離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案_(左孝凌版)

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1、1 離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案_(左孝凌版)（1） 解：a) 是命題，真值為 T。b) 不是命題。c) 是命題，真值要根據(jù)具體情況確定。d) 不是命題。e) 是命題，真值為 T。f) 是命題，真值為 T。g) 是命題，真值為 F。h) 不是命題。i) 不是命題。 （2） 解：原子命題：我愛北京天安門。復(fù)合命題：如果不是練健美操，我就出外旅游拉。（3） 解：a) (P R)Qb) QRc) Pd) PQ（4） 解：a)設(shè) Q:我將去參加舞會(huì)。R:我有時(shí)間。P:天下雨。Q (RP):我將去參加舞會(huì)當(dāng)且僅當(dāng)我有時(shí)間和天不下雨。b)設(shè) R:我在看電視。Q:我在吃蘋果。RQ:我在看電視邊吃蘋果。 c) 設(shè) Q

2、:一個(gè)數(shù)是奇數(shù)。R:一個(gè)數(shù)不能被 2 除。（QR）(RQ):一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則它不能被 2 整除并且一個(gè)數(shù)不能被 2 整除，則它是奇數(shù)。(5) 解：a) 設(shè) P：王強(qiáng)身體很好。Q：王強(qiáng)成績(jī)很好。PQb) 設(shè) P：小李看書。Q：小李聽音樂。PQc) 設(shè) P：氣候很好。Q：氣候很熱。PQd) 設(shè) P： a 和 b 是偶數(shù)。Q：a+b是偶數(shù)。PQe) 設(shè) P：四邊形 ABCD是平行四邊形。Q ：四邊形 ABCD的對(duì)邊平行。PQf) 設(shè) P：語(yǔ)法錯(cuò)誤。Q：程序錯(cuò)誤。R：停機(jī)。（P Q） R(6) 解：a) P:天氣炎熱。Q:正在下雨。 PQb) P:天氣炎熱。R:濕度較低。 PR c) R:天正在下雨。

3、S:濕度很高。 RSd) A:劉英上山。B:李進(jìn)上山。 ABe) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 MNf) L:你看電影。M:我看電影。 LM 2 g) P:我不看電視。Q:我不外出。 R:我在睡覺。 PQRh) P:控制臺(tái)打字機(jī)作輸入設(shè)備。Q:控制臺(tái)打字機(jī)作輸出設(shè)備。PQ習(xí)題解答（1）解：a) 不是合式公式，沒有規(guī)定運(yùn)算符次序（若規(guī)定運(yùn)算符次序后亦可作為合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配對(duì)）d) 不是合式公式（R 和 S 之間缺少聯(lián)結(jié)詞）e) 是合式公式。 （2）解：a） A是合式公式，(AB)是合式公式，(A(AB) 是合式公式。這個(gè)過程可以簡(jiǎn)記為：A；(AB)；

4、(A(AB)同理可記b） A；A ；(AB) ；(AB)A)c） A；A ；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA)d） A；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA)（3）解：a） (AC)(BC)A)(BC)A)(AC) b） (BA)(AB)。（4）解：a) 是由 c) 式進(jìn)行代換得到，在 c) 中用 Q 代換 P, (PP)代換 Q.d) 是由 a) 式進(jìn)行代換得到，在 a) 中用 P(QP)代換 Q.e) 是由 b) 式進(jìn)行代換得到，用 R代換 P, S 代換 Q, Q 代換 R, P代換 S.（5）解：a) P: 你沒有給我寫信。 R: 信在途中丟失了。 P Qb) P: 張

5、三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)Rc) P: 我們能劃船。 Q: 我們能跑步。 (PQ) d) P: 你來了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(QR)（6）解：P:它占據(jù)空間。 Q:它有質(zhì)量。 R:它不斷變化。 S:它是物質(zhì)。這個(gè)人起初主張：(PQR) S后來主張：(PQS)(SR) 3 這個(gè)人開頭主張與后來主張的不同點(diǎn)在于：后來認(rèn)為有 PQ 必同時(shí)有 R，開頭時(shí)沒有這樣的主張。（7）解：a) P: 上午下雨。 Q:我去看電影。 R:我在家里讀書。 S:我在家里看報(bào)。(PQ)(P(RS)b) P: 我今天進(jìn)城。Q:天下雨。QPc) P: 你走了。 Q:我留下。QP（4）解：a)

6、P Q R QR P(QR) PQ (PQ)RT TTT TFT FTT FF F TTF TFF FTF FF TFFFTFFF TFFFFFFF TTFFFFFF TFFFFFFF所以，P(QR) (PQ)R b) P QR QR P(QR) PQ (PQ)R 4 T TTT TFT FTT FFF T TF TFF FTF FF 所以，P(QR) (PQ)R ） （） （）（） 5 所以，P(QR) (PQ)(PR)） P Q P Q PQ (PQ) PQ (PQ)T T T FF TF F FFTT FTFT FTTT FTTT FFFT FFFT所以，(PQ) PQ, (PQ) PQ

7、（5）解：如表，對(duì)問好所填的地方，可得公式 F 1F6，可表達(dá)為P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6T T T T F T T F FT T F F F T F F FT F T T F F T T FT F F F T F T T FF T T T F F T T FF T F T F F F T FF F T T F T T T FF F F F T F T T T F1:(QP)RF2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6) 6 P Q 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8、15 16F F F T F T F T F T F T F T F T F TF T F F T T F F T T F F T T F F T TT F F F F F T T T T F F F F T T T TT T F F F F F F F F T T T T T T T T解：由上表可得有關(guān)公式為1.F 2.(PQ) 3.(QP) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(PQ) 8.(PQ)9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ13.P 14.QP 15.PQ 16.T(7) 證明：a) A(BA) A(BA) A(AB) A(AB)A(AB)b) (AB) (AB)(AB)(

