【備戰(zhàn)2014】高中數(shù)學(xué)第61講幾何概型配套試題(含解析)理新人教B版

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1、 [ 第 61 講 幾何概型 ] ( 時(shí)間： 35 分鐘 分值： 80 分 ) 基礎(chǔ)熱身 1．[2013 武漢武昌區(qū)調(diào)研 ] 在區(qū)間 [ — 1， 1] 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) k，使直線 y＝ k( x＋ 2) 與圓 x2＋ y2＝ 1 相交的 概率為 ( ) 1 1 3 3 A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 2．[2013 衡水一中調(diào)研 ] 有四個(gè)游戲盤， 將它們水平放穩(wěn)后， 在上面扔一顆玻璃小球， 若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇

2、的游戲盤是 ( ) 圖 K61－ 1 3．[2013 石家莊質(zhì)檢 ] 已知函數(shù) y＝ sin x，x∈[ － π ，π ] 與 x 軸圍成的區(qū)域記為 M， 若隨機(jī)向圓 ： x 2＋ y 2＝ π2 內(nèi)投入一米粒，則該米粒落在區(qū)域 內(nèi)的概率是 () O M 4 4 2 2 A. π 2 B. π 3 C. π 2 D. π 3 圖 K61－ 2 4．

3、為了測(cè)算如圖 K61－ 2 所示陰影部分的面積， 作一個(gè)邊長(zhǎng)為 6 的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲 800 個(gè)點(diǎn)．已知恰有 200 個(gè)點(diǎn)落在陰影部分， 據(jù)此， 可估計(jì)陰影部分 的 面 積 是 ________________________________________________________________________ ． 能力提升 5．[2013 邯鄲一模 ] 某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)， 則他等待時(shí)間不多于 15 分鐘的概率為 () 1 1 2 3

4、A. 2 B. 4 C. 3 D. 4 6．已知長(zhǎng)方形 中， ＝ 4， ＝ 1， 為 的中點(diǎn)， 則在此長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) ， P與 M的距離小于 ABCD ABBCM AB P 1 的概率為 ( ) π ππ π A. 4 B ． 1－ 4 C. 8 D ．1－ 8 1 圖 K61－ 3 7．[201 3臨沂模擬 ] 扇形 AOB的半徑為 1，圓心角為 90

5、 . 點(diǎn) C，D，E 將弧 AB等分成 四份．連接 OC， OD， OE，從圖 K61－3 中所有的扇形中隨機(jī)取出一個(gè)，面積恰為 π 8 的概率是 ( ) 3 1 2 1 A. 10 B. 5 C. 5 D. 2 8．[2013 汕頭質(zhì)檢 ] 已知實(shí)數(shù) x∈[ － 1， 1] ， y∈[0 ， 2] ，則點(diǎn) P( x， y) 落在區(qū)域 2 － y ＋2≥0， x x－ 2y＋1≤0， 內(nèi)的概率為 ()

6、 x＋ y－2≤0 3 3 3 1 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 9．[2013 武漢調(diào)研 ] 有一根長(zhǎng)為 1 m的細(xì)繩子，隨機(jī)從中間將細(xì)繩剪斷，則使兩截的 1 長(zhǎng)度都大于 8 m 的概率為 ________． 圖 K61－ 4 10．圖 K61－ 4(2) 中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體 ( 圖(1)) 的平面展開圖，其中四邊形 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形． 若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)， 它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖

7、 1 內(nèi)的概率是 4，則此長(zhǎng)方體的體積為 ________． 圖 K61－ 5 11．如圖 K61－ 5，矩形 OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線 f ( x) ＝sin x，x∈(0 ， π ) 及直線 x ＝a( a∈(0 ， π )) 與 x 軸圍成，向矩形 OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為 3 16， 則 a 的值是 ________． x≤ 1， 12． (13 分)[2013 吉林一模 ] 記不等式組 x－ y＋2≥0， 表示的平面區(qū)域?yàn)?M. x＋ y＋1≥0

8、 (1) 畫出平面區(qū)域 M，并求平面區(qū)域 M的面積； (2) 若點(diǎn) ( a，b) 為平面區(qū)域 M中任意一點(diǎn)， 求直線 y＝ ax＋b 的圖象經(jīng)過第一、 二、四象限的概率． 2 圖 K61－ 6 難點(diǎn)突破 13． (12 分)[2013 青島一模 ] 已知關(guān)于 x 的一元二次函數(shù) f ( x) ＝ ax2－ 4 bx＋1. (1) 設(shè)集合 P＝ {1 ， 2， 3} 和 Q＝ { － 1， 1， 2， 3， 4}

