2021數(shù)學(xué) 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

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1、數(shù)學(xué) 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題屬于同一個(gè)整體，它們有同一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，它們的解題思路，解題方法都有一個(gè)共同的特點(diǎn)。本周講述如何利用分?jǐn)?shù)乘法的意義把它們統(tǒng)一起來(lái)。并從多方面加強(qiáng)訓(xùn)練，提高解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的能力。 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的內(nèi)容之一，其中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？”和“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”。這兩類分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，比整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題有了擴(kuò)展，數(shù)量關(guān)系抽象復(fù)雜，是教學(xué)中的難點(diǎn)，先“找關(guān)鍵句”，確定知“1”或求“1”再選擇用乘法還是用除法。利用基本結(jié)構(gòu)解好簡(jiǎn)單

2、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，進(jìn)一步掌握較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，以分散難點(diǎn)，提高解題能力。 A、加強(qiáng)兩種意義 “分?jǐn)?shù)的意義”是教學(xué)分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的起點(diǎn)，“一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義”是解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的依據(jù)。“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”和“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的應(yīng)用題，都是根據(jù)這個(gè)意義列出乘法算式或方程的。因此，要切實(shí)理解和掌握“分?jǐn)?shù)的意義”和“一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義”，是進(jìn)行分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵所在。 （一）強(qiáng)化分?jǐn)?shù)意義： 所謂“分?jǐn)?shù)”就是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。這個(gè)概念中有三個(gè)知識(shí)點(diǎn)：①、單位“1”：把要平均分的任何事物看做一個(gè)整體，用單位“1”表示，又稱整

3、體“1”。②、平均分：分?jǐn)?shù)是建立在平均分的基礎(chǔ)上的。③、表示平均分的一份或幾份的數(shù)才叫分?jǐn)?shù)。 例：說(shuō)出下面每句話中分?jǐn)?shù)表示的意義 1、五（1）班男生人數(shù)占全班人數(shù)的3/5。（3/5表示把全班人數(shù)看做整體，平均分成5份，其中的3份是男生。） 2、實(shí)際比計(jì)劃超產(chǎn)1/4。（1/4表示把計(jì)劃產(chǎn)量看做一個(gè)整體平均分成4份，超產(chǎn)的是這樣的1份。） 3、一臺(tái)電視機(jī)降價(jià)1/5。（1/5表示把電視機(jī)原價(jià)平均分成5份，降價(jià)的是1份。） （二）強(qiáng)化分?jǐn)?shù)乘法意義： 學(xué)好分?jǐn)?shù)乘法意義，對(duì)學(xué)好分?jǐn)?shù)應(yīng)用題至關(guān)重要。 1、溝通整數(shù)乘法意義與分?jǐn)?shù)乘法意義的聯(lián)系： 例：一桶油100千克，2桶油重多少千克？列式：1

4、002=200（千克）。（就是求100的2倍是多少?） 一桶油100千克，1.5桶油重多少千克？列式：1001.5=150（千克）。（就是求100的1.5倍是多少?） 一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：1001/2=50（千克）。就是求100的1/2是多少? 應(yīng)注意當(dāng)倍數(shù)不滿1時(shí)，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示這樣的1份。） 一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：1003/4=75（千克）。就是求100的3/4是多少？即把100千克平均分成4份表示這樣的3份。）這樣就溝通了求一個(gè)數(shù)的幾倍和求一個(gè)數(shù)的幾分之幾之間的聯(lián)系，其實(shí)質(zhì)是一樣的。 2、強(qiáng)化分?jǐn)?shù)乘

5、法意義的訓(xùn)練： 例：說(shuō)出算式表示的意義： 301/4（表示30的1/4是多少。） 6米3/5（表示6米的3/5是多少米。） A5/6（表示A的5/6是多少。） B、尋找等量關(guān)系的訓(xùn)練 （一）尋找單位“1”的訓(xùn)練 例：在下面的句子中，用橫線畫(huà)出單位“1”的量。 （1）看了一本書(shū)的1/3； （2）一批青菜，其中1/4是白菜。 （3）四月份比三月份節(jié)約用電1/5。 （4）水結(jié)冰體積膨脹1/11。 （二）尋找分率對(duì)應(yīng)量的訓(xùn)練 例：看了一本書(shū)的1/3。 全書(shū)的（1/3）和（已看的頁(yè)數(shù)）相對(duì)應(yīng)。 全書(shū)的（1－1/3）和（剩下的頁(yè)數(shù)）相對(duì)應(yīng)。 全書(shū)的（1－1/32）和（剩下的