9、AB)(AB)(AB)(AB)或 (AB) (AB)(BA)(AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA)(AB)(BA) 7 (AB)(AB)(AB)(AB)c) (AB) (AB) ABd) (AB)(AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)e) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD)(ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D(ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D)f) A(BC) A(BC) (AB)C(AB)C (AB)Cg) (AD)(BD)(AD)(BD)(AB)D (AB)D (AB)D h) (AB)C)(B(DC

10、)(AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C 8 (AB) (DB)C(AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C（8）解：a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)CTC Cb) A(A(BB) (AA)(BB) TF Tc) (ABC)(ABC) (AA) (BC)T(BC)BC （9）解：1）設(shè) C 為 T，A 為 T，B為 F，則滿足 ACBC，但 AB不成立。2）設(shè) C 為 F，A 為 T，B 為 F，則滿足 ACBC，但 AB 不成立。3）由題意知A和B 的真值相同，所以 A 和 B 的真值也相同。習(xí)題 1-5（1） 證明：a) (P(PQ)Q (

11、P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)Q (PQ)QPQQPTTb) P(PQ)P(PQ) 9 (PP)QTQTc) (PQ)(QR)(PR)因?yàn)?PQ)(QR)(PR)所以 (PQ)(QR)為重言式。d) (ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca)因?yàn)?ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 為重言式。（2） 證明： a)(PQ)P(PQ)解法 1：設(shè) PQ 為 T（1）若 P 為 T，則 Q 為 T，所以 PQ 為 T，故 P(PQ)為 T（2）若 P 為 F，則 Q 為

12、F，所以 PQ 為 F，P(PQ)為 T命題得證解法 2：設(shè) P(PQ)為 F ，則 P為 T，(PQ)為 F ，故必有 P 為 T，Q 為 F ，所以 PQ為 F。解法 3：(PQ) (P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ) T所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ設(shè) PQ 為 F，則 P為 F，且 Q 為 F，故 PQ 為 T，(PQ)Q 為 F，所以(PQ)QPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ設(shè) RQ 為 F，則 R為 T，且 Q 為 F，又 PP為 F所以 Q(PP)為 T，R(PP)為 F所以 R(R(PP)為 F，所以(Q(PP)(R(R(PP)為 F即(

13、Q(PP)(R(R(PP)RQ 成立。（3） 解：a) PQ表示命題“如果 8是偶數(shù)，那么糖果是甜的”。 b) a)的逆換式 QP 表示命題“如果糖果是甜的，那么 8 是偶數(shù)”。c) a)的反換式PQ表示命題“如果 8不是偶數(shù)，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式QP表示命題“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶數(shù)”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。 10 設(shè) P：天下雨。Q：我不去。PQ逆換式 QP 表示命題:如果我不去，則天下雨。逆反式QP表示命題:如果我去，則天不下雨b) 僅當(dāng)你走我將留下。設(shè) S：你走了。R：我將留下。RS逆換式 SR 表示命題：如果你走了則我將留下。逆反式SR表

14、示命題：如果你不走，則我不留下。c) 如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個(gè)任務(wù)。設(shè) E：我不能獲得更多幫助。H：我不能完成這個(gè)任務(wù)。EH逆換式 HE 表示命題：我不能完成這個(gè)任務(wù)，則我不能獲得更多幫助。逆反式HE表示命題：我完成這個(gè)任務(wù)，則我能獲得更多幫助（5） 試證明 PQ，Q 邏輯蘊(yùn)含 P。證明：解法 1： 本題要求證明(PQ) QP,設(shè)(PQ) Q 為 T，則(PQ)為 T，Q 為 T，故由的定義，必有 P為 T。所以(PQ) QP解法 2：由體題可知，即證(PQ)Q)P 是永真式。(PQ)Q)P(PQ) (PQ) Q)P(PQ) (PQ) Q) P(PQ) (PQ) Q) P(QPQ)

15、 (QPQ) P(QP) T) PQPPQT T（6） 解：P：我學(xué)習(xí) Q：我數(shù)學(xué)不及格 R：我熱衷于玩撲克。如果我學(xué)習(xí)，那么我數(shù)學(xué)不會(huì)不及格： PQ如果我不熱衷于玩撲克，那么我將學(xué)習(xí): RP但我數(shù)學(xué)不及格: Q因此我熱衷于玩撲克。 R即本題符號(hào)化為：(PQ)(RP)QR證：證法 1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T所以，論證有效。證法 2：設(shè)(PQ)(RP)Q 為 T，則因 Q為 T，(PQ) 為 T，可得 P 為 F， 11 由(RP)為 T，得到 R為 T。故本題論證有效。（7） 解：P：6 是偶數(shù) Q

16、：7 被 2 除盡 R：5 是素?cái)?shù)如果 6是偶數(shù)，則 7被 2除不盡 PQ或 5 不是素?cái)?shù)，或 7被 2除盡 RQ5是素?cái)?shù) R所以 6是奇數(shù) P即本題符號(hào)化為：（PQ）（RQ）R P證：證法 1：(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ)T所以，論證有效，但實(shí)際上他不符合實(shí)際意義。證法 2：(PQ)(RQ)R 為 T，則有 R為 T，且RQ 為 T，故 Q為 T，再由 PQ 為 T，得到P 為 T。（8） 證明：a) P(PQ)設(shè) P 為 T，則P 為 F，故PQ 為 Tb) ABCC假定ABC

17、為 T，則 C 為 T。c) CABB 因?yàn)?ABB為永真，所以 CABB 成立。d) (AB) AB設(shè)(AB)為 T，則 AB為 F。若 A 為 T，B 為 F，則A為 F，B 為 T，故AB 為 T。若 A 為 F，B 為 T，則A為 T，B 為 F，故AB 為 T。若 A 為 F，B 為 F，則A為 T，B 為 T，故AB 為 T。命題得證。e) A(BC)，DE，(DE)ABC設(shè)A(BC)，DE，(DE)A 為 T，則 DE 為 T，(DE)A 為 T，所以A 為 T又A(BC)為 T，所以 BC 為 T。命題得證。f) (AB)C，D，CDAB設(shè)(AB)C，D，CD 為 T，則D 為

