數(shù)學(xué)《預(yù)先定理》教案及教學(xué)反思

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1、 數(shù)學(xué)《 預(yù)先定理》教案及教學(xué)反思 教學(xué)是一種 創(chuàng)造性勞動。寫一份 優(yōu)秀教案是 設(shè)計者教育思想、智慧、 動機(jī)、經(jīng)驗、個性和教學(xué) 藝術(shù)性的綜合體現(xiàn)。下面就是小 編給大家?guī)淼臄?shù)學(xué)《 預(yù)先定理》教案及教學(xué)反思，希望能幫助到大家 ! 教學(xué)設(shè)計 整體設(shè)計 教學(xué)分析 對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通 過向量知 識給予證明的 .一是進(jìn)一步 加深學(xué)生 對向量工具性的 認(rèn)識，二是感受向量法 證明余弦定理的奇妙之 處，感受向量法在 解決問題中的威力 .課后仍鼓勵學(xué)生探究余弦定理的其他

2、證明方法，推出余弦定理后，可 讓學(xué)生用自己的 語言敘述出來，并 讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性 質(zhì)明確：如果一個三角形兩 邊的 平方和等于第三 邊的平方，那么第三 邊所對的角是直角 ;如果小于第三 邊的平方，那么第三邊所對的角是 鈍角 ;如果大于第三 邊的平方，那么第三 邊所對的角是 銳角 .由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣 .還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種 變形式，并 總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解 題時正確選用余弦定理達(dá)到求解、化 簡的目的 . 應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并 結(jié)合正弦定理，可以解決以下 問題：(1) 已知兩邊和它們的夾角解三角形 ;(2) 已知三角形的三

3、 邊解三角形 .在已知兩 邊及其夾角解三角形 時，可以用余弦定理求出第三條 邊，這樣就把問題轉(zhuǎn) 化成已知三 邊解三角形的 問題 .在已知三 邊和一個角的情況下，求另一個角既可以 應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理 .用 余弦定理的另一種形式，可以 (根據(jù)角的余弦 值 )直接判斷角是 銳角還是鈍角，但 計算比較復(fù)雜 .用正弦定理 計算相對比較簡單 ，但仍要根據(jù)已知條件中 邊的大小來確定角的大小 . 根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排 2 課時 .一節(jié)重在余弦定理的推 導(dǎo)及簡單應(yīng) 用，一 節(jié)重在解三角形中兩個定理的 綜合應(yīng)用 . 三維目標(biāo) 1.通過對余弦定理的探究

4、與 證明，掌握余弦定理的另一種形式及其 應(yīng)用 ;了解余弦定理與勾股定理之 間的聯(lián)系 ;知道解三角形 問 題的幾種情形 . 2.通過對三角形 邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué) 語言的表達(dá)能力，并 進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量 積等知識間的關(guān)系，加深 對數(shù)學(xué)具有廣泛 應(yīng)用的認(rèn)識 ;同時通過正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的 變換，認(rèn)識數(shù)學(xué)中的 對稱美、 簡潔美、統(tǒng)一美 . 3.加深對數(shù)學(xué)思想的 認(rèn)識，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分 類討論 思想以 及數(shù)形 結(jié)合思想 ;這些數(shù)學(xué)思想是 對于數(shù)學(xué)知 識的理性的、本 質(zhì)的、高度抽象的、概括的 認(rèn)識，具有普遍的

5、指 導(dǎo)意義，它是我 們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要 組成部分，有利于加深學(xué)生 對具體數(shù)學(xué)知識的理解和掌握 . 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理 ;理解余弦定理的推 導(dǎo)及其另一種形式，并能 應(yīng)用它 們解三角 形 . 教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的 證明及其基本 應(yīng)用以及 結(jié)合正弦定理解三角形 . 課時安排 2 課時 教學(xué)過程 第 1 課時 導(dǎo)入新課 思路 1.( 類比導(dǎo)入 )在探究正弦定理的 證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手， 發(fā) 現(xiàn)了正弦定理 .現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚?這種特殊情形入手，然后將 銳角三角形

6、轉(zhuǎn)化為 直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理 進(jìn)行探索， 這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受  . 思路 2.( 問題導(dǎo)入 )如果已知一個三角形的兩條 邊及其所 夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法， 這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把 這個邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來 呢 ?也就是從已知的兩 邊和它們的夾角能否 計算出三角形的另一 邊和另兩個角呢 ?根據(jù)我 們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如 說向量法，坐 標(biāo)法，三角法，幾何法等， 類比正弦定理的 證明，你能推導(dǎo)出余弦定理 嗎? 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 1 通過對任意三角

7、形中大 邊對大角，小 邊對小角的 邊角量化，我 們發(fā)現(xiàn) 了正弦定理，解決了兩 類解三角形的 問題 .那么如果已知一個三角形的兩條 邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法， 這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形 .怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢 ? 2 能否用平面幾何方法或向量方法或坐 標(biāo)方法等探究出 計算第三邊長的關(guān)系式或計算公式呢 ? 3 余弦定理的內(nèi)容是什么 ?你能用文字 語言敘述它 嗎?余弦定理與以前學(xué) 過的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近 ? 4 余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么 ? 5 余弦定理可以

8、解決哪些 類型的解三角形 問題 ?怎樣求解 ? 6 正弦定理與余弦定理在 應(yīng)用上有哪些 聯(lián)系和區(qū) 別? 活動：根據(jù)學(xué)生的 認(rèn)知特點(diǎn)， 結(jié)合課件“余弦定理猜想與 驗證 ”，教 師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通 過觀察、猜想、 證明而推廣到一般 . 如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角 邊及直角可表示斜 邊，即勾股定理，那么 對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩 邊及夾角來表示第三 邊呢 ?下面，我 們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知 識來研究 這一問題 . 如下圖，在 △ ABC 中，設(shè) BC=a，AC=b，AB=c，試根據(jù) b、 c、 ∠A來表示 a.

