阻尼和固有頻率的測量

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1、阻 尼 系 數(shù) 和 固 有 頻 率的 測 量 8.1 阻 尼 系 數(shù) 的 測 量8.1.1 自 由 振 動 衰 減 法 圖 1 單 自 由 度 系 統(tǒng) 模 型圖 1所 示 的 一 個 單 自 由 度 質 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) ， 其 質 量 為 m (kg)， 彈 簧 剛 度 系數(shù) 為 k (N/m)， 粘 性 阻 尼 系 數(shù) 為 r (N. m /s)。 當 質 量 上 承 受 初 始 條 件 t=0時 ， 位移 ， 速 度 激 勵 時 ， 將 做自 由 衰 減 振 動 。 在 弱 阻 尼 條 件 下 其 位 移 響應 為 衰 減 系 數(shù) （ 1） 響 應 曲 線 如 圖 2所 示

2、 。 結 論 ： 為 衰 減 振 動 的 周 期 ， 為 衰 減 振 動 的頻 率 ， 為 衰 減 振 動 的 圓 頻 率 。 圖 2 弱 阻 尼 衰 減 振 動 的 響 應 曲 線 從 圖 2衰 減 振 動 的 響 應 曲 線 上 可 直 接 測 量 出 ， 然 后 根據(jù) 可 計 算 出 n ； 計 算 出 p； 可 計 算 出 計 算 出 r； 計 算 出 無 阻 尼 時 系 統(tǒng) 的 固 有 頻 率 ； 計 算 出 無 阻 尼 時 系 統(tǒng) 的 固 有 周 期對 于 衰 減 系 數(shù) n， 可 以 用 三 種 方 法 來 計 算 ：1、 由 相 鄰 的 正 逢 （ 或 相 鄰 的 負 峰 ）

3、幅 值 比 計 算 2、 由 相 鄰 的 峰 -峰 幅 值 比 計 算3、 小 阻 尼 情 況 適 用 公 式 8.1.2 半 功 率 點 法圖 3所 示 為 一 個 單 自 由 度 質 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) 強 迫 振 動 模 型 。 其 質 量 為 m(kg)，彈 簧 剛 度 系 數(shù) 為 k (N/m)， 粘 性 阻 尼 系 數(shù) 為r (N. m /s)。 質 量 m上 承 受 簡 諧 激 振 力 作 用 。 其 強 迫 振 動 的 位 移響 應 為 圖 3 單 自 由 度 系 統(tǒng) 模 型 引 入 符 號則 有 上 式 中 ， 相 當 于 激 振 力 的 最 大 幅 值 靜 止

4、地 作 用 在 彈 簧 上 所 引起 的 彈 簧 靜 變 形 ； 稱 為 頻 率 比 ； 稱 為 放 大 因 子 ， 以 為 橫 坐 標 ， 為 縱 坐 標 ， 對 于 不 同 的 值 所 得 到 的 一 組 曲 線 ， 稱 為 幅 頻 響 應 曲線 ， 如 圖 4所 示 （ 圖 中 只 給 出 了 一 種 值 ） ； 為 位 移 響 應 滯 后力 的 相 位 角 ， 以 為 橫 坐 標 ， 為 縱 坐 標 ， 對 于 不 同 的 值 所 得到 的 一 組 曲 線 ， 稱 為 相 頻 響 應 曲 線 ， 如 圖 5所 示 。 圖 4 強 迫 振 動 幅 頻 響 應 曲 線 圖 5 強 迫 振

5、動 相 頻 響 應 曲 線 在 幅 頻 響 應 曲 線 中 ， 當 時 ， ； 當 時 ， 其 最大 值 。 在 圖 中 作 一 條 水 平 線 ， 其 縱 坐 標 為 ， 與 曲 線 交 于 兩 點 ， 該 兩 點 稱 為 半 功 率 點 ， 兩 點 之 間 的 距 離 為 圖 4 強 迫 振 動 幅 頻 響 應 曲 線 8.1.3 共 振 法強 迫 振 動 的 位 移 響 應 為速 度 響 應 為速 度 幅 值 為取 得 極 值 的 條 件 為 ， 即 當 時 ， 系 統(tǒng) 發(fā) 生 速 度 共 振 ， 。 此 時 相 位 差 ， 即 速 度 響 應 與 激 振 力 之 間 的 相 位 差 為

6、 0； 阻 尼 力 ， 即 激 振 力 所 作 的 功 全 部 被 阻 尼 所 消 耗 。 故 有 系 統(tǒng) 發(fā) 生 速 度 共 振 時 ， 因 此 ， 只 要 測 量 系 統(tǒng) 發(fā) 生 速 度 共 振 時 的 速 度 幅 值 和 激 振 力幅 值 ， 即 可 計 算 出 阻 尼 系 數(shù) ， 并 根 據(jù) 算 出 衰 減系 數(shù) ， 算 出 相 對 阻 尼 系 數(shù) 。 也 可 利 用 示 波 器 力 與 速 度 的 圖 像 來 測 量 阻尼 系 數(shù) 。 如 圖 6所 示 ， 將 力 信 號 接 入 示 波 器 的 x 軸 ， 速 度 信 號 接 入 示 波 器 的 y 軸 ， 兩 通 道 的 放大 倍