18、 T，CD 為 T，所以 C 為 F 又(AB)C 為 T，所以 AB為 F，所以AB 為 T。命題得證。（9）解：a) 如果他有勇氣，他將得勝。P：他有勇氣 Q：他將得勝 12 原命題：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失敗了，說明他沒勇氣。b) 僅當(dāng)他不累他將得勝。P：他不累 Q：他得勝原命題：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他將失敗。習(xí)題 1-6(1)解：a) (PQ)P(PP)Q(TQ) b) (P(QR) PQ (P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c) PQ(RP)PQ(RP)(PQR)(PQP)(PQR)F PQR(PQR)(2)

19、解：a)P PPb)PQ(PQ) (PQ)(PQ)c)PQPQ (PP)(QQ)(3)解： P(PQ)P(PQ)TPP (PP)(PP)P(PP) 13 P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P)(PP)P)(PP)P)(4)解：PQ(PQ)(PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)證明：(BC)(BC) BC(BC)(BC)BC(6)解：聯(lián)結(jié)詞“”和“”不滿足結(jié)合律。舉例如下： a)給出一組指派：P 為 T，Q為 F，R為 F，則(PQ)R為 T，P(QR)為 F故 (PQ)R P(QR).b)給出一組指派：P 為 T，Q為 F，R為 F，則(PQ) R 為 T，P(QR)

20、為 F故(PQ)R P(QR).(7)證明：設(shè)變?cè)?P，Q，用連結(jié)詞,作用于 P，Q 得到：P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。但 PQQP，PPQQ，故實(shí)際有：P，Q，P，Q，PQ，PP（T） （A） 用作用于（A）類，得到擴(kuò)大的公式類（包括原公式類）：P，Q，P，Q，（PQ）， T，F(xiàn)， PQ （B）用作用于（A）類，得到：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ,PQPQ，P（PQ）Q，PTP, 14 Q（PQ）P，QTQ,（PQ）（PQ）PQ.因此，（A）類使用運(yùn)算后，仍在（B）類中。對(duì)（B）類使用運(yùn)算得：P，Q，P，Q，

21、PQ， F，T，（PQ），仍在（B）類中。對(duì)（B）類使用運(yùn)算得：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，PTP，PFP，P（PQ）Q，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ,QFQ， Q（PQ）P，PQPQ，P（PQ）Q，PTP, PFP,P（PQ）Q， Q（PQ）P，QTQ, QTQ,Q（PQ）P，（PQ）T（PQ），（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）FTFF，T（PQ） PQF（PQ） （PQ）（PQ）（PQ）PQ.故由（B）類使用運(yùn)算后，結(jié)果仍在（B）中。由上證明：用,兩個(gè)連結(jié)詞，反復(fù)作用在兩個(gè)變?cè)墓街?，結(jié)果只能產(chǎn)生（B）類中的公式，總共僅八個(gè)不同的公式，故,不是功能完備的，更不

22、能是最小聯(lián)結(jié)詞組。已證,不是最小聯(lián)結(jié)詞組，又因?yàn)?P Q （PQ），故任何命題公式中的聯(lián)結(jié)詞，如僅用 , 表達(dá)，則必可用,表達(dá)，其逆亦真。故 , 也必不是最小聯(lián)結(jié)詞組。(8)證明，和不是最小聯(lián)結(jié)詞組。 證明：若，和是最小聯(lián)結(jié)詞，則P（PP）P（PP）PP(P(P)對(duì)所有命題變?cè)概?T，則等價(jià)式左邊為 F，右邊為 T，與等價(jià)表達(dá)式矛盾。所以，和不是最小聯(lián)結(jié)詞。(9)證明,和, 是最小聯(lián)結(jié)詞組。證明：因?yàn)?為最小聯(lián)結(jié)詞組，且 PQPQ所以,是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又,都不是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組。所以,是最小聯(lián)結(jié)詞組。又因?yàn)?PQ(P Q)，所以, 是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又, 不是功能完 備的聯(lián)結(jié)詞組

23、，所以, 是最小聯(lián)結(jié)詞組。習(xí)題 1-7 c c c cc 15 (1) 解：P(PQ)P(PQ) (PP)(PQ)P(PQ) (P(QQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(2)解：a) (PQ)R (PQ)R PQR(PQ)(PQ) (QR)(QR)(RP)(RP)b) P(QR)S)P(QR)S)PQRS(PQ)(PQ) (QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(SP)c) (PQ)(ST) (PQ)(ST)(PQS)(PQT)d) (PQ)R(PQ)R(PQ)R(PR)(QR)e) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP)(3) 解：a) P(P

24、QR)(PP)(PQ)(PR)(PQ)(PR) 16 b) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PPQ)(QPQ)c) (PQ)(PQ) PQ(PQ)(PQ)(QP)d) (PQ)R(PQ)R (PQ)R (PR)(QR)e) (PQ)(PQ) (PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(4) 解：a) (PQ)(PQ)(PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(PQ) 1，2，3PQ=0b) Q(PQ) (PQ)(QQ) PQ =30，1，2(PQ)(PQ) (PQ)c) P(P(Q(QR)P(P(Q(QR)PQR= 01，2，3,4,5,6,7=(PQR) (PQR) (P

25、QR) (PQR) (PQR)(PQR) (PQR)d) (P(QR) )(P(QR) (P(QR) (P(QR) (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR) (PQR) (PQR) = 0,71，2，3,4,5,6 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)(PQR)e) P(P(QP)P(P(QP)(PP)(PQP)T(TQ) T 17 0,1,2,3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)f) (QP) (PQ) (QP) PQ (QP) (PQ) F0,1，2，3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(5) 證明：a)(AB) (AC) (AB)

26、(AC)A(BC)A(BC) (AB) (AC)b)(AB) (AB)(AB) (AB) (AB) (AB)A(BB)ATA(AB) (BA) (AB) (BA)A(BB)AFA c)AB(AB) (AA)(AB)BABBFAB(AB) (AA)(AB)BABBFd)A(A(AB)AA(AB)T AB(AB)(AB) (AB)T(6)解：AR(Q(RP),則 A* R(Q(RP) 18 AR(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)(RQ) (RP)A*R(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)(RQ) (RP)(7) 解：設(shè) A：A 去出差。B：B 去出差。C：C 去出差。D：D 去出差。若