9、 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究 .由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形 問題，所以 應(yīng)添加 輔助線構(gòu)成直角三角形 .在直角三角形內(nèi)通 過邊角關(guān)系作 進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作 CD 垂直于 AB 于點(diǎn) D，那么在 Rt△ BDC 中，邊 a 可利用勾股定理通 過 CD、 DB 表示，而 CD 可在 Rt△ ADC 中利用 邊角關(guān)系表示， DB 可利用 AB ，AD 表示， 進(jìn)而在 Rt△ ADC 內(nèi)求解 .探究過程如下： 過點(diǎn) C 作 CD⊥ AB，垂足 為點(diǎn) D，則在 Rt△CDB 中，根據(jù)勾股定理，得 a2=CD2+BD2. ∵在 Rt△ADC 中， CD2=b2

10、-AD2 ， 又∵BD2=(c-AD)2=c2- 2c?AD+AD2， ∴ a2=b2-AD2+c2- 2c?AD+AD2=b2+c2 -2c?AD. 又∵在 Rt△ ADC 中， AD=b?cosA， ∴ a2=b2+c2-2bccosA. 類似地可以 證明 b2=c2+a2-2cacosB. c2=a2+b2-2abcosC. 另外，當(dāng) A 為鈍角時也可證得上述 結(jié)論，當(dāng) A 為直角時，a2+b2=c2 也符合上述 結(jié)論 . 這就是解三角形中的另一個重要定理 —— 余弦定理 .下面類比正弦定理的 證明，用向量

11、的方法探究余弦定理， 進(jìn)一步體會向量知 識的工具性作用 . 教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出 現(xiàn)的，又涉及 邊長問題 ，學(xué)生 很容易想到向量的數(shù)量 積的定義式： a?b=|a||b|cos ，θ其中 θ為 a，b 的夾角 . 用向量法探究余弦定理的具體 過程如下： 如下圖，設(shè) CB→=a，CA→=b ，AB→=c ，那么 c=a-b， |c|2=c?c=(a -b)?(a -b) =a?a+b?b-2a?b =a2+b2-2abcosC. 所以 c2=a2+b2-2abcosC.

12、同理可以 證明 a2=b2+c2-2bccosA ， b2=c2+a2-2cacosB. 這個定理用坐 標(biāo)法證明也比 較容易， 為了拓展學(xué)生的思路，教 師可引導(dǎo)學(xué)生用坐 標(biāo)法證明，過程如下： 如下圖，以 C 為原點(diǎn)， 邊 CB 所在直 線為 x 軸，建立平面直角坐 標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo) 為 (a,0) ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (bcosC，bsinC) ，根據(jù)兩點(diǎn) 間距離公式 AB= bcosC-a 2+ bsinC-0 2 ， ∴ c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C ，整理，得 c2=a2+b2-2abcosC.

13、 同理可以 證明： a2=b2+c2-2bccosA ， b2=c2+a2-2cacosB. 余弦定理：三角形任何一 邊的平方等于其他兩 邊的平方的和減去 這兩邊與它們夾角的余弦的 積的兩倍，即 a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC 余弦定理指出了三角形的三條 邊與其中的一個角之 間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它 們分別是三 角形的三 邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個 量 .從而由三角形的三 邊可確定三角形的三個角，得到余弦定理的另一種形式： cosA=b

14、2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的 結(jié)構(gòu)特征， 發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三 角形的勾股定理在形式上非常接近， 讓學(xué)生比 較并討論它們之間的關(guān)系 .學(xué)生容易看出，若 △ABC 中， C=90，則 cosC=0，這時余弦定理 變?yōu)?c2=a2+b2. 由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣 ;勾股定理是余弦定理的特例 .另外，從余弦定理和余弦函 數(shù)的性 質(zhì)可知，在一 個三角形中，如果兩 邊的平方和 等于第三 邊的平方，那么第三 邊所對的角是直角 ;如果兩邊的平方和小于第

15、三 邊的平方，那么第三 邊所對的角是 鈍角 ;如果兩 邊的平方和大于第三 邊 的平方，那么第三 邊所對的角是 銳角 .從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣 . 應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩 類有關(guān)解三角形的 問題： ① 已知三角形的三 邊解三角形， 這類問題 是三邊確定，故三角也確定，有解 ; ② 已知兩 邊和它們的夾角解三角形， 這類問題 是第三 邊確定，因而其他兩個角也確定，故解 .不會產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所 產(chǎn)生的判斷解的取舍的 問題 . 把正弦定理和余弦定理 結(jié)合起來 應(yīng)用，能很好地解決解三角形的 問題 .教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個定

