高考數(shù)學 10.9 離散型隨機變量的均值與方差課件.ppt

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第九節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)離散型隨機變量X的分布列:,(2)離散型隨機變量X的均值與方差:,x1p1+x2p2+…+xipi,+…+xnpn,平均水平,平均偏離程度,算術(shù)平方根,(3)均值與方差的性質(zhì): ①E(aX+b)=________(a,b為常數(shù)). ②D(aX+b)=______(a,b為常數(shù)). (4)兩點分布的均值與方差: 若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=__,D(X)=_______.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),p,(5)二項分布的均值與方差: 若隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即X～B(n,p),則E(X)=___,D(X)=________.,np(1-p),np,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)均值與方差的關(guān)系: D(X)=E(X2)-E2(X). (2)超幾何分布的均值: 若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則 E(X)=,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:待定系數(shù)法,比較法. (2)數(shù)學思想:方程思想,分類討論思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù),與概率無關(guān).( ) (2)隨機變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機變量,它不確定.( ) (3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小.( ),(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事.( ),【解析】(1)錯誤.期望是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均值,反映了離散型隨機變量取值的平均水平. (2)正確.由于隨機變量的取值是確定值,而每一個隨機變量的概率也是確定的,因此隨機變量的均值是定值,即為常數(shù);而樣本數(shù)據(jù)隨著抽樣的次數(shù)不同而不同,因此其平均值也不相同. (3)正確.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小;方差或標準差越大,則偏離均值的平均程度越大.,(4)錯誤.均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,均值反映了平均水平,而方差則反映它們與均值的偏離情況. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-3P64T2改編)已知離散型隨機變量X的分布列為 則X的數(shù)學期望E(X)=( ) A. B.2 C. D.3 【解析】選A.E(X)=,(2)(選修2-3P68T1改編)已知X的分布列為 設Y=2X+3,則E(Y)的值為( ) A. B.4 C.-1 D.1 【解析】選A.E(X)= E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2013·湖北高考)如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的油漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=( ),【解析】選B.,(2)(2014·浙江高考)隨機變量ξ的取值為0,1,2,若P(ξ=0)= , E(ξ)=1,則D(ξ)= . 【解析】設ξ=1時的概率為p,則E(ξ)=0× +1×p+2×(1-p- )=1, 解得p= ,故D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = . 答案:,(3)(2015·廣州模擬)設X～B(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,則n和p分別 為 . 【解析】因為X～B(n,p),所以 解得p= ,n=18. 答案:18,,考點1 離散型隨機變量的均值與方差 【典例1】(1)(2014·浙江高考)已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中. (a)放入i個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2);,(b)放入i個球后,從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則 ( ) A.p1p2,E(ξ1)E(ξ2) C.p1p2,E(ξ1)E(ξ2) D.p1p2,E(ξ1)E(ξ2),(2)隨機變量X的分布列為: 且E(X)=1.1,則D(X)= . 【解題提示】(1)根據(jù)概率和數(shù)學期望的有關(guān)知識,分別計算p1,p2和E(ξ1),E(ξ2),再比較大小. (2)可由分布列的性質(zhì)求出n的值,再由期望值求出m值,最后求出方差值.,【規(guī)范解答】(1)選A. p2= p1－p2= 故p1＞p2, E(ξ1)= E(ξ2)= 比較可知E(ξ1)＜E(ξ2)，故選A.,(2)由分布列的性質(zhì)得 所以n＝ .又E(X)＝0× ＋1× ＋m× ＝1.1，解得m＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2× ＋(1－1.1)2 × ＋(2－1.1)2× ＝0.49. 答案：0.49,【易錯警示】解答本例題(1)易出現(xiàn)三點錯誤 (1)題設理解不清,對p1,p2的意義理解不透,造成結(jié)論錯誤. (2)比較p1,p2,E(ξ1),E(ξ2)大小時,出現(xiàn)運算錯誤. (3)忽略m,n取值造成結(jié)論錯誤.,【互動探究】若本例(2)條件不變,令Y=2X+1,試求E(Y),D(Y). 【解析】因為E(X)=1.1,Y=2X+1,所以E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×1.1 +1=3.2;由例題可知:D(X)=0.49,所以D(Y)=D(2X+1)=22×D(X)=1.96.,【規(guī)律方法】求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟 (1)理解ξ的意義,寫出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每個值的概率. (3)寫出ξ的分布列. (4)由均值的定義求E(ξ). (5)由方差的定義求D(ξ).,均值與方差的性質(zhì)的推導 若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機變量,則 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. 證明:E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.,(2)D(aX+b)=a2D(X). 證明:D(Y)=(ax1+b-aE(X)-b)2p1+(ax2+b-aE(X)-b)2p2+…+(axi+b-aE(X)-b)2pi+…+(axn+b-aE(X)-b)2pn=a2[(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xi-E(X))2pi+…+(xn-E(X))2pn]=a2D(X).,【變式訓練】已知隨機變量ξ的分布列為 若E(ξ)= ,則D(ξ)= .,【解析】由分布列性質(zhì)，得x＋y＝0.5. 