27、A 去則 C和 D中要去一個(gè)。 A(CVD)B和 C不能都去。 (BC)C去則 D 要留下。 CD按題意應(yīng)有：A(CVD)，(BC)，CD 必須同時(shí)成立。 因?yàn)?CVD (CD) (DC)故(A(CVD)(BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (BD) (CD) C) (ABC) (ABD) (ACD) (AC)(BCD) (CDBD) (CDCD)(CDC) (DCBC) (DCBD)(DCCD) (DCC)在上述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得(AC) (BCD) （CD）

28、(DCB)故分派的方法為：BD ,或 DA,或 CA。(8) 解：設(shè) P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D 是第四。E：A 是第二。 由題意得 (PVQ) (RVS) (EVS) (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) (PQRS) (PQRS) (PQRS)(PQRS)(ES)(ES)因?yàn)?(PQRS)與(PQRS)不合題意，所以原式可化為(PQRS) (PQRS)(ES) (ES) (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES)(PQRSES) (PQRSE) (PQRSE)因 R 與 E 矛盾，故PQRSE 為真，即 A 不是第一，B 是第二，C 不是

29、第二，D 為第四，A不是第二。于是得： A 是第三 B 是第二 C 是第一 D 是第四。習(xí)題 1-8(1)證明： a)(PQ)，QR，RP(1) R P(2) QR P 19 (3) Q (1)(2)T,I(4) (PQ) P(5) PQ (4)T,E(6) P (3)(5)T,Ib)J(MN)，(HG)J，HGMN(1) (HG) J P(2) (HG) P (3) J (1)(2)T,I(4) J(MN) P(5) MN (3)(4)T,Ic)BC，(BC)(HG) GH(1) BC P(2) B (1)T,I(3) C (1)T,I (4) BC (2)T,I(5) CB (3)T,I(

30、6) CB (4)T,E(7) BC (5)T,E(8) BC (6)(7)T,E(9) (BC) (HG) P(10) HG (8)(9)T,I d)PQ，(QR)R，(PS) S(1) (QR) R(2) QR (1)T,I 20 (3) R (1)T,I(4) Q (2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,I(7) (PS) P(8) PS (7)T,E(9) S (6)(8)T,I (2) 證明：a)AB，CBAC(1) (A C) P(2) A (1)T,I(3) C (1)T,I(4) AB P(5) B (2)(4)T,I (6) CB P(7) B (3)(

31、6)T,I(8) BB 矛盾。(5),(7)b)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)(1) (A(BF) P(2) A (1)T,I(3) (BF) (1)T,I (4) B (3)T,I(5) F (3)T,(6) A(BC) P 21 (7) BC (2)(6)T,I(8) C (4)(7)T,I(9) F(DE) P(10) DE (5)(9)T,I(11) D (10)T,I(12) CD (8)(11)T,I(13) (CD) E P (14) E (12)(13)T,I(15) E (10)T,I(16) EE 矛盾。(14),(15)c)ABCD，DEFAF(1) (A

32、F) P(2) A (1)T,I(3) F (1)T,I (4) AB (2)T,I(5) (AB) CD P(6) CD (4)(5)T,I(7) C (6)T,I(8) D (6)T,I(9) DE (8)T,I(10) DEF P (11) F (9)(10)T,I(12) FF 矛盾。(3),(11)d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) BE 22 (1) (BE) P(2) B (1)T,I(3) E (1)T,I(4) BD P(5) D (2)(4)T,I(6) (EF) D P(7) (EF) (5)(6)T,I (8) E (7)T,I(9) EE 矛盾e)(AB)(

33、CD)，(BE)(DF)，(EF)，ACA(1) (AB) (CD) P(2) AB (1)T,I(3) (BE) (DF) P(4) BE (3)T,I (5) AE (2)(4)T,I(6) (EF) P(7) EF (6)T,E(8) EF (7)T,E(9) AF (5)(8)T,I(10) CD (1)T,I(11) DF (3)T,I (12) CF (10)(10)T,I(13) AC P(14) AF (13)(12)T,I 23 (15) FA (14)T,E(16) AA (9)(15)T,I(17) AA (16)T,E(18) A (17) T,E(3) 證明：a)AB

34、，CBAC(1) A P (2) AB P(3) B (1)(2)T,I(4) CB P(5) C (3)(4)T,I(6) AC CPb)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)(1) A P (2) A(BC) P(3) BC (1)(2)T,I(4) B P(5) C (3)(4)T,I(6) (CD) E P(7) C(DE) (6)T,E(8) DE (5)(7)T,I (9) DE (8)T,E(10) (DE) (9)T,E(11) F(DE) P 24 (12) F (10)(11)T,I(13) BF CP(14) A(BF) CPc)ABCD，DEFAF(1) A P

35、(2) AB (1)T,I(3) ABCD P (4) CD (2)(3)T,I(5) D (4)T,I(6) DE (5)T,I(7) DEF P(8) F (6)(7)T,I(9) AF CPd)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) BE (1) B P(附加前提)(2) BD P(3) D (1)(2)T,I(4) (EF)D P(5) (EF) (3)(4)T,I(6) E (5)T,I(7) BE CP (4)證明：a) RQ，RS，SQ，PQP(1) RQ P 25 (2) RS P(3) SQ P(4) Q (1)(2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,

36、Ib) SQ，SR，R，PQP證法一： (1) SR P(2) R P(3) S (1)(2)T,I(4) SQ P(5) Q (3)(4)T,I(6) PQ P(7)(PQ)(QP) (6)T,E (8) PQ (7)T,I(9) P (5)(8)T,I證法二：（反證法）(1) P P（附加前提）(2) PQ P(3)（PQ）（ QP） (2)T，E(4) PQ (3)T,I (5) Q (1)(4)T,I(6) SQ P(7) S (5)(6)T,I 26 (8) SR P(9) R (7)(8)T,I(10) R P(11) RR 矛盾（9）（10）T，Ic)(PQ)(RS)，(QP)R