16、理可解決的 問題類 型會發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三 邊和一個角的情況，而求 另兩角中的某個角 時，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么 這兩種方法哪個會更好 些呢 ?教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦 值直接判斷角是銳角還是鈍角，但 計算比較復(fù)雜 .用正弦定理 計算相對比較簡單 ，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般 應(yīng)該選擇 用正弦定理去 計算比較小的邊所對的角 .教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意 總結(jié)這 種優(yōu)化解題的技巧 . 討論結(jié)果： (1) 、 (2) 、(3) 、(6) 見活動 . (4) 余弦定理的另一種表

17、達(dá)形式是： cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab (5) 利用余弦定理可解決兩 類解三角形 問題： 一類是已知三角形三 邊，另一類是已知三角形兩 邊及其夾角 . 應(yīng)用示例 例 1 如圖，在 △ ABC 中，已知 a=5， b=4 ，∠C=120，求 c. 活動：本例是利用余弦定理解決的第二 類問題 ，可讓學(xué)生獨(dú)立完成 . 解：由余弦定理，得 c2=a2+b2-2abcos120， 因此 c=52+42-254 -12 =61.

18、 例 2 如圖，在 △ ABC 中，已知 a=3， b=2 ，c=19 ，求此三角形各個角的大小及其面 積 .(精確到 0.1) 活動：本例中已知三角形三 邊，可利用余弦定理先求出 邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角， 進(jìn)而求得第三角 .教材中 這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余 弦定理 .實(shí)際 教學(xué)時可讓學(xué)生自己探求解 題思路，比如學(xué)生可能會三次利用余弦定理分 別求 出三個角，或先求出最小 邊所對的角再用正弦定理求其他角， 這些教師都要給予鼓勵，然后讓學(xué)生自己比 較這些方法的不同或 優(yōu)劣，從而深刻理解兩個定理的 . 解：由余弦定理，

19、得 cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22- 19 2232=9+4-1912=-12， 因此 ∠BCA=120， 再由正弦定理，得 sinA=asin ∠BCAc=33219=33219≈0.596 0， 因此 ∠A≈36.6或∠A≈143.4 (不合 題意，舍去 ). 因此 ∠B=180-∠A-∠BCA≈23.4 . 設(shè) BC 邊上的高 為 AD ，則 AD=csinB=19sin23.4 ≈ 1.73. 所以 △ABC 的面積≈1231.73 ≈2.6. 點(diǎn)評：在既可 應(yīng)用正弦

20、定理又可 應(yīng)用余弦定理 時，體會兩種方法存在的差異 .當(dāng)所求的 角是鈍角時，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理 則不能直接判定 . 變式訓(xùn)練 在△ ABC 中，已知 a=14， b=20 ， c=12 ，求 A、 B 和 C.(精確到 1) 解： ∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-14222012=0.725 0 ， ∴A≈44. ∵ cosC=a2+b2-c22ab=142+202- 12221420=113140≈0.807 1， ∴C≈36. ∴ B=180-(A+C)≈180-(44

21、+36)=100. 例 3 如圖，△ ABC 的頂點(diǎn)為 A(6,5) ， B(-2,8) 和 C(4,1) ，求 ∠A.(精確到 0.1 ) 活動：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐 標(biāo)的形式 給出的，點(diǎn) 撥學(xué)生利用兩點(diǎn) 間距離公式先求出三 邊，然后利用余弦定理求出 ∠A可.由學(xué)生自己解決，教 師給予適當(dāng)?shù)闹?導(dǎo) . 解：根據(jù)兩點(diǎn) 間距離公式，得 AB=[6- -2 ]2+ 5-8 2=73 ， BC= -2-4 2+ 8-1 2=85 ， AC= 6-4 2+ 5-1 2=25. 在△ ABC 中，由余弦定理，

22、得 cosA=AB2+AC2- BC22AB?AC=2365≈0.104 7 ， 因此 ∠A≈84.0 . 點(diǎn)評：三角形三 邊的長作為中間過程，不必算出精確數(shù) 值. 變式訓(xùn)練 用向量的數(shù)量 積運(yùn)算重做本例 . 解：如例 3 題圖， AB→=( -8,3) ，AC→=( -2 ， -4) ， ∴ |AB→|=73， |AC→|=20. ∴ cosA=AB→?AC→|AB→||AC →| =-8 -2 +3 -4 7320 =2365≈0.104 7. 因此 ∠A≈84.0 .

