滬教版高中數學高三理科《曲線的參數方程》教學設計附說明

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1、滬教版高中數學高三理科《曲線的參數方程》教學設計附說明 曲線的參數方程教學目標1、理解曲線參數方程的概念，能選取適當的參數建立參數方程； 2、通過對圓和直線的參數方程的研究，了解某些參數的幾何意義和物理意義； 3、初步了解如何應用參數方程來解決某些具體問題，在問題解決的過程中，形成數學抽象 思維能力，初步體驗參數的基本思想。b5E2RGbCAP教學重點曲線參數方程的概念。教學難點曲線參數方程的探求。教學過程（一）曲線的參數方程概念的引入 引例： 2002 年 5 月 1 日，中國第一座身高 108 米的摩天輪，在上海錦江樂園正式對外運營。并 以此高度躋身世界三大摩天輪之列，居亞洲第一。p1E

2、anqFDPw 已知該摩天輪半徑為 51.5 米， 逆時針勻速旋轉一周需時 20 分鐘。 如圖所示， 某游客現在 P0 點（其中 P0 點和轉軸 O 的連線與水平面平行） 。問：經過 t 秒，該游客的位置在何處?DXDiTa9E3d引導學生建立平面直角坐標系，把實際問題抽象到數學問題，并加以解決 （1、通過生活中的實例，引發(fā)學生研究的興趣；2、通過引例明確學習參數方程的現實意 義；3、通過對問題的解決，使學生體會到僅僅運用一種方程來研究往往難以獲得滿意的結果， 從而了解學習曲線的參數方程的必要性；4、通過具體的問題，讓學生找到解決問題的途徑， 為研究圓的參數方程作準備。 ） RTCrpUDGi

3、T （二）曲線的參數方程 1、圓的參數方程的推導 （1）一般的，設⊙ O 的圓心為原點，半徑為 r ， OP 直線為 0 所在 x 軸，如圖，以 OP 角速度 0 為始邊繞著點 O 按逆時針方向繞原點以勻 呢 ？ ? 作圓周運動，則質點 P 的坐標與時刻 t 的關系該如何建立 （其中 r 與 ? 為常數， t 為變數）5PCzVD7HxA 結合圖形，由任意角三角函數的定義可知： ? x ? r cos?t ① t ? [0,??) t 為參數 ? ? y ? r sin ?t （2）點 P 的角速度為 ? ，運動所用的時間為 t ，則角位移 ? ? ?t ，那么方程組①可以改寫 為何種形式？

4、 ? x ? r cos? 結合勻速圓周運動的物理意義可得： ? ? ? [0,??) ? 為參數 ② y ? r sin ? ? （在引例的基礎上，把原先具體的數據一般化，為圓的參數方程概念的形成作準備，同時也 培養(yǎng)了學生數學抽象思維能力）jLBHrnAILg （3）方程①、②是否是圓心在原點，半徑為 r 的圓方程？為什么？ 由上述推導過程可知： 對于⊙ O 上的每一個點 P( x, y) 都存在變數 t（或 ? ） 的值， 使 x ? r cos ?t ， y ? r sin ?t （或 y ? r sin ? ， x ? r cos? ）都成立。 對于變數 t （或 ? ）的每一個允許值

5、，由方程組所確定的點 P( x, y) 都在圓上； （1、對曲線的方程以及方程的曲線的定義進行必要的復習；2、學生從曲線的方程以及方 程的曲線的定義出發(fā)，可以說明以上由變數 t （或 ? ）建立起來的方程是圓的方程； ）xHAQX74J0X ? （4）若要表示一個完整的圓，則 t 與 的最小的取值范圍是什么呢？ st s ? x ? rc o? ? x ? r c o? 2? ? t ? [0, ) ， ? ? [0,2? ) ? ? ?t ? ? ? y ? rs i n ? y ? rs i n （5）圓的參數方程及參數的定義 我們把方程①（或②）叫做⊙ O 的參數方程，變數 t （或 ?

6、 ）叫做參數。 （6）圓的參數方程的理解與認識 ? x ? 3 cos? ? x ? 3 cos? ? （?。﹨捣匠?? ? ? [0,2? ) 與 ? ? ? [0, ] 是否表示同一曲線？ 2 ? y ? 3 sin ? ? y ? 3 sin ? 為什么？ （ⅱ）根據下列要求，分別寫出圓心在原點、半徑為 r 的圓的部分圓弧的參數方程： ①在 y 軸左側的半圓（不包括 y 軸上的點） ； ②在第四象限的圓弧。 （通過具體問題的解決，加深對圓的參數方程的理解與認識，體會到參數的取值范圍也是 圓的參數方程的重要組成部分； 并為曲線的參數方程的定義及其理解與認識作鋪墊。 ） LDAYtRyKf