9、 ， 分別從集合 P 和 Q中隨機(jī)取一個(gè) 數(shù)作為 a 和 b，求函數(shù) y＝ f ( x) 在區(qū)間 [1 ，＋∞ ) 上是增函數(shù)的概率； x＋y－8≤0， (2) 設(shè)點(diǎn) ( a ， b) 是區(qū)域 x>0， 內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)， y >0 記 A＝{ y＝ f ( x) 有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)大于 1，另一個(gè)小于 1} ，求事件 A發(fā)生的概率．

10、 3 課時(shí)作業(yè) ( 六十一 ) 【基礎(chǔ)熱身】 1－( － 1) ＝ 2，圓 x2＋ y2＝ 1 的圓 1．C [ 解析 ] 由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為 心為 (0 ， 0) ，要使直線 y＝ k( x＋ 2) 與圓 x2＋ y2＝ 1 相交，則圓心到直線 y＝k( x＋ 2) 的距離

11、 2 3 |2 k| 3 3 3 d ＝ k2＋ 1 ≤1，解得－ 3 ≤ k≤ 3 ，根據(jù)幾何概型的概率公式，可得所求的概率 P＝ 2 ＝ 3 3 ，故選 C. 3 2 2 1 2． A [ 解析 ] 利用幾何

12、概型的概率公式，得 P( A) ＝8， P( B) ＝8， P( C) ＝ 6， P( D) ＝ 3， ∴P( A) ＞ P( C) ＝ P( D) ＞ P( B) ，故選 A. 3．B [ 解析 ] 構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域， 面積為 π3，正弦曲線 y＝sin x( x∈[ － π， π ]) 與 x 軸圍成的區(qū)域記為 M M 的面積為 S 2 πsin xdx ，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，得區(qū)域 ＝

13、 0 ＝－ 2cosx π ) 0＝ 4，所以由幾何概型的計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓 O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn) A，則 點(diǎn) A 落在區(qū)域 M內(nèi)的概率 P＝ 4 3，故選 B. π 4． 9 [ 解析 ] 200 1 點(diǎn)落在陰影部分

14、的頻率是 800＝ 4，由于是隨機(jī)的投擲點(diǎn)，點(diǎn)落在正方形 1 內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的，因此我們就有理由相信陰影部分的面積就是整個(gè)正方形面積的 4，故陰影 1 部分的面積約為 4 36＝ 9. 【能力提升】 5． B [ 解析 ] 由題意知問題與時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)，可作為幾

15、何概型求解，因?yàn)殡娕_(tái)整點(diǎn)報(bào) 時(shí)，則事件總數(shù)包含的時(shí)間長(zhǎng)度是 60，設(shè)事件 A表示“他等待的時(shí)間不多于 15 分鐘”，事 15 1 件 A 包含的時(shí)間長(zhǎng)度是 15，由幾何概型的概率公式得到 P(A) ＝ 60＝4，故選 B. 6． C [ 解析 ] 構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方形 ABCD的內(nèi)部，長(zhǎng)方形 ABCD的面積為 S＝ 41＝ 4；以 M點(diǎn)為圓心，以 1 為半徑在長(zhǎng)方形 ABCD中作半圓， 則該半圓內(nèi)的任一點(diǎn)與 M

16、 π 的距離小于 1，半圓的面積 1 1 21 2 π S ＝2π 1 ＝ 2π，因此 P 與 M的距離小于 1 的概率為 4 ＝ 8 ， 故選 C. 7． A [ 解析 ] 依題意得知，圖中共有 10 個(gè)不同的扇形，分別為扇形 AOB， AOC， AOD， π

17、 π AOE， EOB，EOC，EOD， DOC， DOB， COB，其中面積恰為 8 的扇形即相應(yīng)圓心角恰為 4 的扇形 共有 3 個(gè) ( 即扇形 AOD， EOC，BOD)，因此所求的概率等于 3 ，故選 . 10 A 8.