23、 例 4 在△ ABC 中，已知 a=8 ，b=7 ， B=60，求 c 及 S△ ABC. 活動：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角 A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角 C， 再利用正弦定理求出 邊 c，而三角形面 積由公式 S△ ABC=12acsinB 可以求出 .若用余弦定理 求 c，可利用余弦定理 b2=c2+a2-2cacosB 建立關(guān)于 c 的方程，亦能達(dá)到求 c 的目的 . 解法一：由正弦定理，得 8sinA=7sin60 ， ∴ A1=81.8，A2=98.2. ∴ C1=38.2，C2=21.8. 由 7sin60

24、=csinC，得 c1=3 ， c2=5， ∴S△ ABC=12ac1sinB=63 或 S△ABC=12ac2sinB=103. 解法二：由余弦定理，得 b2=c2+a2-2cacosB ， ∴ 72=c2+82-2 8ccos60. 整理，得 c2-8c+15=0 ， 解之，得 c1=3， c2=5. ∴S△ABC=12ac1sinB=63 或 S△ ABC=12ac2sinB=103. 點(diǎn) ：在解法一的思路里， 注意用正弦定理 應(yīng) 有兩種 果，避免 遺 漏;而解法二更有耐人 味之處 ，體 出余弦定

25、理作 為 公式而直接 用的另外用 處 ，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的 觀 點(diǎn)去解決，故解法二 應(yīng) 引起學(xué)生的注意 . 合上述例 題 ，要求學(xué)生 總結(jié) 余弦定理在求解三角形 時 的適用范 圍 ;已知三 邊 求角或已知兩 及其夾 角解三角形，同 時 注意余弦定理在求角 時 的 以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩 及一角解三角形可用余弦定理解之 . 式訓(xùn)練 在△ ABC 中，內(nèi)角 A，B， C 對邊 的 邊長 分 是 a， b，c.已知 c=2 ，C=60. (1) 若 △ ABC 的面 等于 3，求 a， b; (2)

26、若 sinB=2sinA ，求 △ ABC 的面 積. 解： (1) 由余弦定理及已知條件，得 a2+b2-2abcos60=c2 ，即 a2+b2-ab=4 ， 又因 △ ABC 的面 積 等于 3，所以 12absinC=3 ，ab=4. 立方程 組 a2+b2-ab=4 ，ab=4 ，解得 a=2 ，b=2. (2) 由正弦定理及已知條件，得 b=2a ， 立方程 組 a2+b2-ab=4 ，b=2a ，解得 a=233 ，b=433. 所以 △ABC 的面 積 S=12absinC=233. 知能訓(xùn)練

27、 1.在 △ABC 中，已知 C=120，兩 邊 a 與 b 是方程 x2-3x+2=0 的兩根， 則 c 的 ? ( ) A.3 B.7 C.3 D.7 2.已知三角形的三 邊長 分 別為 x2+x+1 ，x2-1,2x+1(x>1) ，求三角形的角 . 答案： 1.D 解析：由 題意，知 a+b=3 ， ab=2. 在△ ABC 中，由余弦定理，知 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab =(a+b)2-ab =7， ∴ c=7. 2.解：比

28、 較得知， x2+x+1 為三角形的 邊，設(shè)其對角為 A. 由余弦定理，得 cosA= x2-1 2+ 2x+1 2- x2+x+1 22 x2-1 2x+1 =-12. ∵0 即三角形的角 為 120. 課堂小結(jié) 1.教師先讓學(xué)生回 顧本節(jié)課的探究過程，然后再 讓學(xué)生用文字 語言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其 實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回 顧可用余弦定理解決哪些解三角形的 問題 . 2.教師指出：從方程的 觀點(diǎn)來分析，余弦定理的每一個等式都包含了四個不同的量， 知道其中三個量，便可求得第四個量 .要通

29、過課下作業(yè)，從方程的角度 進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的 . 3.思考本 節(jié)學(xué)到的探究方法，定性 發(fā)現(xiàn) →定量探 討 →得到定理 . 作業(yè) 課本習(xí)題 1— 1A 組 4、5、 6;習(xí)題 1—1B 組 1～ 5. 設(shè)計感想 本教案的 設(shè)計充分體 現(xiàn)了“民主教學(xué)思想 ”，教 師不主觀、不武斷、不包 辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問題 ，合作探究，使學(xué)生真正成 為學(xué)習(xí)的主體，力求在 課堂上人人都會有 “令你自己滿意”的探究成果 .這樣能夠不同程度地開 發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延 伸. “發(fā)現(xiàn) 法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案 設(shè)計是從

30、直角三角形出 發(fā)，以歸納 —— 猜想 — —證明—— 應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)?問題通過啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把 規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展 現(xiàn)的過程合情合理，自然流 暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的 發(fā)揮 . 縱觀本教案 設(shè)計流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體 現(xiàn)新課程理念，能 較好地完成三 維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn) 難點(diǎn)也把握得恰到好 處 .環(huán)環(huán)相扣的 設(shè)計流程會 強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動地獲取知識，使學(xué)生的探究欲望及精神狀 態(tài)始終處于狀態(tài).在整個教案 設(shè)計中學(xué)生的思維活動量大， 這是貫穿整個教案始 終的一條主 線，也應(yīng)是實(shí)際課 堂教學(xué)中的一條主 線.

