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1、三角形與全等三角形第五章圖形的性質(zhì)(一) 1三 角 形 的 邊 、 角 關(guān) 系三角形的任意兩邊之和_第三邊；三角形的內(nèi)角和等于_2三 角 形 的 分 類(lèi)按角可分為_(kāi)和_，按邊可分為_(kāi)和_大于180直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形 3三 角 形 的 主 要 線 段 重 心 三 角 形 三 條 中 線 的 交 點(diǎn) 叫 做 三 角 形 的 重 心 4全 等 三 角 形 的 性 質(zhì) 和 判 定(1)性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線相等；對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長(zhǎng)、面積也相等(2)判定：_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形
2、全等(ASA)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)兩邊和夾角兩角和夾邊角和其中一角的對(duì)邊三邊斜邊和一條直角邊 1證 明 三 角 形 全 等 的 三 種 基 本 思 路(1)有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找?jiàn)A角相等或第三邊對(duì)應(yīng)相等；(2)有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；(3)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等另外，在尋求全等條件時(shí)，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對(duì)頂角等隱含條件2證 明 幾 何 題 的 四 種 思 考 方 法(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運(yùn)用相應(yīng)的定理，分別或聯(lián)合幾個(gè)已知條件加以發(fā)
3、展，一步一步地去靠近欲證目標(biāo)；(2)逆推分析：從欲證結(jié)論入手，分析達(dá)到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；(3)順推分析與逆推分析相結(jié)合；(4)聯(lián)想分析：對(duì)于一道與證明過(guò)的題目有類(lèi)似之處的新題目，分析它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，嘗試把對(duì)前一道題的思考轉(zhuǎn)用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法 D C C C 5(2015丹 東 )如圖，在ABC中，ABAC， A30，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ABC與 ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則 D的度數(shù)為()A15 B17.5 C20 D22.5A A 7(2015朝 陽(yáng) )一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，若它的第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，則這個(gè)三角形
4、的周長(zhǎng)為_(kāi)8(2014大 連 )如圖，ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，若BC4 cm，則DE_cm. 82 9(2014大連)如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一直線上，ABCD，AE BF，CE DF.求證：AEBF.解： AE BF， A FBD， CE DF， D ACE， ABCD， ABBCCDBC，即ACBD，ACEBDF(ASA)， AEBF 10(2015沈 陽(yáng) )如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD外一點(diǎn)，AEDE，連接EB，EC分別與AD相交于點(diǎn)F，G.求證：(1)EABEDC；(2) EFG EGF.解：(1)四邊形ABCD是矩形， ABDC， BAD CDA90， EAED， EAD
5、 EDA， EAB EDC，EABEDC(SAS)(2)EABEDC， AEF DEG， EFG EAF AEF， EGF EDG DEG， EFG EGF 三 角 形 的 三 邊 關(guān) 系 B 1c5 【 點(diǎn) 評(píng) 】 三角形三邊關(guān)系性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長(zhǎng)c的取值范圍|ab|cab. 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 1(1)(2015青 海 )已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和10，則此三角形第三邊的長(zhǎng)可能是()A5 B6 C12 D16(2)(丹 東 模 擬 )長(zhǎng)為9，6，5，4的四根木條，選其中三根組成三角形，選法有()A1種 B2種
6、C3種 D4種CC 三 角 形 的 內(nèi) 角 、 外 角 的 性 質(zhì) 【 例 2】(1)(鞍 山 模 擬 )如圖，把一塊含有30角( A30)的直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)放在矩形桌面CDEF的一個(gè)頂點(diǎn)C處，桌面的另一個(gè)頂點(diǎn)F與三角板斜邊相交于點(diǎn)F，如果 140，那么 AFE()A50 B40 C20 D10D (2)一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定 A90， B和 C分別是32和21，檢驗(yàn)工人量得 BDC148，就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)說(shuō)明理由解：延長(zhǎng)BD交AC于E. DEC是ABE的外角， DEC A B9032122.同理 BDC C DEC21122143148，這個(gè)零件不合格【 點(diǎn) 評(píng) 】
7、 有關(guān)求三角形角的度數(shù)的問(wèn)題，首先要明確所求的角和哪些三角形有密切聯(lián)系，若沒(méi)有直接聯(lián)系，可添加輔助線構(gòu)建“橋梁” C 解： BPC是PCD的外角， BPC BDC，同理 BDC BAC， BPC BDC BAC 全 等 三 角 形 判 定 的 運(yùn) 用 【 例 3】(1)(2015莆 田 )如圖，AE DF，AEDF，要使EACFDB，需要添加下列選項(xiàng)中的()AABCD BECBFC A D DABBC A (2)(遼 陽(yáng) 模 擬 )如圖， B D，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件(不得添加輔助線)，使得ABCADC，并說(shuō)明理由【 點(diǎn) 評(píng) 】 判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
8、注意：AAA，SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的 夾角 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 3(1)(2015泰 州 )如圖，ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是()A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)D (2)(盤(pán) 錦 模 擬 )如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB CD， ABE CDF，AFCE.從圖中任找兩組全等三角形；從中任選一組進(jìn)行證明 運(yùn) 用 全 等 三 角 形 的 性 質(zhì) 【例4】如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，ED DF，求證：BECFEF.【
9、 點(diǎn) 評(píng) 】 利用中線加倍延長(zhǎng)法，把BE，CF，EF集中在一個(gè)三角形中 ，利用三角形的兩邊之和大于第三邊來(lái)證遇到中點(diǎn)問(wèn)題，一般分兩種解決辦法，一是“中線倍長(zhǎng)法”，二是尋找中點(diǎn)作中位線 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 4(2015黑 龍 江 )如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE.將ABE沿AE所在直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B，連接AB并延長(zhǎng)交直線DC于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖，易證：DFBEAF(不需證明)；(2)當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖，線段DF，BE，AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明 解：(1)由折疊可得ABA
10、B，BEBE，四邊形ABCD是正方形， ABDCDF， BCE45， BEBF， AFABBF，即DFBEAF(2)圖的結(jié)論：DFBEAF；圖的結(jié)論：BEDFAF；圖的證明：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DGBE，連接AG，需證ABEADG， BAE DAG， AEB AGD， CB AD， AEB EAD， BAE BAE， BAE DAG， GAF DAE， AGD GAF， GFAF， BEDFAF；圖的證明：在BC上取點(diǎn)M，使BMDF，連接AM，需證ABMADF， BAM FAD，AFAM，ABE ABE， BAE EAB， MAE DAE， AD BE， AEM DAE， MAE AEM， MEMAAF， BEDFAF 18.留 心“邊 邊 角” 試 題 如 圖，已知D是ABC的邊BC上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn)，EBEC， 1 2.求證： BAE CAE.錯(cuò) 解 證 明 ： 在 AEB和 AEC中， AEAE，EBEC， 1 2，AEBAEC(SSA)， BAE CAE. 正 解 證 明 ： EB EC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4，即 ABC ACB， ABAC.在AEB和AEC中， EBEC， 1 2，ABAC，AEBAEC(SAS)， BAE CAE
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