37、)，RPQ(1) R P(2) (QP) R P (3) QP (1)(2)T,I(4)(PQ) (RS) P(5) (RS) (PQ) (4)T,E(6) RS (1)T,I(7) PQ (5)(6)(8) (PQ) (QP) (3)(7)T,I(9) PQ (8)T,E (5) 解：a) 設(shè) P：我跑步。Q：我很疲勞。前提為：PQ，Q(1) PQ P(2) Q P(3) P (1)(2)T,I結(jié)論為：P，我沒有跑步。 b) 設(shè) S：他犯了錯(cuò)誤。 R：他神色慌張。前提為：SR，R因?yàn)椋⊿R）R（SR）RR。故本題沒有確定的結(jié)論。 27 實(shí)際上，若 S R 為真，R 為真,則 S 可為真，S也

38、可為假，故無有效結(jié)論。c) 設(shè) P：我的程序通過。 Q：我很快樂。R：陽(yáng)光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一點(diǎn)理解為陽(yáng)光不好）前提為：PQ，QR，RS(1) PQ P(2) QR P(3) PR (1)(2)T,I(4) RS P (5) R (4)T,I(6) P (3)(5)T,I結(jié)論為： P，我的程序沒有通過習(xí)題 2-1,2-2（1） 解：a) 設(shè) W（x）：x 是工人。c：小張。則有 W（c） b) 設(shè) S（x）：x 是田徑運(yùn)動(dòng)員。B（x）：x是球類運(yùn)動(dòng)員。h：他則有 S（h）B（h）c) 設(shè) C（x）：x是聰明的。B（x）：x 是美麗的。l：小莉。則有 C（l） B（l）d）設(shè) O（

39、x）：x是奇數(shù)。則有 O（m） O（2m）。e)設(shè) R（x）：x 是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。 則有 （x）（Q（x）R（x）f) 設(shè) R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （x）（R（x）Q（x） 28 g) 設(shè) R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （x）（R（x）Q（x）h)設(shè) P（x，y）：直線 x 平行于直線 yG（x，y）：直線 x 相交于直線 y。則有 P（A，B）G（A，B）（2） 解：a) 設(shè) J(x)：x是教練員。L(x)：x 是運(yùn)動(dòng)員。 則有 （x）（J（x）L（x）b) 設(shè) S(x)：x是大學(xué)生。L(x)：x 是運(yùn)動(dòng)員。則有 （x）（L（x）S（x

40、）c) 設(shè) J(x)：x是教練員。O(x)：x 是年老的。V（x）：x是健壯的。則有 （x）（J（x）O（x）V（x）d) 設(shè) O(x)：x是年老的。V（x）：x 是健壯的。j：金教練則有 O（j）V（j） e) 設(shè) L(x)：x是運(yùn)動(dòng)員。J(x)：x 是教練員。則 （x）（L（x）J（x）本題亦可理解為：某些運(yùn)動(dòng)員不是教練。故 （x）（L（x）J（x）f) 設(shè) S（x）：x 是大學(xué)生。L（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。C（x）：x 是國(guó)家選手。則有 （x）（S（x）L（x）C（x）g) 設(shè) C（x）：x 是國(guó)家選手。V（x）：x 是健壯的。 則有 （x）（C（x）V（x）或（x）（C（x）V（x）h)

41、設(shè) C（x）：x 是國(guó)家選手。O（x）：x 是老的。L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。則有 （x）（O（x）C（x）L（x） 29 i) 設(shè) W（x）：x是女同志。H（x）：x 是家庭婦女。C（x）：x 是國(guó)家選手。則有 （x）（W（x）C（x）H（x）j）W（x）：x 是女同志。J（x）：x 是教練。C（x）：x 是國(guó)家選手。則有（x）（W（x）J（x）C（x）k）L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。J（y）：y 是教練。A(x,y)：x 欽佩 y。則有 （x）（L（x） （y）（J（y）A（x，y）l）設(shè) S（x）：x 是大學(xué)生。L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。A(x,y)：x欽佩 y。 則（x）（S（x）（y）（L（

42、y） A(x,y)）習(xí)題 2-3（1）解：a）5是質(zhì)數(shù)。b）2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)。c）對(duì)所有的x，若x能被2除盡，則x是偶數(shù)。d）存在x，x是偶數(shù)，且x能除盡6。（即某些偶數(shù)能除盡6） e）對(duì)所有的x，若x不是偶數(shù)，則x不能被2除盡。f）對(duì)所有的x，若x是偶數(shù)，則對(duì)所有的y，若x能除盡y，則y也是偶數(shù)。g）對(duì)所有的 x，若 x 是質(zhì)數(shù)，則存在y，y 是偶數(shù)且 x 能除盡y（即所有質(zhì)數(shù)能除盡某些偶數(shù)）。h）對(duì)所有的 x，若 x 是奇數(shù)，則對(duì)所有 y，y 是質(zhì)數(shù)，則x 不能除盡y（即任何奇數(shù)不能除盡任何質(zhì)數(shù)）。（2）解：（x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)(!z)(L(z)R(x,y,z)或

43、（x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)(z)(L(z)R(x,y,z) (u)(E(z,u) L(u)R(x,y,u) （3）解：a) 設(shè)N(x):x是有限個(gè)數(shù)的乘積。 z(y):y為0。 30 P(x):x的乘積為零。 F(y):y是乘積中的一個(gè)因子。則有 (x)(N(x)P(x)(y)(F(y)z(y)b) 設(shè)R(x):x是實(shí)數(shù)。Q(x,y):y大于x。 故 (x)(R(x)(y)(Q(x,y)R(y)c)R(x):x是實(shí)數(shù)。G(x,y):x大于y。 則(x)(y)(z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz)（4）解：設(shè)G(x,y):x大于y。則有 (x)(y)(z)(G(y,x

