整式的乘法(一)教學設計

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1、 第一章 整式的 乘除 4 整式的乘法（第 1 課時） 總體說明： 在七年級上冊的學習中， 學生已經學習了數的運算、 字母表示數、 合并同類項、去括號等內容， 具備了由數的運算轉化為式的運算的知識基礎， 類比有理數運算學習整式的運算是本章的重點， 是代數知識學習的重點內容， 可以幫助學生認識到代數與現(xiàn)實世界、 學生生活、相關學科聯(lián)系十分密切， 為數學本身和其他學科的研究提供了語言、方法和手段 . 本單元提前安排了同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等知識， 然后通過實例引入了整式的乘法， 使學生通過對乘法分配律等法則的運用探索整式乘法的運算法則以及一些

2、重要的公式， 所以，本節(jié)知識既是對前面所學知識的綜合應用， 也為下面學習乘法公式、 整式除法以及八年級學習因式分解打好基礎 . 本單元共分 3 課時，由淺入深地學習單項式乘單項式、 單項式乘多項式、 多項式乘多項式， 三節(jié)課的知識環(huán)環(huán)相扣， 每節(jié)課新知識的學習既是對前一節(jié)所學知識的應用，也為后一節(jié)學習奠定基礎 . 所以在教學時要注意引導學生發(fā)現(xiàn)各知識點之間的聯(lián)系，善于應用轉化的思想， 化未知為已知，形成較完整的知識結構 . 一、 學生起點分析： 學生的知識技能基礎： 在七年級上冊的學習中，學生已經學習了數的運算、 字母表示數、合并同類項、去括號等內容，了解有關運

3、算律和法則，同時在前面 幾節(jié)課又學習了同底數冪的乘法、 冪的乘方、積的乘方法則， 具備了類比有理數 運算進行整式運算的知識基礎 .對于整式乘法法則的理解， 不是學生學習的難點， 需要注意的是學生在運用法則進行計算時易混淆對于冪的運算性質法則的應用， 出現(xiàn)計算錯誤，所以應加強訓練，幫助學生提高認識 . 學生的活動經驗基礎： 學生在小學及七年級上的學習中， 受到了較好的運算能力訓練，能夠獨立完成計算活動，并具有一定的將實際問題轉化為數學問題，通過計算解決實際問題的能力 .但是學生在進行計算時往往僅關注對于法則的掌握及應用，對于算理認識不足， 所以教學中要通過設計問題，

4、 讓學生經歷獲得法則的過程，真正理解算理 . 二、教學任務分析： 本節(jié)課的主要教學任務是通過帶領學生解決實際問題， 經歷探索、驗證單項 式乘法運算法則的過程，正確理解法則，并能應用法則進行計算 . 在此過程中要 關注學生理解算理，體會乘法交換律和結合律的作用和轉化的思想 . 教學目標為： 1．知識與技能：在具體情境中了解單項式乘法的意義，理解單項式乘法法 則，會利用法則進行單項式的乘法運算 . 2．過程與方法：經歷探索單項式乘法法則的過程，理解單項式乘法運算的 算理，發(fā)展學生有條理的思考能力和語言表達能力 .

5、3．情感與態(tài)度：體驗探求數學問題的過程，體驗轉化的思想方法，獲得成 功的體驗 . 教學重點：單項式乘法法則及其應用 . 教學難點：理解運算法則及其探索過程 . 三、 教學過程設計： 本節(jié)課共設計了六個環(huán)節(jié)： 溫故育新—實例引入—探索規(guī)律—及時訓練—延 伸拓展—隨堂測評 . 第一環(huán)節(jié)：溫故育新 活動內容： 教師提出問題，引導學生復習冪的運算性質 問題 1：前面學習了哪些冪的運算 ?運算法則分別是什么？ 讓學生分別用語言和字母表示冪的運算性質： （1）同底數冪相乘，底數不變，指數相加 . a m a n

6、a m n （m,n 是正整數） （2）冪的乘方，底數不變，指數相乘 . ( am ) n a mn （ m,n 是正整數） （3）積的乘方等于積中各因數乘方的積 . (ab) n an bn (n 是正整數 ) （4）同底數冪相除，底數不變，指數相減 . a m a n a m n 問題 2：計算下列各題： （ 1） (－a5 ) 5 （ ） － 2 3 (3) ( － 2a) 2 ( － 2 3