又E(ξ)＝ ，得2x＋3y＝ ，可得 D(ξ)＝ 答案：,【加固訓練】在一次電視節(jié)目的搶答中,題型為判斷題,只有“對”和 “錯”兩種結(jié)果,其中某明星判斷正確的概率為p,判斷錯誤的概率為q, 若判斷正確則加1分,判斷錯誤則減1分,現(xiàn)記“該明星答完n題后總得 分為Sn”.(1)當p=q= 時,記ξ=|S3|, 求ξ的分布列及數(shù)學期望及方差. (2)當p= ,q= 時,求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.,【解析】(1)因為ξ＝|S3|的取值為1,3，又p＝q＝ ；故P(ξ＝1)＝ 所以ξ的分布列為： 且E(ξ)＝1× ＋3× = ；D(ξ)＝,(2)當S8＝2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題 數(shù)是3題，又已知Si≥0(i＝1,2,3,4)，若第一題和第二題回答正確， 則其余6題可任意答對3題；若第一題和第三題回答正確，第二題回答 錯誤，則后5題可任意答對3題．此時的概率為P＝,考點2 與二項分布有關(guān)的均值與方差 【典例2】(1)某同學參加科普知識競賽,需回答4個問題,每一道題能 否正確回答是相互獨立的,且回答正確的概率是 ,若回答錯誤的題數(shù) 為ξ,則E(ξ)= ,D(ξ)= . (2)罐中有6個紅球,4個白球,從中任取1個球,記住顏色后再放回,連 續(xù)取4次,設ξ為取得紅球的次數(shù),則E(ξ)= .,【解題提示】(1)可將問題看做是4次獨立重復試驗,服從二項分布. (2)本題同樣可看做4次獨立重復試驗,服從二項分布. 【規(guī)范解答】(1)因為回答正確的概率是 ,所以回答錯誤的概率是 1- = ,故 所以E(ξ)=4× =1, D(ξ)=,(2)因為是有放回摸球,所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率為 ,連續(xù)摸4次(做4次試驗),ξ為取得紅球(成功)的次數(shù),則 所以E(ξ)=4× 答案:(1)1 (2),【易錯警示】解答本例(2)易忽視“放回”的題目特征,從而將隨機變量ξ的分布列看成普通分布而非二項分布,造成錯誤.,【規(guī)律方法】與二項分布有關(guān)的期望、方差的求法 (1)求隨機變量ξ的期望與方差時,可首先分析ξ是否服從二項分布,如果ξ～B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計算量. (2)有些隨機變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布,這時,可以綜合應用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同樣還可求出D(aξ+b).,【變式訓練】某籃球隊與其他6支籃球隊依次進行6場比賽,每場均決 出勝負,設這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的,并且勝 場的概率是 . (1)求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負了兩場的概率. (2)求這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的概率. (3)求這支籃球隊在6場比賽中勝場數(shù)的數(shù)學期望和方差.,【解析】(1)P＝ 所以這支籃球隊首次勝場前已負兩場的概率為 (2)6場勝3場的情況有 種， 所以P＝ 所以這支籃球隊在6場比賽中恰勝3場的概率為,(3)由于ξ服從二項分布，即 所以E(ξ)＝6× ＝2，D(ξ)＝6× ×(1- )＝ . 所以在6場比賽中這支籃球隊勝場的數(shù)學期望為2，方差為 .,【加固訓練】(2015·杭州模擬)甲、乙兩人參加某高校的自主招生考 試,若甲、乙能通過面試的概率都為 ,且甲、乙兩人能否通過面試相 互獨立,則面試結(jié)束后通過人數(shù)X的數(shù)學期望E(X)的值為 .,【解析】由題意可知,X服從二項分布 所以E(X)=2× = . 答案:,考點3 均值與方差的應用 知·考情 利用離散型隨機變量的期望與方差,對現(xiàn)實生活中的問題進行分析、作出決策是高考考查離散型隨機變量分布列、期望與方差的一個重要考向,常與古典概型、二項分布、相互獨立事件概率等知識綜合,以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:現(xiàn)實生活中的決策問題 【典例3】(2014·福建高考)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.,(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元,求 ①顧客所獲的獎勵額為60元的概率; ②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望.,(2)商場對獎勵總額的預算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成,或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.,【解題提示】(1)列分布表,再按公式求期望.(2)欲讓每位顧客所獲得的獎勵相對平衡,則應求方差,方差小的為最佳方案.,【規(guī)范解答】(1)設顧客所獲的獎勵額為X. ①依題意，得P(X=60)= 即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為 . ②依題意，得X的所有可能取值為20，60. P(X=60)= ,P(X=20)=,即X的分布列為 所以顧客所獲得的獎勵額的期望為E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).,(2)根據(jù)商場的預算,每個顧客的平均獎勵額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.,對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2. 以下是對兩個方案的分析: 對于方案1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵額為X1,則X1的分布列為,X1的期望為E(X1)=20× +60× +100× =60. X1的方差為D(X1)=(20-60)2× +(60-60)2× +(100-60)2× = . 對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的獎勵額為X2,則X2的分 布列為,X2的期望為E(X2)=40× +60× +80× =60, X2的方差為D(X2)=(40-60)2× +(60-60)2× +(80-60)2× = . 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案2獎勵額的方差比方 案1的小,所以應該選擇方案2.,命題角度2:對實際問題的數(shù)學解釋 【典例4】(2014·四川高考)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都 需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游 戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn) 三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設 每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 ,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.,(1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列. (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分數(shù)相比,分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.,【解題提示】本題主要考查隨機事件的概率、古典概型、獨立重復試驗、隨機變量的分布列、數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識,考查運用概率與統(tǒng)計的知識與方法分析和解決實際問題的能力,考查運算求解能力、應用意識和創(chuàng)新意識.,【規(guī)范解答】(1)X可能取值有-200，10，20，100.