44、) G(0,z)G(xz,yz)（5）解：設(shè)N(x):x是一個(gè)數(shù)。 S(x,y):y是x的后繼數(shù)。E(x,y)：x=y.則 a) (x)(N(x)(!y)(N(y)S(x,y)或(x)(N(x)(y)(N(y)S(x,y) (z)(E(y,z) N(z)S(x,z)b) (x)(N(x)S(x,1)c) (x)(N(x)S(x,2)(!y)(N(y) S(y,x)或(x)(N(x)S(x,2)(y)(N(y) S(y,x) (z)(E(y,z) N(z)S(z,x)（6）解：設(shè)S(x):x是大學(xué)生。 E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。 G(y):y是大的。

45、 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:這本。 b:那位。則有 E(b)F(b)S(b)R(b,a)G(a)K(a)J(a)（7）解：設(shè)P(x,y):x在y連續(xù)。 Q(x,y):xy。則P(f,a)()()(x)(Q(,0)(Q(,0)Q(,|x-a|)Q(,|f(x)-f(a)|)習(xí)題 2-4(1) 解：a)x是約束變?cè)?，y是自由變?cè)?。b) x 是約束變?cè)琍(x)Q(x)中的x 受全稱量詞的約束，S(x)中的x 受存在量詞的約束。 c)x，y都是約束變?cè)?P(x)中的x受的約束，R(x)中的x受的約束。d)x，y是約束變?cè)?，z是自由變?cè)?31 (2) 解：a)P(a)P(b)P

46、(c)b)R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c)c)(P(a)Q(a)(P(b)Q(b)(P(c)Q(c)d)(P(a)P(b)P(c)(P(z)P(b)P(c)e)(R(a)R(b)R(c)(S(a)S(b)S(c)(3) 解：a)(x)(P(x)Q(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)， 但P(1)為T，Q(1)為F，P(2)為F，Q(2)為T,所以(x)(P(x)Q(x)(TF)(FT)T。b)(x)(PQ(x)R(a)(PQ(2)(PQ(3)(PQ(6)R(a)因?yàn)镻 為T，Q(2)為T，Q(3)為T，Q(6)為F，R(5)為F，所以(x)(PQ(x)R(a) (TT)(

47、TT)(TF)FF(4) 解：a)(u)(v)(P(u，z)Q(v)S(x，y)b) (u)(P(u)(R(u)Q(u)(v)R(v)(z)S(x,z) (5) 解：a)(y)A(u，y)(x)B(x，v)(x)(z)C(x，t，z)b) (y)P(u，y)(z)Q(u，z)(x)R(x，t)習(xí)題2-5（1）解： a) P(a,f(a)P(b,f(b)P(1,f(1)P(2,f(2)P(1,2)P(2,1)TFFb)(x)(y)P(y,x)(x)(P(1,x)P(2,x)(P(1,1)P(2,1)(P(1,2)P(2,2) (TF)(TF)Tc)(x)(y)(P(x,y)P(f(x),f(y)

48、 (x)(P(x,1)P(f(x),f(1)(P(x,2)P(f(x)f(2)(P(1,1)P(f(1),f(1)(P(1,2)P(f(1),f(2)(P(2,1)P(f(2),f(1)(P(2,2)P(f(2),f(2) 32 (P(1,1)P(2,2)(P(1,2)P(2,1)(P(2,1)P(1,2)(P(2,2)P(1,1)(TF(TF)(FT)(FT)FFTTF（2）解：a)(x)(P(x)Q(f(x),a)(P(1)Q(f(1),1)(P(2)Q(f(2),1)(FQ(2,1)(TQ(1,1)(FF)(TT)Tb)(x)(P(f(x)Q(x,f(a) (P(f(1)Q(1,f(1)

49、(P(f(2)Q(2,f(1) (TT)(FF)Tc) (x)(P(x)Q(x,a)(P(1)Q(1,a)(P(2)Q(2,a)(P(1)Q(1,1)(P(2)Q(2,1)(FT)(TF)Fd) (x)(y)(P(x)Q(x,y)(x)(P(x)(y)Q(x,y) (x)(P(x)(Q(x,1)Q(x,2)(P(1)(Q(1,1)Q(1,2)(P(2)(Q(2,1)Q(2,2)(F(TT)(T(FF)F(3) 舉例說明下列各蘊(yùn)含式。a) (x)(P(x)Q(a)(x)P(x)Q(a)b) (x) (P(x)Q(x),(x)Q(x)P(a)c) (x) (P(x)Q(x),(x)(Q(x)R(x

50、) (x)(P(x)R(x)d) (x) (P(x)Q(x),(x)P(x)(x)Q(x)e) (x) (P(x)Q(x),(x)P(x)(x)Q(x) 解：a）因?yàn)?x)(P(x)Q(a)(x)P(x)Q(a)故原式為(x)P(x)Q(a)(x)P(x)Q(a) 33 設(shè)P（x）：x是大學(xué)生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員前提 或者不存在x，x是大學(xué)生，或者a是運(yùn)動(dòng)員結(jié)論 如果存在x是大學(xué)生，則必有a是運(yùn)動(dòng)員。b)設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大學(xué)生。a：論域中的某人。前提：對(duì)論域中所有x，如果x不是研究生則x是大學(xué)生。對(duì)論域中所有x， x不是大學(xué)生。結(jié)論：對(duì)論域中所有x都是研究生。 故，對(duì)論

51、域中某個(gè)a，必有結(jié)論a 是研究生，即P（a）成立。c）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾讀過大學(xué)。R（x）：x曾讀過中學(xué)。前提 對(duì)所有x，如果x是研究生，則x曾讀過大學(xué)。對(duì)所有x，如果x曾讀過大學(xué)，則x曾讀過中學(xué)。結(jié)論：對(duì)所有x，如果x是研究生，則x曾讀過中學(xué)。d）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。前提 對(duì)所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。 對(duì)所有x，x不是研究生結(jié)論 必存在x，x是運(yùn)動(dòng)員。e）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。前提 對(duì)所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。對(duì)所有x，x不是研究生結(jié)論 對(duì)所有x，x是運(yùn)動(dòng)員。（4）證明：(x)(A(x)B(x)