6、頁(yè)數(shù)比已看的多的頁(yè)數(shù)）相對(duì)應(yīng)。 透徹理解分率的意義，找出相對(duì)應(yīng)的量與分率是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的突破口。 （三）畫(huà)線段圖的訓(xùn)練 有了初步的對(duì)應(yīng)思想，線段圖又具有形象直觀的特點(diǎn)，是幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)量關(guān)系，提高分析能力的有利手段。要正確解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，必須學(xué)會(huì)畫(huà)線段圖。 例（1）：一本書(shū)共有300頁(yè)，看了全書(shū)的2/5，看了多少頁(yè)？（此題是部總關(guān)系的題） 分三步畫(huà)圖：（1）、畫(huà)出單位“1”的量；（2）、再畫(huà)和它相比的量；（3）、標(biāo)出相應(yīng)的條件和問(wèn)題。 若把“看了多少頁(yè)”改為“還剩多少頁(yè)”就是稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，也一樣會(huì)畫(huà)出線段圖（如圖）。 例（2）：學(xué)校有科技書(shū)200本，文藝書(shū)

7、是科技書(shū)的3/4。文藝書(shū)有多少本？（此題是比較關(guān)系的，比較關(guān)系是兩條線段做比較，畫(huà)圖時(shí)一般將標(biāo)準(zhǔn)量畫(huà)在上面，比較量畫(huà)在下面，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖體會(huì)比較關(guān)系的幾種情況） 若把是科技書(shū)的3/4改成比科技書(shū)少1/4；求少多少或是多少?；虬咽强萍紩?shū)的3/4改成比科技書(shū)多1/4，求多多少或求是多少。 （四）找準(zhǔn)等量關(guān)系的訓(xùn)練 1、訓(xùn)練內(nèi)容明確： 尋找等量關(guān)系，要緊緊地聯(lián)系實(shí)際，首先明確是部總關(guān)系還是比較關(guān)系。如：部總關(guān)系，已知單位“1”的量，和一部分分率，求一部分量；求另一部分量；求一部分量比另一部分量多（少）多少。或反之用方程尋找等量關(guān)系。 又如：比較關(guān)系，已知單位“1”的量，是標(biāo)準(zhǔn)量的幾分之幾

8、求是多少；比標(biāo)準(zhǔn)量多幾分之幾求多多少，是多少；比標(biāo)準(zhǔn)量少幾分之幾，求少多少，是多少。 寫(xiě)等量關(guān)系式： 例：實(shí)際用電比原計(jì)劃節(jié)約了1/9。 等量關(guān)系式：原計(jì)劃1/9=節(jié)約的； 原計(jì)劃（1－1/9）=實(shí)際用電等等。 （五）變換單位“1”的訓(xùn)練 在解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題時(shí)，對(duì)“1”的理解、掌握和運(yùn)用也是關(guān)鍵的一環(huán)。尤其是對(duì)單位“1”變化規(guī)律的掌握， 例：五（1）班男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5。 ①女生人數(shù)為單位“1”，男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5。 ②男生人數(shù)為單位“1”，女生人數(shù)是男生人數(shù)的5/4，女生人數(shù)比男生人數(shù)多1/4。 ③全班人數(shù)為單位“1”，男生人數(shù)占全班人數(shù)的4/9，女生

9、人數(shù)占全班人數(shù)的5/9，男生人數(shù)比女生人數(shù)少全班的1/9。 C、加強(qiáng)綜合訓(xùn)練 （一）一題多問(wèn) 例：某工廠五月份計(jì)劃生產(chǎn)鋼材2400噸，上旬完成了計(jì)劃的1/3，中旬完成了計(jì)劃的3/8，？ （二）一題多解 像上例一題多問(wèn)后，每一問(wèn)又可有多種解法，這種訓(xùn)練可拓展到倍數(shù)、方程、比例等應(yīng)用題 （三）進(jìn)行補(bǔ)條件、和編題訓(xùn)練 （四）打破定勢(shì)，建立思維的可逆性 心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)生是否建立思維的可逆性是衡量其思維能力的重要標(biāo)志。在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)逆向思維障礙是長(zhǎng)期進(jìn)行順向思維訓(xùn)練形成思維定勢(shì)造成的。 【典型例題】 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，題型廣博，變化多端。拓寬思路，提高解題能力。一、從確