7、E （7）曲線的參數方程的定義 （?。┮话愕?，在平面直角坐標系中，如果曲線 C 上任意一點的坐標 x 、 y 都是某個變數 ? x ? f (t ) ③， 并且對于 t 的每一個允許值， 由方程組③所確定的點 P( x, y) (t ? D) t 的函數 ? ? y ? g (t ) 都在這條曲線 C 上，那么方程組③就叫做這條曲線的參數方程。變數 t 叫做參變量或參變數， 簡稱參數。Zzz6ZB2Ltk （ⅱ） 相對于參數方程來說， 直接給出曲線上點的坐標 x 、y 間關系的方程 F ( x, y) ? 0 叫 做曲線的普通方程。 （8）曲線的參數方程的理解與認識 （?。﹨捣匠痰男问?； （

8、橫、縱坐標 x 、 y 都是變量 t 的函數，給出一個 t 能唯一的求出對應的 x 、 y 的值，因而得 出唯一的對應點；但橫、縱坐標 x 、 y 之間的關系并不一定是函數關系。 ）dvzfvkwMI1 （ⅱ）參數的取值范圍； （在表述曲線的參數方程時，必須指明參數的取值范圍；取值范圍的不同，所表示的曲線 也可能會有所不同。 ） （ⅲ）參數方程與普通方程的統一性； （普通方程是相對參數方程而言的，普通方程反映了坐標變量 x 與 y 之間的直接聯系，而 參數方程是通過變數反映坐標變量 x 與 y 之間的間接聯系；普通方程和參數方程是同一曲線的 兩種不同表達形式；參數方程可以與普通方程進行互化。

9、 ）rqyn14ZNXI （ⅳ）參數的作用； （參數作為間接地建立橫、縱坐標 x 、 y 之間的關系的中間變量，起到了橋梁的作用。 ） （ⅴ）參數的意義。 （如果參數選擇適當，參數在參數方程中可以有明確的幾何意義，也可以有明確的物理意 義， 可以給問題的解決帶來方便。 即使是同一條曲線， 也可以用不同的變數作為參數。 ） EmxvxOtOco （三）鞏固曲線的參數方程的概念 例題 1： （1）質點 P 開始位于坐標平面內的點 P0 (3,1) 處，沿某一方向作勻速直線運 動。水平分速度 v x ? 3 厘米/秒，鉛錘分速度 v y ? 1 厘米/秒， （?。┣蟠速|點 P 的坐標與時刻 t （秒

10、）的關系； （ⅱ）問 5 秒時質點 P 所處的位置。 ? （2）寫出經過定點 P(3,1) ，且傾斜角為 的直線 l 的參數方程。 6 問題：作出例題 1 中兩小題的直線圖像，判斷它們的位置關系；從中你能得到什么啟示呢？ （第一小題通過運動質點的位置與時間有關建立表現質點位置的參數方程；第二小題通過 選取適當的參數建立直線的參數方程；從而使學生了解參數的選取有多種方法，同一曲線可以 由不同的參數方程來表示。 ）SixE2yXPq5 例題 2：已知點 A( x, y) 在圓 C ： x 2 ? y 2 ? 4 上運動，求 x ? y 的最大值。 （通過普通方程化為參數方程求得函數的最值， 使學生

11、初步體驗參數方程的作用與意義。 ） （四）課堂小結 1、知識內容：知道圓的參數方程以及曲線參數方程的概念；能選取適當的參數建立參數方 程；通過對圓和直線的參數方程的研究，理解其中參數的意義。6ewMyirQFL 2、思想與方法：參數思想。 （引導學生回顧本節(jié)課的學習過程，小結與交流學習體會，包括數學知識的獲得，數學思想 方法的領悟。 ） （五）作業(yè) 課本 P7 ，練習 17.1（1） ，第 2、3 題。 （六）思考 （1）若圓的一般方程為 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ，你能寫出它的一個參數方程嗎？ （2）針對引例中的實際情況，游客總是從摩天輪的最低點登上轉盤。若

12、某游客登上轉盤的 時刻記為 t 0 ，則經過時間 t 該游客的位置在何處？在引例所建立的坐標系下，你能否通過建立 相對應的參數方程，并得到游客的具體位置呢？kavU42VRUs教學設計說明一、教材分析 本節(jié)課所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年級（理科）數學課本，內容 為第十七章第一節(jié)，第一課時。y6v3ALoS89 “參數方程和極坐標方程”這一章節(jié)內容是在“圓錐曲線”這一章的基礎上進一步展開研 究曲線的方程。學習曲線的參數方程是為了進一步探討直線、圓錐曲線的性質，也是進一步學 習數學、運動學的基礎，它在生產實踐中有很多實際的應用。本章主要學習參數方程的基本概 念、基本原理、基本