52、(x) (A(x)B(x) (x)A(x) (x)B(x) (x)A(x)(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x)（5）設(shè)論域D=a，b，c，求證(x)A(x)(x)B(x)( x)(A(x)B(x)證明：因?yàn)檎撚駾=a，b，c，所以 34 (x)A(x)(x)B(x)(A(a) A(b) A(c) (B(a) B(b) B(c)(A(a) B(a) (A(a) B(b) (A(a) B(c) (A(b) B(a) (A(b) B(b) (A(b)B(c) (A(c) B(a) (A(c) B(b) (A(c) B(c)(A(a) B(a) (A(b) B(b)(A(c) B(c)( x)

53、(A(x)B(x)所以(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x)（6）解：推證不正確，因?yàn)?x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) （7）求證(x)(y)(P(x)Q(y) (x)P(x)(y)Q(y)證明：(x)(y)(P(x)Q(y)(x)(y)( P(x) Q(y)(x) P(x) (y)Q(y)(x)P(x) (y)Q(y)( x)P(x)(y)Q(y)習(xí)題2-6 （1）解：a) (x)(P(x)(y)Q(x,y)(x)( P(x) (y)Q(x,y)(x)(y) (P(x) Q(x,y)b) (x)(y)P(x,y)(z)Q(z)R(x)(x)(y)P(x,y)

54、(z)Q(z)R(x)(x)(y)P(x,y) (z)Q(z) R(x)(x)(y)P(x,y) (z)Q(z) R(x) (x)(y) (z) (P(x,y) Q(z) R(x)c)(x)(y)(zP(x,y,z)(u)Q(x,u)(v)Q(y,v) 35 (x)(y)( (z)P(x,y,z)(u)Q(x,u)(v)Q(y,v)(x)(y)( (z)P(x,y,z) (u)Q(x,u)(v)Q(y,v)(x)(y)( (z)P(x,y,z) (u)Q(x,u)(v)Q(y,v)(x)(y) (z) (u)(v) (P(x,y,z) Q(x,u)Q(y,v)（2）解：a) (x)P(x)(x

55、)Q(x)(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x)(x) (P(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x) T b) (x)(P(x)(y)(z)Q(x,y)(z)R(y,x)(x)( P(x) (y)( Q(x,y)R(y,x)(x) (y) ( P(x) Q(x,y) R(y,x)前束合取范式(x) (y)(P(x) Q(x,y) R(y,x)(P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x)(P(x) Q(x,y) R(y,x)( (P(x) Q(x,y) R(y,x)(P(x) Q(x

56、,y) R(y,x)前束析取范式c) (x)P(x)(x)(z)Q(x,z)(z)R(x,y,z)(x)P(x) (x)(z)Q(x,z)(z)R(x,y,z) (x)P(x) (x)(z)Q(x,z)(u)R(x,y,u)(x)(P(x) (z)Q(x,z)(u)R(x,y,u)(x) (z) (u)(P(x) Q(x,z)R(x,y,u) 36 前束合取范式(x) (z) (u)( P(x) Q(x,z) R(x,y,u)(P(x) Q(x,z) R(x,y,u)(P(x) Q(x,z) R(x,y,u)(P(x) Q(x,z) R(x,y,u)(P(x) Q(x,z) R(x,y,u)(

57、P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u)前束析取范式d)(x)(P(x)Q(x,y)(y)P(y)(z)Q(y,z)(x)( P(x) Q(x,y) (y)P(y)(z)Q(y,z)(x)( P(x) Q(x,y) (u)P(u)(z)Q(y,z)(x) (u)(z) ( P(x) Q(x,y) (P(u)Q(y,z)前束析取范式 (x) (u) (z) ( P(x)P(u) (P(x)Q(y,z) (Q(x,y)P(u) (Q(x,y)Q(y,z)前束合取范式習(xí)題2-7(1) 證明：(2) a)(x)(A(x)B(x) PA(u)B(u) US(x

58、)B(x) P B(u) USA(u)B(u) TEA(u) TI 37 ( x)A(x) EGb)( x)(A(x)B(x) P（附加前提）(x)(A(x)B(x) TE(A(c)B(c) ESA(c) TIB(c) TI(x)A(x) EG (x)A(x)(x)B(x) P(x)B(x) TIB(c) USB(c) B(c) T矛盾c）(x)(A(x)B(x) PA(u)B(u) US(x)(C(x)B(x) P C(u)B(u) USB(u) A(u) TEC(u)A(u) TI(x)(C(x)A(x) UGd) (x)(A(x)B(x),(x)(B(x)C(x),(x)C(x)(x)A

59、(x)(x)(B(x)C(x) PB(u)C(u) US (x)C(x) PC(u) USB(u) TI 38 (x)(A(x)B(x) PA(u)B(u) USA(u) TI(x)A(x) UG(2) 證明：a)( x)P(x) P（附加前提）P(u) US (x)(P(x)Q(x) PP(u)Q(u) USQ(u) TI(x)Q(x) UG(x)P(x)(x)Q(x) CPb)因?yàn)?x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x) (x)Q(x)故本題就是推證(x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x) (x)P(x) P（附加前提）(x)P(x) TEP(c) ES(x)(P(x)Q

60、(x) PP(c)Q(c) ESQ(c) TI(x)Q(x) EG (x)P(x) (x)Q(x) CP(3)解：a)設(shè) R（x）：x 是實(shí)數(shù)。Q（x）：x 是有理數(shù)。I（x）：x是整數(shù)。 39 本題符號(hào)化為：(x)(Q(x) R(x) (x)(Q(x) I(x) (x)(R(x) I(x)(x)(Q(x) I(x) PQ(c) I(c) ES(x)(Q(x) R(x) PQ(c) R(c) USQ(c) TI R(c) TII(c) TIR(c)I(c) TI(x)(R(x) I(x) EGb)設(shè)P（x）：x喜歡步行。Q（x）：x喜歡乘汽車。R（x）：x喜歡騎自行車本題符號(hào)化為：(x)(P(