根據(jù)題意，有 P(X=-200)= P(X=10)= P(X=20)= P(X=100)=,所以X的分布列為,(2)由(1)知：每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是 則玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是 P1= (3)由(1)知，每盤游戲獲得的分數(shù)為X的數(shù)學期望是 E(X)=(-200)× (分), 這表明，每盤游戲平均得分是負分，因此，多盤游戲之后分數(shù)減少的可能性更大.,悟·技法 利用均值與方差解決實際問題的方法 (1)對實際問題進行具體分析,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,并將問題中的隨機變量設出來. (2)依據(jù)隨機變量取每一個值時所表示的具體事件,求出其相應的概率. (3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應的期望與方差值. (4)依據(jù)期望與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋.,通·一類 1.(2015·贛州模擬)2014年巴西世界杯的周邊商品有80%左右為“中國制造”,所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮.甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品,為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位:毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù):,(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件,求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量. (2)當產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品.用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量. (3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值(即數(shù)學期望).,【解析】(1)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為5÷ =35. (2)樣品中優(yōu)等品的頻率為 ，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為35× =14. (3)ξ=0,1,2, P(ξ=i)= (i=0,1,2), ξ的分布列為 均值E(ξ)=,2.(2013·福建高考)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙 兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為 ,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎 率為 ,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機 會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品. (1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分 為X,求X≤3的概率. (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他 們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學期望較大?,【解析】方法一： (1)由已知得：小明中獎的概率為 ，小紅中獎的概率為 ，且兩人 中獎與否互不影響，記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則A事 件的對立事件為“X=5”， 因為P(X=5)= 所以P(A)=1－P(X=5)= 所以這兩人的累計得分X≤3的概率為,(2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2)， 由已知： 所以E(X1)= E(X2)= 所以E(2X1)=2E(X1)= ，E(3X2)=3E(X2)= ， 因為E(2X1)E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大．,方法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為 ，小紅中獎的概率 為 ，且兩人中獎與否互不影響． 記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A包含有“X＝0”“X ＝2”“X＝3”三個兩兩互斥的事件，因為P(X＝0)＝ 所以P(A)＝P(X＝0) ＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝ ，即這2人的累計得分X≤3的概率為 .,(2)設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：,所以E(X1)＝ E(X2)＝ 因為E(X1)E(X2)， 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大．,自我糾錯30 離散型隨機變量的期望與方差的求解 【典例】根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如表:,歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差. (2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:解題過程中在以下方面出現(xiàn)錯誤:第(2)問中,在降水量X至少是300mm的條件下,這一條件說明是在延誤工期的條件下,求工期延誤不超過6天的概率,錯解中沒有在這條件下求概率.,【規(guī)避策略】(1)求某事件概率,首先理解題意,分清概率模型,恰當選擇概率計算公式.本題是條件概率,應利用條件概率公式計算. (2)解決期望和方差問題時,認真計算、正確利用期望和方差公式、避免失誤.,【自我矯正】(1)由已知和概率公式有:P(X300)=0.3, P(300≤X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列為:,于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.,(2)由對立事件概率公式,得P(X≥300)=1-P(X300)=0.7,又P(300≤X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6. 由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X900|X≥300) = 故在降水量X至少是300mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是 .,