31、 備課資料 一、與解三角形有關(guān)的幾個 問題 1.向量方法 證明三角形中的射影定理 如圖，在 △ABC 中，設(shè)三內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別是 a、 b、c. ∵AC→+CB→=AB→ ， ∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→. ∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→. ∴ |AC→|2+|AC →||CB →|cos(180-C)=|AB→||AC →|cosA. ∴ |AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA. ∴b-acosC=ccosA， 即 b=ccos

32、A+acosC. 同理，得 a=bcosC+ccosB， c=bcosA+acosB. 上述三式稱 為三角形中的射影定理 . 2.解斜三角形 題型分析 正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素，如果其中三個元素是已知的 ( 其中至少有一個元素是 邊 )，那么 這個三角形一定可解 . 關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所 給的條件及適用的定理可以 歸納為 下面四種 類型： (1) 已知兩角及其中一個角的 對邊，如 A、 B、a，解 △ ABC. 解： ① 根據(jù) A+B+C=π ，求出角 C; ② 根據(jù) as

33、inA=bsinB 及 asinA=csinC ，求 b、c. 如果已知的是兩角和它 們的夾邊，如 求解 .求解過程中盡可能 應(yīng)用已知元素 .  A、 B、c，那么先求出第三角  C，然后按照 ② 來 (2) 已知兩 邊和它們的夾角，如  a、b、 C，解 △ABC. 解： ① 根據(jù)  c2=a2+b2-2abcosC  ，求出 邊  c; ② 根據(jù)  cosA=b2+c2-a22bc  ，求出角  A;

34、 ③ 由  B=180-A-C，求出角  B. 求出第三 邊 c 后，往往 為了計算上的方便， 應(yīng)用正弦定理求角，但 為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對的角 (它一定是 銳角 ) ，當(dāng)然也可以用余弦定理求解 . (3) 已知兩 邊及其中一條 邊所對的角，如 a、 b、 A，解 △ ABC. 解： ①asinA=bsinB ，經(jīng)過討論 求出 B; ② 求出 B 后，由 A+B+C=180 ，求出角 C; ③ 再根據(jù) asinA=csinC ，求出 邊 c. (4) 已知三 邊 a、b、 c，解

35、 △ABC. 解：一般 應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由 A+B+C=180 ，求出第三個角 . 另外，和第二種情形完全一 樣，當(dāng)?shù)谝粋€角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個角，但仍然需注意要先求 較小邊所對的銳角. (5) 已知三角，解 △ ABC. 解：滿足條件的三角形可以作出無 窮多個，故此 類問題 解不 . 3. “可解三角形 ”與 “需解三角形 ” 解斜三角形是三角函數(shù) 這章中的一個重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何 問題的一個重要工具 .但在具體解 題時，有些同學(xué)面 對較為 復(fù)雜( 即圖中三角形不止一個 )的斜三角形問題，往往

36、不知如何下手 .至于何 時用正弦定理或余弦定理也是心中無數(shù)， 這既延長了思考時間 ，更影響了解 題的速度和 質(zhì)量 .但若明確了 “可解三角形 ”和 “需解三角形 ”這 兩個概念，則情形就不一 樣了 . 所謂 “可解三角形 ”，是指已 經(jīng)具有三個元素 ( 至少有一 邊 )的三角形 ;而“需解三角形 ”則是指需求 邊或角所在的三角形 .當(dāng)一個 題目的圖形中三角形個數(shù)不少于兩個 時，一般來 說其中必有一個三角形是可解的，我 們就可先求出 這個“可解三角形 ”的某些 邊和角，從而使 “需解三角形 ”可解 .在確定了 “可解三角形 ”和 “需解三角形 ”后，就要正確地判斷它 們的類型，合理地選擇正

37、弦定理或余弦定理作 為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況 . “可解三角形 ”和“需解三角形 ”的引入，能 縮短求解斜三角形 問 題的思考 時間 .一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底 .分析問題的思路也從 “試試 看”“做做看 ”等不大確定的狀 態(tài)而變?yōu)?“有的放矢 ”地去挖掘，去探究 . 二、備用習(xí)題 1.△ ABC 中，已知 b2-bc-2c2=0 ，a=6 ，cosA=78 ，則△ ABC 的面積 S 為 ( ) A.152 B.15 C.2 D.3 2.已知一個三角形的三 邊為 a、b 和 a2+b2+ab

38、，則這個三角形的角是 ( ) A.75B.90 C.120 D.150 3.已知銳角三角形的兩 邊長為 2 和 3，那么第三 邊長 x 的取值范圍是 ( ) A.(1,5) B.(1 ， 5) C.(5，5) D.(5 ， 13) 4.如果把直角三角形的三 邊都增加同 樣的長度，則這個新三角形的形狀 為 ( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.由增加的 長度確定 5.(1) 在△ ABC 中， a，b， c 分別是角 A，B，C 所對的邊，已知 a=3，b=3 ，C=30， 則 A=_____

39、_____. (2) 在 △ ABC 中，三個角 A， B，C 的對邊邊長 分別為 a=3， b=4， c=6 ，則 bccosA+cacosB+abcosC 的值為 __________. 6.在 △ABC 中，若 (a+b+c)(a+b-c)=3ab ，并且 sinC=2sinBcosA ，試判斷 △ ABC 的形狀 . 7.在 △ABC 中，設(shè)三角形面 積為 S，若 S=a2-(b -c)2 ，求 tanA2 的值. 參考答案： 1.A 解析：由 b2-bc-2c2=0 ，即 (b+c)(b-2c)=0 ，得 b=2c; ①