61、x) Q(x),(x)(Q(x) R(x),(x) R(x)(x) P(x) (x) R(x) PR(c) ES(x)(Q(x) R(x) PQ(c) R(c) USQ(c) TI(x)(P(x) Q(x) PP(c) Q(c) US P(c) TI(x) P(x) EG 40 c) 每個(gè)大學(xué)生不是文科學(xué)生就是理工科學(xué)生，有的大學(xué)生是優(yōu)等生，小張不是理工科學(xué)生，但他是優(yōu)等生，因而如果小張是大學(xué)生，他就是文科學(xué)生。設(shè) G（x）：x是大學(xué)生。L（x）：x 是文科學(xué)生。P（x）：x是理工科學(xué)生。S（x）：x 是優(yōu)秀生。c：小張。本題符號(hào)化為：(x)(G(x) L(x)P(x), (x)(G(x) S

62、(x), P(c),S(c) G(c) L(c)G(c) P（附加前提）(x)(G(x) L(x) P(x) PG(c) L(c)P(c) USL(c)P(c) TIP(c) PL(c) TIG(c) L(c) CP注意：本題推證過程中未用到前提(x)(G(x) S(x)以及S(c)。主要是 S（x）：x 是優(yōu)秀 生，這個(gè)條件與其他前提的聯(lián)系對(duì)證明結(jié)論沒有影響，因 S（x）與其他前提不矛盾，故本題的推證仍是有效的。 41 42 43 44 45 46 47 證明 設(shè) A上定義的二元關(guān)系 R 為：x,y, u,vRxy =uv1 對(duì)任意x,yA，因?yàn)閤y =xy ，所以x,y, x,yR即 R是

63、自反的。2 設(shè)x,yA，u,vA，若x,y, u,vRxy =uv uv =xy u,v,x,yR即 R是對(duì)稱的。 3 設(shè)任意x,yA，u,vA，w,sA，對(duì)x,y, u,vRu,v, w,sR（xy =uv ）（uv =ws ）xy =wsx,y, w,sR故 R是傳遞的，于是 R是 A上的等價(jià)關(guān)系。3-10.6 設(shè) R是集合 A 上的對(duì)稱和傳遞關(guān)系，證明如果對(duì)于 A 中的每一個(gè)元素 a,在 A 中同時(shí)也存在 b，使在 R之中，則 R 是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。證明 對(duì)任意 aA，必存在一個(gè) bA，使得a,bR. 因?yàn)?R是傳遞的和對(duì)稱的，故有：a,bRb, cRa, cRc,aR由a,cRc, aR

64、a,aR所以 R在 A上是自反的，即 R是 A上的等價(jià)關(guān)系。3-10.7 設(shè) R 1和 R2是非空集合 A上的等價(jià)關(guān)系，試確定下述各式，哪些是 A 上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)不是的式子，提供反例證明。a）（AA）-R1；b）R1-R2；c）R12；d) r（R1-R2）（即 R1-R2的自反閉包）。解 a）（AA）-R1不是 A上等價(jià)關(guān)系。例如：A=a,b，R 1=a,a，b,bAA=a,a，a,b，b,a，b,b（AA）-R1=a,b，b,a 48 所以（AA）-R1不是 A上等價(jià)關(guān)系。b）設(shè) A=a,b,cR1=a,b，b,a，b,c，c,b，a,c，c,a，a,a，b,b，c,cR2=a,a，b,

65、b，c,c，b,c，c,bR1-R2=a,b，b,a，a,c，c,a所以 R1和 R2是 A上等價(jià)關(guān)系，但 R1-R2不是 A 上等價(jià)關(guān)系。c）若 R 1是 A 上等價(jià)關(guān)系，則a,aR1a,aR1R1所以 R12是 A上自反的。若a,bR12則存在 c，使得a, cR1c,bR1。因 R1對(duì)稱，故有b, cR 1c,aR1b, aR12即 R12是對(duì)稱的。若a,bR12b, cR12,則有a,bR1R1b, cR1R1（e 1）（a,e1R1e1, bR1) （e2）（b,e2R1e2, cR1）a,bR1b, cR1（R1傳遞）a,cR12即 R12是傳遞的。故 R 12是 A上的等價(jià)關(guān)系。

66、d）如 b）所設(shè)，R1和 R2是 A 上的等價(jià)關(guān)系，但r（R1-R2）=（R1-R2）IA=a,b, b,a, a,c，c,a，a,a，b,b, c,c不是 A上的等價(jià)關(guān)系。3-10.8 設(shè) C* 是實(shí)數(shù)部分非零的全體復(fù)數(shù)組成的集合，C* 上的關(guān)系 R 定義為：(a+bi)R(c+di)ac0,證明 R 是等價(jià)關(guān)系，并給出關(guān)系 R 的等價(jià)類的幾何說明。證明：(1)對(duì)任意非零實(shí)數(shù) a，有 a 20(a+bi)R(a+bi)故 R 在 C*上是自反的。(2) 對(duì)任意(a+bi)R(c+di)ac0,因 ca=ac0(c+di)R(a+bi),所以 R在 C*上是對(duì)稱的。(3)設(shè)(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，則有 ac0cu0若 c0，則 a0u0 au0若 c0，則 a0u0 49 所以(a+bi)R(u+vi)，即 R 在 C*上是傳遞的。關(guān)系 R的等價(jià)類，就是復(fù)數(shù)平面上第一、四象限上的點(diǎn)，或第二、三象限上的點(diǎn)，因?yàn)樵谶@兩種情況下，任意兩個(gè)點(diǎn)(a,b)，(c,d)，其橫坐標(biāo)乘積 ac0。3-10.9 設(shè)和是非空集合 A上的劃分，并設(shè) R和 R分別為由和誘導(dǎo)的等