10、定對(duì)應(yīng)入手找出解題方法 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一個(gè)“量率對(duì)應(yīng)”的明顯特點(diǎn)，對(duì)一個(gè)單位“1”來(lái)說(shuō)，每個(gè)分率都對(duì)應(yīng)著一個(gè)具體的數(shù)量，而每一個(gè)具體的數(shù)量，也同樣對(duì)應(yīng)著一個(gè)分率，因此，正確地確定“量率對(duì)應(yīng)”是解題的關(guān)鍵。我們要學(xué)會(huì)和掌握“明確對(duì)應(yīng)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)分率”的解題方法。 例：小冬看一本故事書(shū)，第一天看了總頁(yè)數(shù)的1/6，第二天看了總頁(yè)數(shù)的1/3，還剩78頁(yè)沒(méi)有看，這本故事書(shū)共有多少頁(yè)？ 把這本故事書(shū)的總頁(yè)數(shù)看作單位“1”，要求這本故事書(shū)共有多少頁(yè)，就要求出剩下的78頁(yè)的對(duì)應(yīng)分率。根據(jù)已知條件，第一、二天看了總頁(yè)數(shù)的（1/6＋1/3），還剩下78頁(yè)的對(duì)應(yīng)分率是（1－1/6－1/3），求這本故事書(shū)共有多少

11、頁(yè)，就是已知單位“1”的（1－1/6－1/3）是78頁(yè)，求單位“1”。于是列式為：78（1－1/6－1/3）＝156（頁(yè)） 二、通過(guò)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量找出解題方法 在一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，如果出現(xiàn)了幾個(gè)分率，而且這些分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，量的性質(zhì)相異，在解題時(shí)，必須以題中的某一個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)量，將其余量的對(duì)應(yīng)分率統(tǒng)一到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量上來(lái)，才可列式解答。 例：果園里有蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)共420棵，蘋(píng)果樹(shù)棵數(shù)的1/3等于梨樹(shù)的4/9，問(wèn)這兩種果樹(shù)各有多少棵？ 題中的1/3是以蘋(píng)果樹(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，4/9是以梨樹(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，解題時(shí)必須統(tǒng)一成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量。 若以蘋(píng)果樹(shù)為單位“1”，則有11/3＝梨樹(shù)4/9，那么梨樹(shù)就相當(dāng)于單位“1

12、”的1/34/9，兩種果樹(shù)的總棵數(shù)就相當(dāng)于單位“1”的（1＋1/34/9），于是列式為： 420（1＋1/34/9）＝240（棵）……蘋(píng)果樹(shù) 240（1/34/9）＝180（棵）……梨樹(shù) 也可以把梨樹(shù)看作單位“1”，或把兩種果樹(shù)的總棵數(shù)，或者相差棵數(shù)看作單位“1”。 三、通過(guò)假設(shè)推算找出解題方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果按題中所給條件直接去思考，就難以找到解題方法，如果在解題時(shí)先假設(shè)一個(gè)主觀上所需要的條件，然后按照題目里的數(shù)量關(guān)系推算，所得的結(jié)果則發(fā)生與題目條件不同的矛盾，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，即可找到正確的答案。 例：紅花村修一條水渠，第一周修了全長(zhǎng)的2/5多10米，第二周修了全長(zhǎng)的1/

13、4少5米，還剩下282米沒(méi)有修。這條水渠長(zhǎng)多少米？ 假設(shè)第一周修的恰好是全長(zhǎng)的2/5，這樣第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假設(shè)第二周修的恰好是全長(zhǎng)的1/4，這樣第一、二周修后剩下的282米中又要減少5米，于是條件變?yōu)榈谝恢苄蘖巳L(zhǎng)的2/5，第二周修了全長(zhǎng)的1/4，還剩下（282＋10－5）米沒(méi)有修。把這條水渠全長(zhǎng)看作單位“1”，那么（282＋10－5）米的對(duì)應(yīng)分率就是（1－2/5－1/4）。于是列式為：（282＋10－5）（1－2/5－1/4）＝820（米） 四、通過(guò)逆推找出解題方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果按從始至終的先后順序去分析，很難達(dá)到解決問(wèn)題的目的，甚至陷入絕境。不妨

14、“反過(guò)來(lái)想一想“進(jìn)行逆推，便容易打開(kāi)思路，順利解題。 例：有一個(gè)油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出油的1/6多5千克，這時(shí)桶里剩下油95千克。問(wèn)原來(lái)桶里有油多少千克？ 從最后條件出發(fā)思考：95＋5＝100（千克），即為現(xiàn)存油的5/6，故現(xiàn)在桶里有油1005/6＝120，再?gòu)牡谝粋€(gè)條件思考，120－20＝100（千克），即為原存油的2/3，因此，原來(lái)桶里有油1002/3＝150（千克）。綜合算式：［（95＋5）（1－1/6）－20］（1－1/3）＝150（千克） 五、借助線段圖找出解題方法 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系比較抽象、隱蔽，如果根據(jù)題意畫(huà)出線段圖，可使抽象變具體，隱