18、 B [ 解析 ] 所求概率為圖中陰影部分的面積與正方形面積的比值．正方形的面積為 4， 4 1 陰影部分的面積為正方形 面積減去三個(gè)小直角三角形面積所得的差，其值為 4－ 1－ 1－2＝ 3，所以所求 概率為 P＝ 3 4＝ 3，故選 . 2 2 8 B 3

19、 9. 4 [ 解析 ] 選擇長(zhǎng)度為相應(yīng)測(cè)度，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為 1，用 A 表示事 件“兩截的長(zhǎng)度都大于 1 m”，則從中間將細(xì)繩剪斷，剪得兩段的長(zhǎng)都大于 1 m，臨界處為 1 8 8 3 － 1 2＝ 3 ，故使兩截的長(zhǎng)度都大于 1 4 3 . 的概率 P(A) ＝ ＝ 8 4 m 8 m

20、 1 4 10．3 [ 解析 ] 設(shè)長(zhǎng)方體的高為 h，則圖 (2) 中虛線圍成的矩形長(zhǎng)為 2＋ 2h，寬為 1＋ 2h， 面 積 為 (2 ＋ 2h)(1 ＋ 2h) ， 展 開 圖 的 面 積 為 2 ＋ 4h. 由 幾 何 概 型 的 概 率 公 式 知 2＋4h 1 （2＋ 2h）（ 1＋ 2h）＝ 4，得 h＝3，所以長(zhǎng)方體的體積是 V＝13＝ 3. 2π 11. 3 [ 解

21、析 ] 構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方形 OABC的內(nèi)部，長(zhǎng)方形 OABC的面積為 S 8 asin xdx＝－ cosx a 0＝ 1－ cosa，由幾何概型的概 ＝a a＝ 8；陰影部分的面積 S1＝ ) 0 率公式，得 S1 3 1－ cosa 3 1 2π S＝ 16，即 8 ＝ 16，解

22、得 cosa＝－ 2，則 a 的值是 3 . 3 1 12．解： (1) 如圖，△ ABC 的內(nèi)部及其各條邊就表示平面區(qū)域 M，其中 A－ 2， 2，B(1 ， 3) ， C(1，－ 2) ， 1 5 25 ∴平面區(qū)域 M的面積為 2 2 5＝ 4 . (2) 要使直線 y＝ ax＋ b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則 a<0， b>0， 又點(diǎn) (a

23、， b) 的區(qū)域?yàn)? M，故使直線 y＝ax＋ b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的點(diǎn) (a ， b) 1 1 的區(qū)域?yàn)榈诙笙薜年幱安糠?，故所求的概率? 2－ 221 7 P＝ ＝ . 25 25 4 【難點(diǎn)突破】 13．解： (1) ∵函數(shù) f(x) ＝ ax2－ 4bx＋ 1 的圖象的對(duì)稱軸為 x＝ 2b， 2－ 4bx＋ 1 a 要使 f(x) ＝ a

24、x 在區(qū)間 [1 ，＋∞ ) 上為增函數(shù)， 2b 當(dāng)且僅當(dāng) a>0 且 a ≤ 1，即 2b≤a. 當(dāng) a＝1 時(shí)， b＝－ 1；當(dāng) a＝ 2 時(shí)， b＝－ 1，1；當(dāng) a＝3 時(shí)， b＝－ 1， 1. 記 B＝{ 函數(shù) y＝f(x) 在區(qū)間 [1 ，＋∞ ) 上是增函數(shù) } ，則事件 B 包含基本事件的個(gè)數(shù)是 1＋2＋ 2＝ 5， 5 5 1 ∴ P(B) ＝ 15＝ 3. a＋ b－8≤0， (2) 依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?Ω ＝ （ a， b） a>0， ， b>0

25、1 其面積 SΩ＝ 2 8 8＝ 32， 事件 A 構(gòu)成的區(qū)域 a＋ b－8≤0， a＋b－8≤0， A＝ （ a， b） a>0， ＝ （ a， b） a>0， b>0， . b>0， f （ 1） <0 a－ 4b＋ 1<0 a＋ b－ 8＝ 0， 31 9 由 a－ 4b＋ 1＝0， 得交點(diǎn)坐標(biāo)為 5 ， 5 ， 1 1 31 961 ∴ SA＝ 8－ ＝ ， 2 4 5 40 SA 961 ∴事件 A 發(fā)生的概率為 P(A) ＝ ＝. S 1 280 Ω 6