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1、特殊三角形第五章圖形的性質(zhì)(一) 等 腰 (邊 )三 角 形 、 直 角 三 角 形 的 性 質(zhì) 及 判 定性質(zhì)判定等腰三角形(1)兩腰相等，兩底角相等；(2)頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合；(3)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等邊三角形(1)三邊相等；(2)各角相等，且都等于60；(3)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角等于60的_是等邊三角形 直角三角形(1)兩銳角之和等于90；(2)斜邊上的中線等于斜邊的_；(3)3
2、0角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于_；(5)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(1)有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形；(2)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形等腰三角形一半30 1計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)問(wèn)題，如果所求線段是在直角三角形中，一般應(yīng)用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和2有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題，若條件中沒(méi)有明確底和腰時(shí)，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個(gè)方面進(jìn)行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同時(shí)，在底角沒(méi)有被指定的等腰三角
3、形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行討論注意運(yùn)用分類(lèi)討論的方法，將問(wèn)題考慮全面，不能想當(dāng)然3面積法：用面積法證題是常用的技巧方法之一，使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論 1(2014盤(pán) 錦 )如圖，ABC中，ABAC6，點(diǎn)M在BC上，ME AC，交AB于點(diǎn)E，MF AB，交AC于點(diǎn)F，則四邊形MEAF的周長(zhǎng)是()A6 B8 C10 D12D2(2014丹 東 )如圖，在ABC中，ABAC， A40，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則 CBE的度數(shù)為()A70 B80 C40 D30D D 4(2015遼 陽(yáng) )如圖
4、，在ABC中，BD AC于D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AD6，DE5，則線段BD的長(zhǎng)等于_5(2014鞍 山 )如圖，H是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AG平分 BAC，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且AG BD于點(diǎn)G，已知AB12，BC15，GH5，則ABC的周長(zhǎng)為_(kāi). 849 6(2014遼 陽(yáng) )如圖，ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF AE于F，AB5，AC3，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)12 8(2013沈 陽(yáng) )已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是_1，7 9(2014錦 州 )如圖，在ABC中，點(diǎn)D在
5、AB上，且CDCB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連接EF交CD于點(diǎn)M，連接AM.(1)求證：EFAC.(2)若 BAC45，求線段AM，DM，BC之間的數(shù)量關(guān)系 等 腰 三 角 形 有 關(guān) 邊 角 的 討 論 【 例 1】(1)(2015荊 門(mén) )已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為()A8或10 B8C10 D6或12(2)(葫 蘆 島 模 擬 )等腰三角形一條邊的邊長(zhǎng)為3，它的另兩條邊的邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x212xk0的兩個(gè)根，則k的值是()A27 B36 C27或36 D18解析：分兩種情況：當(dāng)其他兩條邊中有一個(gè)為3時(shí)，將x3代入原方程，得3 2
6、123k0，k27，將k27代入原方程，得x212x270，解得x3或9.3，3，9不能夠組成三角形；當(dāng)3為底時(shí)，則其他兩條邊相等，即0，此時(shí)1444k0，k36.將k36代入原方程，得x212x360，解得x6，3，6，6能夠組成三角形，故答案為BC B 【 點(diǎn) 評(píng) 】 在等腰三角形中，如果沒(méi)有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類(lèi)討論對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 1(1)(2015南 寧 )如圖，在ABC中，ABADDC， B70，則 C的度數(shù)為()AA35B40C45D50(2)(朝 陽(yáng) 模 擬 )等腰三角形的一個(gè)外角是60，則它的頂角的度數(shù)是 _12
7、0 等 腰 三 角 形 的 性 質(zhì) 【 例 2】(2015北 京 )如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，BE AC于點(diǎn)E.求證： CBE BAD.證明： ABAC，AD是 BC邊 上 的 中 線， AD BC，AD平分 BAC， BE AC， CBE C CAD C90，又 CAD BAD， CBE BAD【 點(diǎn) 評(píng) 】 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 2(2014菏 澤 )如圖，在ABC中，AD平分 BAC，BD AD，垂足為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE AC，交AB于點(diǎn)E，若AB5，求線段DE的長(zhǎng)解： AD平分 BAC， BAD CAD， DE