7、 (4) ( － n 2 y n-1 活動 2( a b) 3a ) y ) 目的：因為單項式乘法最終落腳于冪的運算 ，所以通過兩個練習幫助學生復習冪 1.2x 米 的運算性質，這是正確進行整式乘法的前提 .問題 1 讓學生從語言和字母兩個方面來敘述冪的運算性質， 是為了進一步加強學生對字母表示數的認識， 增強符號感 .練習 2 的四個小題需要用到冪的三個運算性質，其中第 4 小題含有字母，目 的是通過練習發(fā)現(xiàn)學生易出現(xiàn)的錯誤， 鞏固知識， 為新課的學習做好鋪墊， 有利于幫助學

8、生體會到新舊知識之間的聯(lián)系與轉化 . 實際教學效果： 教學實踐表明， 絕大多數學生能夠較熟練的說出冪的三條運算性質，并會用字母表達 .通過練習發(fā)現(xiàn)學生易混淆同底數冪乘法法則和冪的乘 方法則，不會靈活應用積的乘方法則， 所以學生普遍存在只是死記硬背法則、 不理解算理的現(xiàn)象，出現(xiàn)計算錯誤 .通過教師與學生共同訂正錯誤，使學生的認識有了一定的提高 . 第二環(huán)節(jié)：實例引入： x 米 活動內容 ：提出學生身邊的一個實例，引出問題：七年級三班舉辦新年才藝展示，小明的作品是用同樣大小的紙精心制作的 兩幅剪貼畫， 如右圖所示， 第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同， 第二幅畫的

9、畫面在紙的上、下方各留有 1 x 米的空白 . 8 （1） 第一幅畫的畫面面積是多少平方米？第二幅呢？你是怎樣做的？ （2） 若把圖中的 1.2 x 改為 mx, 其他不變，則兩幅畫的面積又該怎樣表示 呢？ 引導學生認真讀圖，得出第一個畫面的長、寬分別為 1.2 x 米、 x 米，第二 個畫面的長、寬分別為 1.2 x 米、 ( x 1 x 1 x) 米，即 3 x 米，學生利用矩形面積 8 8 4 公式可得到： 第一幅畫的面積是： x (1.2x) ，第二幅畫的面積是： （ 3 x）（1.2x) 4 再 利

10、用 前 面 冪 的 運 算 性 質 ， 學 生 很 容 易 得 出 結 果 x (1.2x) = 1.2x2 ， （ 3 x）（1.2x) = 0.9 x 2 4 接著教師拋出第二個問題， 有了剛才的做題經驗， 學生很容易得到第一幅畫的面積是： x (mx) ，第二幅畫的面積是： （ 3 x）（ mx) . 4 教師引導學生對兩個代數式進行分析： x mx 和（ 3 x）（ mx) ，這是什么運  1

11、x m 8 1 xm 8 4 算？你能表示出最后的結果嗎？ 因為因式都是單項式，學生能夠回答出是單項式乘以單項式的運算 . 進一步追問：什么是單項式？（表示數與字母的積的代數式叫做單項式） 也就是說 x mx 也就是 x m x，根據乘法交換律和結合律， 可以寫成 m ( x x) ，再根據冪的運算 性質可以得出 mx 2 這一結果，即 x (mx) = mx2 . 類比老師的分析， 學生馬上自己動 手探索出（  3  x）（  mx)  = 

12、 3  mx2 ，教師請同學交流自己的思考過程，旨在理解其中 4  4 的算理 . 由此引入新課： 我們知道，整式包括單項式和多項式， 從這節(jié)課起我們就來 研究整式的乘法，先學習單項式乘以單項式 . 活動目的： 以上設計從實際問題出發(fā)，引出了單項式乘法，使學生體會到數 學知識來源于生活，并能解決生活中的問題 . 教師通過不斷地追問，啟發(fā)學生發(fā) 現(xiàn)問題、解決問題，在此過程中展示新知識形成的過程 . 兩個問題的設置體現(xiàn)了 由數到字母的過渡，符合學生的認知規(guī)律 . 教師追問的主要目的是讓學生發(fā)現(xiàn)表 示圖畫面積的式子

