = =,2.(2015·汕頭模擬)已知sin(3π-α)=-2sin( +α)，則 sin αcos α等于( ) 【解析】選A.因?yàn)閟in(3π-α)=sin(π-α)=-2sin( +α)， 所以sin α=-2cos α，所以tan α=-2， 所以,3.(2015·福州模擬)計(jì)算： =______. 【解析】原式= = = 答案：-1,巧思妙解5 巧用平方關(guān)系求值 【典例】(2015·西安模擬)已知sin α+cos α= ，α∈(0，π)，則tan α=________. 【常規(guī)解法】 由 消去cos α整理得， 25sin2α-5sin α-12=0.,解得sin α= 或sin α= 因?yàn)棣痢?0，π)， 所以sin α= 又由sin α＋cos α= 得， cos α= 所以tan α= 答案：,【巧妙解法】 因?yàn)閟in α+cos α= ,① 所以(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α= 即2sin α·cos α= 所以(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α = 又2sin α·cos α= ＜0，0＜α＜π， 所以sin α＞0，cos α＜0，,即sin α-cos α＞0， 故sin α-cos α= ② 聯(lián)立①②得 所以tan α= 答案：,【方法指導(dǎo)】平方關(guān)系的靈活應(yīng)用 (1)根據(jù)平方關(guān)系sin2 α+cos2 α=1，三者：sin α+cos α， sin αcos α，sin α-cos α中知道一個(gè)就可求另外兩個(gè). (2)開方求sin α+cos α，或sin α-cos α?xí)r，一定要注意角的取值范圍對(duì)其值符號(hào)的影響.,【類題試解】已知sin α-cos α= ,α∈(0,π),則sin 2α=( ) 【常規(guī)解法】選A.由 消去cos α整理得2sin2α- sin α+1=0，解得sin α= 又由sin α-cos α= 得，cos α= ,故sin 2α=2sin αcos α =-1.,【巧妙解法】選A.將等式sin α-cos α= 兩邊平方，整理得sin2α+cos2α-2sin αcos α=2?2sin αcos α=-1?sin 2α=-1.,