7、 數(shù) 調(diào) 成 一 致 ， 因 二 者 之 間 的 相 位 差 為 0，故 形 成 圖 示 的 直 線 ， 該 直 線 的 斜 率 即 為 阻 尼 系數(shù) ， 即 圖 6 共 振 法 測 阻 尼 的 圖 像 若 x軸 接 入 的 是 位 移 信 號 ， 則 形 成 的 圖 像 為 正 橢 圓 ， 橢 圓與 x、 y軸 的 交 點 即 為 和 。 據(jù) 此 也 可 測 出 阻 尼 系 數(shù) 8.2 固 有 頻 率 的 測 量8.2.1 自 由 振 動 衰 減 法系 統(tǒng) 的 固 有 頻 率 是 指 系 統(tǒng) 無 阻 尼 時 自 由 振 動 的 頻 率 ， 即 。對 圖 1所 示 的 單 自 由 度 質 量

8、-彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) ， 當 受 初 始 擾 動 后 ， 其 自 由 振 動的 衰 減 曲 線 如 圖 2所 示 。 在 曲 線 上 可 直 接 測 量 并 計 算 出 衰 減 的 周 期 ， 衰 減系 數(shù) 、 相 對 阻 尼 系 數(shù) ， 因 而 有 圖 1 單 自 由 度 系 統(tǒng) 模 型 圖 2 弱 阻 尼 衰 減 振 動 的 響 應 曲 線 8.2.1 速 度 共 振 的 相 位 判 別 法 圖 3 單 自 由 度 系 統(tǒng) 模 型 圖 3所 示 為 一 個 單 自 由 度質 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) 強 迫 振動 模 型 。位 移 響 應 為幅 值 B取 得 極 值 的 條 件

9、 為 ， 即 在 該 點 發(fā) 生 共 振 。 共 振 幅 值 位 移 信 號 與 激 振 力 信 號 之 間 的 相 位 差 速 度 響 應 為幅 值 取 得 極 值 的 條 件 為 ， 即 在 該 點 發(fā) 生 共 振 。 共 振 幅 值速 度 信 號 與 激 振 力 信 號 之 間 的 相 位 差 加 速 度 響 應幅 值 取 得 極 值 的 條 件 為 ， 即 在 該 點 發(fā) 生 共 振 。 共 振 幅 值 加 速 度 信 號 與 激 振 力 信 號 之 間 的 相 位 差 圖 7 速 度 響 應 判 別 速 度 共 振圖 8位 移 響 應 判 別 速 度 共 振 圖 9加 速 度 響 應

10、 判 別 速 度 共 振速 度 共 振 的 相 位 判 別 法 的 依 據(jù) 即 為 系 統(tǒng) 發(fā) 生速 度 共 振 時 ， 激 振 力 和 速 度 響 應 之 間 的 相 位差 為 0。 實 驗 時 ， 將 激 振 力 信 號 接 入 示 波 器 的 軸 ， 速 度 響 應 信 號 接 入 示 波 器 的 軸 ， 改變 激 振 信 號 的 頻 率 ， 根 據(jù) 李 沙 育 原 理 ，屏 幕 上 將 出 現(xiàn) 如 圖 的 圖 像 。 即 當 圖 像 變 成斜 直 線 時 ， 系 統(tǒng) 發(fā) 生 速 度 共 振 ， 此 時 ， ， 即 激 振 力 的 頻 率 就 是 系 統(tǒng) 的 固 有頻 率 。若 示 波

11、器 軸 上 分 別 接 入 的 是 位 移 信 號 和 加速 度 信 號 ， 則 屏 幕 上 出 現(xiàn) 圖 ， 的 圖 像 。 8.2. 穩(wěn) 態(tài) 激 振 法 圖 3 單 自 由 度 系 統(tǒng) 模 型 圖 3所 示 為 一 個 單 自 由 度質 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) 強 迫 振動 模 型 。位 移 響 應 為位 移 幅 值 系 統(tǒng) 確 定 后 p,n,m是 確 定 的 。 只 要 保 證 激振 力 幅 值 是 常 量 ， 的 大 小 唯 一 取決 于 激 振 力 頻 率 。 穩(wěn) 態(tài) 激 振 法 是 每給 定 一 個 激 振 頻 率 ， 測 量 一 次 位 移 響 應 幅 值 ， 從 而 得

12、 到 一 組 隨 變化 的 數(shù) 據(jù) 。 以 為 橫 坐 標 ， 為 縱坐 標 ， 可 描 在 曲 線 上 ， 振 幅 最 大 的 點 對 應的 激 振 頻 率 稱 為 共 振 頻 率 ， 測 試 系 統(tǒng) 發(fā) 生了 位 移 共 振 。 圖 10 強 迫 振 動 時 幅 頻 響 應 曲 線式 中 ， 相 對 阻 尼 系 數(shù) 可 以 通 過 半 功 率 點 法 測 得 ， 在 的 情 況 下 也可 忽 略 ， 此 時 系 統(tǒng) 的 共 振 頻 率 等 于 固 有 頻 率 。若 測 量 的 是 系 統(tǒng) 速 度 響 應 幅 值 與 激 振 頻 率 之 間 的 關 系 曲 線 ， 則 系 統(tǒng) 的 共 振 頻