8、 AC， CAD ADE， BAD ADE， AEDE， AD DB， ADB90， EAD ABD90， ADE BDE ADB90， ABD BDE， DEBE， AB5， DEBEAE2.5 等 邊 三 角 形 【 例 3】如圖，在等邊ABC中， ABC與 ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD AB，OE AC.(1)試判定ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；(2)線段BD，DE，EC三者有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程解：(1)ODE是等邊三角形，理由：ABC是等邊三角形， ABC ACB60， OD AB，OE AC， ODE ABC60， OED ACB60ODE是等邊三角形(2)BDDEEC，
9、理由： OB平分 ABC，且 ABC60， ABO OBD30， OD AB， BOD ABO30， DBO DOB， DB DO，同理，ECEO， DEODOE， BDDEEC【 點(diǎn) 評(píng) 】 此題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 3(1)(沈 陽(yáng) 模 擬 )如圖，將等邊ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得ACD，BC的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，則 EAF的度數(shù)是_ 60 (2)(大 連 模 擬 )如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EFFD.求證：ADCE. 直 角 三 角 形 、 勾 股 定 理 【
10、例 4】(1)(本 溪 模 擬 )如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2 km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為()A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km(2)(2015桂 林 )下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是()A30，40，50 B7，12，13 C5，9，12 D3，4，6【 點(diǎn) 評(píng) 】 (1)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半理解題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵(2)在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證 兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷DA
11、對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 4(1)(撫 順 模 擬 )在ABC中，AB13 cm，AC20 cm，BC邊上的高為12 cm，則ABC的面積為_(kāi)cm2.(2)(2015蘇 州 )如圖，四邊形ABCD為矩形，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，DF4.設(shè)ABx，ADy，則x2(y4)2的值為_(kāi) 126或6616 6.從 不 同 的 視 角 來(lái) 證 明 幾 何 命 題 試 題 (2015營(yíng) 口 )【問(wèn)題探究】(1)如圖，銳角ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AEAB，ADAC， BAE CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理
12、由【深入探究】(2)如圖，四邊形ABCD中，AB7 cm，BC3 cm， ABC ACD ADC45，求BD的長(zhǎng) 審 題 視 角 (1)首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明 EAC BAD，則根據(jù)SAS即可證明EACBAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；(2)在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使 BAE90，AEAB，連接EA，EB，EC，證明EACBAD，證明BDCE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解 答 題 思 路第一步：通讀問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題選擇合理的幾何分析方法；第二步：(1)綜合法(由因?qū)Ч?：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過(guò)一系列的有關(guān)定理、公理、定義的運(yùn)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的
13、解決；(2)分析法(執(zhí)果索因)，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需必備的條件，然后再把條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的條件為止；(3)兩類(lèi)結(jié)合法，將分析法與綜合法合并使用比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可綜合使用，靈活處理，以縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離，直到完全溝通；第三步：視問(wèn)題需要，添加合理的輔助線，把已知與未知集中在一起；第四步：從已知出發(fā)，一步一步作推理，使得問(wèn)題得以證明；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟 19.三 角 形 的 高 可 能 在 形 外 試題1在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求 ABC的
14、度數(shù)錯(cuò) 解解 ： 如 圖 ，在RtBHD和RtACD中， C CAD90， C HBD90， HBD CAD.又 BHAC，BHDACD， BDAD. ADB90， ABC45.剖 析當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形內(nèi)；當(dāng)ABC是為鈍角三角形時(shí)，高AD和高BE的交點(diǎn) H在三角形外在解與高有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮的全面 試 題 2已知ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長(zhǎng)的一半，試求 BAC的度數(shù)剖 析(1)對(duì)于等腰三角形問(wèn)題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時(shí)，一般要分情況逐一考察，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解的錯(cuò)誤(2)當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時(shí)，腰上的 高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮的幾個(gè)方面
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