13、是兩個單項式的積， 引出本節(jié)課要學習的內容， 再次追問單項 式的定義，目的是讓學生了解單項式是由字母因數和數字因數兩部分組成的， 為 后面概括單項式乘法法則做好鋪墊 . 實際教學效果： 學生在以上探究過程中始終保持積極性，通過獨立思考與合 作交流，較好的完成各項任務 . 實際教學中發(fā)現(xiàn)，個別學生對于單項式的概念還 不很明確，所以此時的復習是非常必要的， 教師可利用實際問題中出現(xiàn)的單項式或者再舉出一些容易混淆的單項式， 讓學生分別說出他們的系數和次數， 特別是對于單項式中字母次數的認識更加重要， 否則學生在單項式乘法的運算中容易出 錯 . 第三環(huán)

14、節(jié)：探索規(guī)律 活動內容： 在剛才的數學活動基礎上，教師再提出以下兩個問題： 問題 1： 3 a2b2 ab3 和（ xyz）y2z 又等于什么？你是怎樣計算的？ 問題 2： 如何進行單項式乘單項式的運算？ 組織學生先獨立思考，再以四人為小組討論， 鼓勵學生大膽發(fā)表自己的見解， 全班共同交流，得出單項式乘法的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、 相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式 . 得出法則后，教師再提出有思維價值的問題， 引導學生對探究的過程進行反思，明確算理，體會數學知識之間的聯(lián)系 . 問

15、題 3：在你探索單項式乘法運算法則的過程中，運用了哪些運算律和運算法則？ 學生回答：運用了乘法的交換律、結合律和同底數冪乘法的運算性質 . 活動目的 ：實際教學中，視學生情況而定，以上三個問題可同時給出，也可 以逐一給出 . 教師通過問題 1，讓學生獨立思考自主探究，經歷知識形成的過程，在探究中發(fā)現(xiàn)和總結出規(guī)律，獲得體驗 . 教師應鼓勵學生靈活運用乘法交換律、結合律和同底數冪的運算性質等知識探索單項式乘單項式的運算法則， 并理解算理，在探究的基礎上運用自己的語言描述單項式乘法的法則 . 這樣設計的主要目的是讓學生理解運算法則及其探索過程， 而不是僅僅背過法則， 使學習知識的過程同時

16、成為提高學生分析和解決問題能力的過程 . 實際教學效果： 學生在解答問題 1 的過程中，能夠利用前面的活動經驗， 但由于學生的認知基礎有差異， 有的學生得出的結果沒有達到最簡， 這樣就出現(xiàn)了不同的結果，此時教師就適時提出討論題，以上結果都對嗎？它們之間有何聯(lián)系？哪種結果是最簡的？進一步幫助學生學會正確利用運算律將結果運算到最 簡 . 實踐證明，問題 3 的設計是非常必要的， 使學生進一步明確計算的理論依據，避免了解題的盲目性，提高認識水平 . 同時也發(fā)現(xiàn)學生運用數學語言表達的能力 還比較弱，在概括法則時語言不夠規(guī)范到位，教師要注意加強滲透. 第四環(huán)節(jié)：及時訓練

17、 活動內容：教師通過例題，使學生明確利用單項式乘法法則進行計算的方法 . 雖然是例題， 但是教師先不講解， 讓學生嘗試獨立完成， 教師根據學生遇到的問 題和出現(xiàn)的錯誤，有針對性地進行講解和板書示范 . 同時教學中應通過恰當的方 式讓學生明確每一步運算的依據 . 例 1 計算： (1) 2xy2 ( 1 xy) (2) 2a 2b3 ( 3a) 3 2 a 2 bc 3 ) ( 3 c5 ) ( 1 ab 2 c) (3) 7xy2 z (2xyz)2 (4)( 3 4 3

18、 以上四個題目分為兩組，先讓學生完成前兩個，安排學生板演，讓學生進行 評價，發(fā)現(xiàn)自己或同伴出現(xiàn)的問題，教師帶領學生進行訂正及示范 . 在總結解題 經驗、明確正確方法的基礎上，再讓學生完成具有較大難度的第 3、4 題 . 在學生充分參與計算、討論活動后 . 教師再提出具有挑戰(zhàn)性的問題：進行單 項式乘法運算的步驟是什么？需要注意什么問題？讓學生反思總結，升華提高， 再有目的的進行練習 . 隨堂練習： 計算： （1） 5x3 2x2 y （ 2） 3ab ( 4b 2 ) （ 3） 3ab 2a