13、率 就 是 固 有 頻 率 ， 即若 測 量 的 是 系 統(tǒng) 加 速 度 幅 值 與 激 振 頻 率 之 間 的 關 系 曲 線 ， 則 系 統(tǒng) 的 共 振 頻 率與 固 有 頻 率 的 關 系 為 8.3 傳 遞 函 數(shù) 與 頻 響 函 數(shù) 圖 11單 自 由 度 粘 性 阻 尼 系 統(tǒng)由 振 動 理 論 可 知 ， 圖 11所 示 單 自 由度 粘 性 阻 尼 系 統(tǒng) ， 阻 尼 力 ，系 統(tǒng) 運 動 的 微 分 方 程 為 ：對 上 式 兩 邊 進 行 拉 普 拉 斯 變 換 ， 并 假 設初 始 速 度 、 位 移 值 為 0， 有 式 中 s為 拉 氏 變 換 因 子 ， 為 復 變

14、 量 ， 也 稱 復 頻 率 ， 其 實 部 和 虛 部 常 用 和 表 示 ，即 ； 為 的 拉 氏 變 換 ， 為 的 拉 氏 變 換 。 按 照 機 械 系 統(tǒng) 傳 遞函 數(shù) 的 定 義 ， 有 該 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù) 對 于 自 由 振 動 ， ， 則 有 。 在 小 阻 尼 的 情 況 下 ， 求 得 的一 對 共 軛 復 根 為 和 稱 為 該 系 統(tǒng) 的 復 頻 率 ， 其 實 部 即 為 系 統(tǒng) 的 衰 減 系 數(shù) ， 虛 部 為 系 統(tǒng) 的 有 阻 尼 固 有 頻 率 。對 系 統(tǒng) 運 動 的 微 分 方 程 兩 邊 進 行 傅 立 葉 變 換 ， 即 ， 即 有 系

15、 統(tǒng) 的 頻 響 函 數(shù) 式 中 ， 為 的 傅 立 葉 變 換 ， 為 的 傅 立 葉 變 換 。頻 響 函 數(shù) 是 頻 率 的 函 數(shù) ， 為 復 數(shù) ， 即 有 幅 值 與 相 位 ， 又 有 實 部 與 虛 部 ， 常 用 以 下 曲 線來 描 述 其 特 性 。 8.3.1 Bode圖頻 響 函 數(shù) 的 幅 頻 圖 和 相 頻 圖 稱 為 Bode圖 。 對 粘 性 阻 尼 ， 其 模 與 相 位 角 為式 中 ， 為 頻 率 比 ， 為 相 對 阻 尼 系 數(shù) ， 圖 形 如 圖 12 圖 12 頻 響 函 數(shù) 的 幅 頻 與 相 頻 圖在 相 頻 圖 上 ， 當 時 ， ， 而

16、且 與 阻 尼 大 小 無 關 ， 系 統(tǒng) 處于 相 位 共 振 狀 態(tài) ， 可 以 方 便 的 識 別 出 系 統(tǒng) 的 固 有 頻 率 ； 在 幅 頻 圖 上 ，當 時 ， 達 到 極 大 值 ， 且 ， 故 可 以 識 別 出 阻 尼 系數(shù) 。 8.3.2 實 頻 圖 與 虛 頻 圖頻 響 函 數(shù) 的 實 部 和 虛 部 分 別 為其 圖 形 如 圖 13所 示 。 在 實 部 圖 上 ， 利 用 半 功 率 點法 可 以 識 別 出 系 統(tǒng) 的 相 對 阻 尼 系 數(shù) ， 時 虛 部 達 到 極 大 值 ， 實 部 為 0， 系 統(tǒng) 處 于 共 振 狀態(tài) ， 可 識 別 出 系 統(tǒng) 的

17、固 有 頻 率 。 圖 13頻 響 函 數(shù) 的 實 部 與 虛 部 圖 8.3.2 Nyquist圖 以 頻 響 函 數(shù) 的 實 部 為 橫 坐 標 ，虛 部 為 縱 坐 標 ， 繪 出 頻 響 函 數(shù) 矢 量隨 頻 率 的 變 化 圖 ， 這 些 變 化 矢 量 的端 點 軌 跡 圖 稱 為 Nyquist圖 ， 圖 形方 程 為 ： 圖 形 如 圖 14所 示 。 在 圖 中 虛 部 與 圖 的 交 點 處 的 頻 率 即 為 系 統(tǒng) 的 固 有 頻 率 p ，實 部 達 到 極 值 的 兩 點 即 為 半 功 率 點 ， 由 此 可 確 定 系 統(tǒng) 的 相 對 阻 尼 系 數(shù) 。圖 14 頻 響 函 數(shù) 的 Nyquist圖