15、蔽明朗化，從而借助線段圖揭示的數(shù)量關(guān)系可直觀地找出解題方法，甚至有的題還可找到簡(jiǎn)捷的解法。 例：甲乙兩人共存人民幣若干元，其中甲占3/5，若乙給甲60元后，則乙余下的錢占總數(shù)的1/4，甲乙兩人各存人民幣多少元？ 60元的對(duì)應(yīng)分率是（1－3/5－1/4），于是可求出甲乙兩人共存人民幣多少元，進(jìn)而可求出甲乙兩人各存人民幣多少元。 60（1－3/5－1/4）＝400（元）……甲乙兩人共存 4003/5＝240（元）……甲 400（1－3/5）＝160（元）……乙 或400－240＝160（元） 六、抓住不變量找出解題方法 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量不統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果我們能從題中找到一個(gè)不變量，

16、就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。 例：一個(gè)車間有工人360人，其中女工占3/5，后來(lái)又招進(jìn)一批女工，這時(shí)女工人數(shù)占全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，又招進(jìn)女工多少人？ 從題中可知，女工人數(shù)起了變化，引起全車間工人總?cè)藬?shù)起了變化，但是男工人數(shù)始終沒(méi)有增減，因此，抓住男工人數(shù)沒(méi)有變化這個(gè)不變量來(lái)分析。當(dāng)全車間工人為360人時(shí)，女工占3/5，則男工占1－3/5＝2/5，為3602/5＝144（人）。又招進(jìn)一批女工后，女工人數(shù)占這時(shí)全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，則男工人數(shù)占這時(shí)全車間工人總?cè)藬?shù)的1－5/8＝3/8，因此，這時(shí)全車間有工人1443/8＝384（人）。原來(lái)全車間有工人360人，現(xiàn)在增加

17、到384人，增加的原因是由于招進(jìn)了一批女工，故又招進(jìn)女工384－360＝24（人）。綜合算式：360（1－3/5）（1－5/8）－360＝24（人） 七、通過(guò)轉(zhuǎn)變條件找出解題方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，可以通過(guò)改變看問(wèn)題的角度，將題中某些已知數(shù)量轉(zhuǎn)換成與之有關(guān)聯(lián)的另一個(gè)數(shù)量，使之成為一個(gè)較為熟悉的簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而找到解題的新方法。 例：有兩缸金魚(yú)，如果從第一缸取出15尾放入第二缸，這時(shí)第二缸內(nèi)的金魚(yú)正好是第一缸的5/7，已知第二缸內(nèi)原有金魚(yú)35尾，第一缸內(nèi)原有金魚(yú)多少尾？ 這道題可以轉(zhuǎn)化為熟悉的“歸一”問(wèn)題。題中的5/7根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，表示把這時(shí)第一缸內(nèi)的金魚(yú)尾數(shù)平均分成7份，這時(shí)第二缸內(nèi)金

18、魚(yú)的尾數(shù)占其中的5份，這5份共35＋15＝50（尾），則每份是505＝10 （尾），因此，這時(shí)第一缸內(nèi)有金魚(yú)107＝70（尾），那么第一缸內(nèi)原有金魚(yú)70＋15＝85（尾）。綜合算式： （35＋15）57＋15＝85（尾） 拓展提高： 鬼谷算 我國(guó)漢代有位大將，名叫韓信。他每次集合部隊(duì)，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7報(bào)數(shù)，然后再報(bào)告一下各隊(duì)每次報(bào)數(shù)的余數(shù)，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點(diǎn)兵，外國(guó)人還稱它為“中國(guó)剩余定理”。到了明代，數(shù)學(xué)家程大位用詩(shī)歌概括了這一算法，他寫(xiě)道： 三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝， 七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。 這首詩(shī)的意思是：用3除所得的余數(shù)乘上70，加上用5除所得余數(shù)乘以21，再加上用7除所得的余數(shù)乘上15，結(jié)果大于105就減去105的倍數(shù)，這樣就知道所求的數(shù)了。 比如，一籃雞蛋，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余1，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余2，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)余3，籃子里有雞蛋一定是52個(gè)。算式是： 170＋221＋315＝157 157－105＝52（個(gè)） 請(qǐng)你根據(jù)這一算法計(jì)算下面的題目。 新華小學(xué)訂了若干張《中國(guó)少年報(bào)》，如果三張三張地?cái)?shù)，余數(shù)為1張；五張五張地?cái)?shù)，余數(shù)為2張；七張七張地?cái)?shù)，余數(shù)為2張。新華小學(xué)訂了多少?gòu)垺吨袊?guó)少年報(bào)》呢？