40、 由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA ，即 6=b2+c2- 74bc. ② 解①② ，得 b=4， c=2. 由 cosA=78 ，得 sinA=158 ， ∴S△ ABC=12bcsinA=1242158=152. 2.C 解析： 設(shè)角為 θ，由余弦定理，得 a2+b2+ab=a2+b2- 2abcosθ， ∴ cosθ=-12. ∴θ =120. 3.D 解析：若 x 為邊，由余弦定理，知 4+9-x22 23>0，即 x2<13 ， ∴0 若 x 為最小邊，則由余弦定理知 4+x

41、2-9>0 ，即 x2>5 ，∴x>5綜.上，知 x 的取值范圍是 5 4.A 解析：設(shè)直角三角形的三 邊為 a，b， c，其中 c 為斜邊，增加 長度為 x. 則 c+x 為新三角形的最 長邊 .設(shè)其所對的角為 θ，由余弦定理知， cosθ= a+x 2+ b+x 2- c+x 22 a+x b+x =2 a+b- c x+x22 a+x b+x >0. ∴θ為銳 角，即新三角形 為銳角三角形 . 5.(1)30 (2)612 解析： (1) ∵a=3，b=3 ， C=30，由余弦定理，有 c2=a2+b2-2abcosC=

42、3+9-23332=3， ∴ a=c，則 A=C=30. (2) ∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22 =a2+b2+c22=32+42+622=612. 6.解：由正弦定理，得 sinCsinB=cb ， 由 sinC=2sinBcosA ，得 cosA=sinC2sinB=c2b ，又根據(jù)余弦定理，得 cosA=b2+c2-a22bc ， 故 c2b=b2+c2-a22bc ，即 c2=b2+c2-a2. 于是，得 b2=a2 ，故 b=a. 又因為(a

43、 +b+c)(a+b-c)=3ab ， 故 (a+b)2-c2=3ab. 由 a=b ，得 4b2-c2=3b2 ，所以 b2=c2 ，即 b=c.故 a=b=c. 因此 △ABC 為正三角形 . 7.解： S=a2-(b-c)2 ，又 S=12bcsinA ， ∴ 12bcsinA=a2-(b-c)2 ， 有 14sinA=- b2+c2-a2 2bc+1 ， 即 14?2sinA2?cosA2=1 -cosA. ∴ 12?sinA2?cosA2=2sin2A2. ∵ sinA2 ≠0，故 12

44、cosA2=2 sinA2 ，∴tanA2=14. 第 2 課時 導(dǎo)入新課 思路 1.( 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 )讓學(xué)生回 顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回 顧上兩節(jié)課所解決的解三角形 問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并 結(jié)合三角、向量、幾何等知識我們會探究出什么 樣的解題規(guī)律呢 ?由此展開新 課 . 思路 2.( 問題導(dǎo)入 )我們在應(yīng)用正弦定理解三角形 時，已知三角形的兩 邊及其一 邊的對角往往得出不同情形的解，有 時有一解，有 時有兩解，有 時又無解， 這究竟是怎么回事呢本節(jié)課我們從一般情形入手， 結(jié)合圖形對這一問題進(jìn) 行進(jìn)一步的探究，由此展開新 課

45、.  ? 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 1 回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語言敘述其內(nèi)容 . 能寫出定理的哪些 變式 ? 2 正、余弦定理各適合解決哪 類解三角形 問題 ? 3 解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性 質(zhì)還有哪些 ? 4 為什么有 時解三角形會出 現(xiàn)矛盾，即無解呢 ?比如： , ①已知在 △ ABC 中， a=22 cm ，b=25 cm ， A=135 ，解三角形 ;, ②已知三條 邊分別是 3 cm ，4 cm ， 7 cm，解三角形 .

46、活動：結(jié)合課件、幻燈片等，教 師可把學(xué)生分成幾 組互相提 問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么 ?各式中有幾個量 ?有什么作用 ?用方程的思想寫出所有的 變形 (包括文字?jǐn)⑹?)， 讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形 類型問題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等 .可讓學(xué)生填寫下表中的相關(guān)內(nèi)容： 解斜三角形 時可 用的定理和公式 適用類型 備注 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC (1) 已知三 邊 (2) 已知兩 邊及其夾角

47、 類型 (1)(2) 有解時只有一解正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R (3) 已知兩角和一 邊 (4) 已知兩 邊及其中一 邊的對角 類型(3) 在有解 時只有一解， 類型(4) 可有兩解、一解或 無解 三角形面 積公式 S=12bcsinA =12acsinB =12absinC (5) 已知兩 邊及其夾角 對于正弦定理，教 師引導(dǎo)學(xué)生寫出其 變式： a=2RsinA ， b=2RsinB ，c=2RsinC，利用幻燈片更能直 觀地看出解三角形 時的邊角互化 .對于余弦定

48、理，教 師要引導(dǎo)學(xué)生寫出其 變式 ( 然后教 師打出幻燈片 )：∠ A>90 ?a2>b2+c2; ∠ A=90 ?a2=b2+c2; ∠ A<90 ?a2 以上內(nèi)容的復(fù) 習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有 雜亂無章、無 規(guī)碰撞之感， 覺得好像更難以把握了，要的就是 這個效果，在看似學(xué)生亂提亂 問亂說亂寫的時候，教 師適時地打出幻燈片 (1 張 )，立即收到耳目一新，主 線立現(xiàn)、心中明朗的感 覺，幻燈片除以上 2 張外，還有： asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA ， b2=a2+c2-2accosB ，c2=a2+b2-2abco