13、方法，因此在教學中要求應適當，難度要控制，基本應以課本例題與習題 為主。M2ub6vSTnP 通過本章節(jié)的教學應使學生感悟到現實世界的問題是多種多樣的，僅用一種坐標系，一種 方程來研究各種不同的問題是不適合的，有時難以獲得滿意的效果。參數方程有其自身的優(yōu)越 性，學習參數方程有其必要性。通過學習參數方程的有關概念，以及方程之間、坐標之間的互 化，使學生感悟到坐標系及各種方程的表示方法是可以視實際需要，主觀能動的加以選擇的。0YujCfmUCw“曲線的參數方程”為本章節(jié)的第一部分。主要讓學生了解參數方程的有關概念，通過探 索圓錐曲線的參數方程初步掌握求曲線的參數方程的方法， 并且在此基礎上進行參數

14、方程與普 通方程的互化及其簡單應用。eUts8ZQVRd 二、教學目標設計 根據以上分析，本節(jié)課設置的教學目標為： 1、理解曲線參數方程的概念，能選取適當的參數建立參數方程。 2、通過對圓和直線的參數方程的研究，了解某些參數的幾何意義和物理意義。 3、初步了解如何應用參數方程來解決某些具體問題，在問題解決的過程中，培養(yǎng)數學抽象 思維能力，初步體驗參數的基本思想。sQsAEJkW5T 三、教學過程設計 我校是上海市示范型高中，我校的學生數學基礎良好，思維活躍，具備一定的分析問題和 自主探究能力。因此在教學設計中強調學生的自主探究，強調數學思想方法的滲透與運用，希 望加深學生對知識本質的理解。GM

15、sIasNXkA 本課設置如下教學環(huán)節(jié)以體現重點，突破難點，實現教學目標。 1、作為曲線的參數方程的概念課，一味的灌輸是不可取的。而是要讓學生體會到為什么 要建立曲線的參數方程，感受其產生的必要性、合理性以及可行性。因此，由“摩天輪”這一 生活中的實例引入，一方面使學生了解參數方程是基于生產、生活發(fā)展的實際需要而產生的， 在引發(fā)學生研究的興趣時，通過對問題的解決，使學生體會到僅僅運用一種方程來研究不同的 問題不一定方便，往往難以獲得滿意的結果，從而了解研究曲線的參數方程的必要性；另一方 面通過具體問題的解決，找到解決問題的途徑，也為圓的參數方程的研究作必要的準備。TIrRGchYzg2、由特殊

16、到一般，從具體到抽象。以“引導設問”為主線，學生通過對問題的思考和解 答，體驗學習過程，自主探索和獲取知識，從而得到圓的參數方程。同時在探索的過程中也提 高學生的數學抽象思維能力。7EqZcWLZNX 3、作為一堂概念課，學生對于概念的理解必須精確，深入，為后續(xù)課程打下扎實的基礎， 教師必須在這一環(huán)節(jié)進行深入的分析。lzq7IGf02E 因此，在圓以及曲線的參數方程的概念引入之后，針對參數方程的形式、參數的取值范 圍、參數方程與普通方程的統一性、參數的作用以及參數的意義進行深入的理解與探討。通過 這一環(huán)節(jié)，學生活躍的思維逐步從感性上升到理性；同時，對于概念的理解得到鞏固與深化。zvpgeqJ1

17、hk通過加強師生交流、關注學生思維，把握課堂教學重點，讓學生體驗知識產生的原因，發(fā) 展的過程及其應用的價值。NrpoJac3v1 4、在本節(jié)課中，設計了適當的練習與例題。一方面可以鞏固學生對曲線的參數方程概念的 理解認識；另一方面通過簡單的應用，使學生體會曲線的參數方程的作用及意義。1nowfTG4KI 教學中通過教師的適當引導、啟發(fā)，同時大膽地放手由學生自主探究、及時激勵學生以體 驗問題解決的成功喜悅。 5、 本節(jié)課的小結并不是由教師代為整理歸納， 而是引導學生自主回顧本節(jié)課的學習過程， 交流學習體會， 包括數學知識的獲得， 數學思想方法的領悟， 對學會學習、 學會思考的感想等。 一方面可以在學生交流的過程中及時發(fā)現問題并加以糾正； 另一方面也鍛煉了學生對知識的梳 理和概括能力。fjnFLDa5Zo 6、作為課堂教學的延續(xù)，兩道思考題可讓學生在課后進行自主探究，同時也為后續(xù)的參數 方程與普通方程的互化以及參數方程的應用作準備。tfnNhnE6e5