19、（4） yz 2 y 2 z2 （ 5） ( 2x2 y)3 ( 4xy 2 ) （6） 1 a3b 6a5 b2 c ( ac 2 ) 2 3 活動目的：在學習了單項式乘法法則后， 及時通過一組練習幫助學生熟悉法則的應用及每一步的算理， 教師應引導學生總結出運用單項式乘法法則時， 注意以下幾點： (1) 進行單項式乘法，應先確定結果的符號，再把同底數冪分別相乘，這時容易出現(xiàn)的錯誤是將系數相乘與相同字母指數相加混淆； (2) 不要遺漏只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，要將其連同它的指數作為積的一個因式； (3) 單項式乘法法則對于三個以上的

20、單項式相乘同樣適用； (4) 單項式乘以單項式，結果仍為單項式 . 這樣通過練習，不僅使學生掌握了乘法法則， 而且學會反思，積累解題經驗，發(fā)展他們有條理的思考能力 . 實際教學效果： 學生通過練習，能夠較好地把握運用單項式乘法法則進行計 算的方法，在解題過程中，通過合作交流，發(fā)現(xiàn)自己以及同伴出現(xiàn)的解題失誤， 積累了解題經驗，實際教學中，學生對于隨堂練習能夠較順利完成， 正確率較高 . 第五環(huán)節(jié)：拓展延伸 y 2y 活動內容： 讓學生先獨立思考解決，再交流討論 . 衛(wèi)生間 一家住房的結構如圖示，房子的主人打算把臥室 以

21、外的部分全都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地  臥室 x 廚房 4x 2x 客廳 4y 確找到已知線段的長，列出算式，利用單項式乘法、加法法則解決問題，讓學生 學生生活中非常熟悉的問題， 訓練學生從實際問題中獲取和處理信息的能力， 轉？如果某種地磚的價格是 a 元 / 平方米，那么購買所需地磚至少需要多少元？活動目的： 本環(huán)節(jié)主要考查學生運用本節(jié)課知識解決問題的能力 . 這道題是 正 體會到數學知識是解決實際問題的工具 . 實際教學效果 ：對于題目提供

22、的房屋平面圖，多數學生能從圖例中得出有關 邊長的信息，并正確列出算式解題 . 但有部分學生出現(xiàn)計算錯誤，將整式加減法 的合并同類項與乘法混淆，所以適當進行混合運算的練習很必要 . 第六環(huán)節(jié)：隨堂測評 活動內容：讓學生獨立完成 計算： ① 3x 2 5x3 ② ( 5a 2 b) ( 2a2 ) ③ ( 5a n 1b) ( 2a.) ④ (2 x ) 3 ( 2 2 y ) ⑤ 2 3 ) 2 2 y) 3 x (

23、 xy z ( x 活動目的 ：本節(jié)課主要訓練學生的計算能力，必須要求學生能夠明確算理， 準確作答，為下節(jié)課學習單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式打好基礎， 否 則學生在今后的學習中更容易出錯，因此通過一組隨堂鞏固題進行檢測 . 題目在 難度上有一定層次， 覆蓋面較廣，綜合考查學生對于冪的運算性質以及單項式乘 法的應用 課堂小結：利用乘法交換律和結合律及同底數冪的乘法探索出單項式乘以單 項式的運算法則 . 課后作業(yè)： 1. 習題 1.6 m 1 n 2 a 2 n 1 5 3 ，求m n的值 。 2. 拓展探究： 若（a b ） b a b ( ) 四、 教學設計反思： 1 、關注對教學難點的教學 . 新課程標準下， 數學教育的根本任務是發(fā)展學生的思維，教材中的難點往往是數學思維迅速豐富、 過程大步跳躍的地方， 所以在本節(jié)課難點教學中既注意了化難為易的效果， 又注意了化難為易的過程， 在探究法則的過程中設置循序漸進的問題，不斷啟迪學生思考，發(fā)展學生的思維能力， 在應用法則的過程中， 又引導學生進行解題后的反思， 這些將促使學生知識水平 和能力水平同時提高 .