49、sC;cosA=b2+c2-a22bc ， cosB=a2+c2-b22ac ，cosC=a2+b2-c22ab. 出示幻燈片后，必要 時教師可根據(jù)學(xué)生的 實(shí)際情況略作點(diǎn) 評 . 與學(xué)生一起 討論解三角形有 時會出現(xiàn)無解的情況 .如問題 (4) 中的 ① 會出現(xiàn)如下解法： 根據(jù)正弦定理， sinB=bsinAa=25sin133 22≈0.831 1. ∵ 0 于是 C=180-(A+B)≈180-(133 +56.21 )=-9.21 或 C=180-(A+B)≈180-(133 +123.79 )=-76.79 . 到這里

50、我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出 負(fù)角來， 顯然是錯誤的.問題出在哪里呢 ?在檢驗以上計算無誤的前提下，教 師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件 .由 a=22 cm ，b=25 cm ，這里 a 討論結(jié)果： (1) 、 (3) 、(4) 略. (2) 利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形 問題： ① 已知兩角和任一 邊，求其他兩 邊和一角 . ② 已知兩 邊和其中一 邊的對角，求另一 邊的對角( 從而進(jìn)一步求出其他的 邊和角 ). ③ 已知三 邊，求三個角 . ④ 已知兩 邊和夾角，求第三 邊和其他兩角 . 應(yīng)用示例

51、 例 1 在△ ABC 中，角 A、 B、C 所對的邊分別為 a、 b、c，b=acosC 且△ ABC 的邊長為 12 ，最小角的正弦 值為 13. (1) 判斷 △ ABC 的形狀 ; (2) 求 △ ABC 的面積 . 活動：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通 過本例帶動正弦定理、余弦定理的知 識串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件 b=acosC，這是本例中的關(guān) 鍵條件 .很顯然，如果利用正弦定理 實(shí)現(xiàn)邊 角轉(zhuǎn)化， 則有 2RsinB=2RsinA?cosC. 若利用余弦定理 實(shí)現(xiàn)邊 角轉(zhuǎn)化，則有 b=a?a2+b2 -c22ab ，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我 們常用的 .引導(dǎo)學(xué)生注

52、意 對于涉及三角形的三角函數(shù) 變換 .內(nèi)角和定理 A+B+C=180 非常重要，常 變的角有 A2+B2= π2-C2， 2A+2B+2C=2 π， sinA=sin(B+C) ， cosA=-cos(B+C) ， sinA2=cosB+C2 ，cosA2=sinB+C2 等，三個內(nèi)角的大小范 圍都不能超出 (0 ， 180 ). 解： (1) 方法一： ∵b=acosC， ∴由正弦定理，得 sinB=sinA?cosC. 又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC， 即 cosA?sinC=0. 又∵A、 C∈

53、(0， π)， ∴cosA=0，即 A=π2. ∴△ ABC 是 A=90的直角三角形 . 方法二： ∵b=acosC， ∴由余弦定理，得 b=a?a2+b2 -c22ab ， 2b2=a2+b2-c2 ，即 a2=b2+c2. 由勾股定理逆定理，知 △ABC 是 A=90的直角三角形 . (2) ∵△ABC 的邊長為 12 ，由 (1) 知斜邊 a=12. 又∵△ABC 最小角的正弦 值為 13 ， ∴ Rt△ ABC 的最短直角 邊長為 1213=4. 另一條直角 邊長為 122-42=

54、82 ， ∴S△ ABC=12482=162. 點(diǎn)評：以三角形 為載體，以三角 變換為核心， 結(jié)合正弦定理和余弦定理 綜合考 查邏輯分析和 計算推理能力是高考命 題的一個重要方向 .因此要特 別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用 . 變式訓(xùn)練 在△ ABC 中，角 A、 B、C 所對的邊分別是 a、 b、c，且 cosA=45. (1) 求 sin2B+C2+cos2A 的值; (2) 若 b=2 ， △ABC 的面積 S=3，求 a. 解： (1)sin2B+C2+cos2A=1-cos B+C

55、2+cos2A =1+cosA2+2cos2A-1=5950. (2) ∵cosA=45， ∴sinA=35. 由 S△ ABC=12bcsinA 得 3=122c35，解得 c=5. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA ，可得 a2=4+25-22545=13， ∴ a=13. 例 2 已知 a，b， c 是 △ABC 中 ∠A， ∠B，∠C的對邊 ，若 a=7 ，c=5 ，∠A=120，求 邊 長 b 及 △ABC 外接圓半徑 R. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有 邊有角，可由余弦定理先

56、求出 邊 b，然后利用 正弦定理再求其他 .點(diǎn)撥學(xué)生注意體會 邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用 . 解：由余弦定理，知 a2=b2+c2-2bccosA ，即 b2+52-25bcos120=49 ， ∴b2+5b-24=0. 解得 b=3.( 負(fù)值舍去 ). 由正弦定理： asinA=2R ，即 7sin120 =2R，解得 R=733. ∴△ ABC 中， b=3 ，R=733. 點(diǎn)評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解并探究其他的解 題思路 .  邊 b，讓學(xué)生體會 這種解題方法， 變

57、式訓(xùn)練 設(shè)△ ABC 的內(nèi)角 A， B，C 的對邊分別為 a，b， c.已知 b2+c2=a2+3bc ，求： (1)A 的大小 ; (2)2sinB?cosC -sin(B-C) 的值. 解： (1) 由余弦定理，得 cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32 ， ∴∠ A=30. (2)2sinBcosC-sin(B-C) =2sinBcosC- (sinB?cosC-cosBsinC) =sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sinA =12.

58、 例 3 如圖，在四邊形 ABCD 中， ∠ADB=∠BCD=75，∠ACB=∠BDC=45，DC=3，求： (1)AB  的長 ; (2) 四邊形  ABCD  的面積. 活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活 應(yīng)用，結(jié)合三角形面 積求解， 難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會正、余弦定理 結(jié)合三角形面 積的綜合應(yīng)用 . 解： (1) 因為∠BCD=75， ∠ACB=45，所以 ∠ACD=30. 又因為∠BDC=45， 所以 ∠DAC=180-(75 + 45 + 30

59、 )=30.所以 AD=DC=3. 在△ BCD 中， ∠CBD=180-(75 + 45 )=60， 所以 BDsin75=DCsin60，BD =3sin75 sin60 =6+22. 在△ ABD 中， AB2=AD2+ BD2-2ADBDcos75=(3)2+(6+22)2-2 36+226-24= 5，所以 AB=5. (2)S △ABD=12ADBDsin75 =1236+226+24=3+234. 同理， S△ BCD=3+34. 所以四邊形 ABCD 的面積 S=6+334. 點(diǎn)評：本例解答 對運(yùn)算能力提出了 較

60、高要求，教 師應(yīng)要求學(xué)生 “列式工整、算法 簡潔 、運(yùn)算正確 ”，養(yǎng)成 規(guī)范答題的良好 習(xí)慣 . 變式訓(xùn)練 如圖，△ ACD 是等邊三角形， △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ACB=90， BD 交 AC 于 E， AB=2. (1) 求 cos∠CBE的值 ; (2) 求 AE. 解： (1) 因為∠BCD=90+60=150， CB=AC=CD， 所以 ∠CBE=15. 所以 cos∠CBE=cos(45-30 )=6+24. (2) 在 △ ABE 中， AB=2， 由正弦定理，得 AEsi

61、n 45-15 =2sin 90+15 ， 故 AE=2sin30cos15=2126+24=6-2. 例 4 在△ ABC 中，求 證： a2sin2B+b2sin2A=2absinC. 活動：此題所證結(jié)論 包含關(guān)于 △ ABC 的邊角關(guān)系， 證明時可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通 過正弦定理 轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式 則通過余弦定理 ;二是把 邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通 過正弦定理 .另外，此 題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式， 如 sin2B=2sinBcosB 等，以便在化 為角的關(guān)系 時進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等 變形

62、 . 證法一： (化為三角函數(shù) ) a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB +cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC. 所以原式得 證 . 證法二： (化為邊的等式 ) 左邊 =a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2 -b22ac+b2?2a2R?b2+c2 - a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2- a2

63、)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC. 點(diǎn)評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的 變形式： a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC， 在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此 題用到了正弦二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA ，正弦兩角和公式 sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB; 由角向 邊轉(zhuǎn)化，要 結(jié)合正弦定理 變形式以及余弦定理形式二 . 變 式訓(xùn)練 在△ ABC 中，求 證： (1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C; (2)a2+b2+c2=

64、2(bccosA+cacosB+abcosC). 證明： (1) 根據(jù)正弦定理，可 設(shè) asinA=bsinB= csinC= k ， 顯然 k≠0，所以 左邊 =a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C= 右邊. (2) 根據(jù)余弦定理，得 右邊 =2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab) =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2= 左邊 . 知

65、能訓(xùn)練 1.已知 △ ABC 的三個內(nèi)角 A、 B、 C 所對的三邊分別為 a、 b、 c.若 △ ABC 的面 積 S=c2- (a-b)2 ，則 tanC2 等于 ( ) A.12 B.14 C.18 D.1 2.在 △ABC 中，角 A、B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，且滿足 4sin2A+C2-cos2B=72. (1) 求角 B 的度數(shù) ; (2) 若 b=3 ， a+c=3，且 a>c，求 a、 c 的值. 答案： 1.B 解析：由余弦定理及面 積公式，得 S=c2-a2-b2+2ab=-

66、2abcosC+2ab=12absinC ， ∴1-cosCsinC=14. ∴ tanC2=1-cosCsinC=14. 2.解： (1) 由題意，知 4cos2B-4cosB+1=0 ， ∴cosB=12. ∵0 (2) 由余弦定理，知 3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac ， ∴ ac=2. ① 又∵a+c=3， ② 解①② 聯(lián)立的方程 組，得 a=2， c=1 或 a=1， c=2. ∵ a>c，∴a=2，c=1. 課堂小結(jié) 教師與學(xué)生一起回 顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形 問題，特別是已知兩 邊及其一 邊的對角時解的情況，通 過例題及變式訓(xùn)練，掌握