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1、第 2講 橢圓、雙曲線、拋物線 專題五 解析幾何 2016考向?qū)Ш?適用于全國(guó)卷 圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高考中每年必考的內(nèi)容， 所占分?jǐn)?shù)約在 12 18分主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾 何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容對(duì)圓錐曲線方 程與性質(zhì)的考查，以選擇題、填空題為主，對(duì)直線與圓錐曲 線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識(shí)交匯，形成曲線中的存 在性問題、曲線中的證明問題等，多以解答題的形式出現(xiàn) 專題五 解析幾何 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 1 必記定義與性質(zhì) (1)圓錐曲線 名 稱 橢 圓 雙曲線 拋物線 定 義 |PF1|
2、 |PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF| |PM|， PM l 于 M (l為拋物 線的準(zhǔn)線 ) 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 名 稱 橢 圓 雙曲線 拋物線 幾何性質(zhì) 軸 離心率 漸近線 e c a 1 b 2 a 2 ( 0 e 1 ) y bax 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 2 ) 拋物線的過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng) 拋物線 y 2 2 px ( p 0 ) 的過焦點(diǎn) F p 2 ， 0 的弦 AB ， 若 A (
3、x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 則 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ， 弦長(zhǎng) | AB | x 1 x 2 p . 2 辨明易錯(cuò)易混點(diǎn) ( 1) 忽略定義：題目中出現(xiàn)與焦點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí) ， 易忽略定義的 使用 ( 2) 易忽略焦點(diǎn)位置：焦點(diǎn)位置沒有明確給出時(shí) ， 應(yīng)對(duì)焦點(diǎn)位置 進(jìn)行分情況討論 ， 橢圓、雙曲線有兩種情況 ， 拋物線有四種情況 ( 3) 混淆橢圓、雙曲線 中 a 、 b 、 c 的關(guān)系 ， 橢圓： a 2 b 2 c 2 ， 雙 曲線： c 2 a 2 b 2 . 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化
4、 精練提能 專題五 解析幾何 考點(diǎn)一 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 命題角度 1 求圓錐曲線的方程 2 圓錐曲線的定義及其應(yīng)用 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 1 ) ( 2 0 1 5 高考天津卷 ) 已知雙曲線 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F (2 ， 0 ) ， 且雙曲線的漸近線與圓 ( x 2) 2 y 2 3 相切 ， 則雙曲線的方程為 ( ) A. x 2 9 y 2 13 1 B. x 2 13 y 2 9 1 C. x 2 3 y 2 1 D x 2 y 2 3 1 ( 2
5、) 已知拋物線 C ： y 2 8 x 的焦點(diǎn)為 F ， 準(zhǔn)線為 l， P 是 l 上一點(diǎn) ， Q 是直線 PF 與 C 的一個(gè)交點(diǎn) ， 若 FP 4 FQ ， 則 | QF | ( ) A. 7 2 B. 5 2 C 3 D 2 D C 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 思路點(diǎn)撥 ( 1 ) 利用漸近線與圓相切以及焦點(diǎn)坐標(biāo) ， 列出方程組 求解 ( 2 ) 利用 FP 4 FQ 轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度關(guān)系 ， 再利用拋物線定義求解 解析 ( 1 ) 由雙曲線的漸近線 y b a x 與圓 ( x 2) 2 y 2 3 相切可 知 | b a 2| 1
6、 b a 2 3 ， c 2 ， a 2 b 2 c 2 ， 解得 a 1 ， b 3 . 故所求雙曲線的方程為 x 2 y 2 3 1. 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 2 ) 因?yàn)?FP 4 FQ ， 所以 | FP | 4| FQ |， 所以 | PQ | | PF | 3 4 . 如圖 ， 過 Q 作 QQ l， 垂足為 Q ， 設(shè) l 與 x 軸的交點(diǎn)為 A ， 則 | AF | 4 ， 所以 | PQ | | PF | | QQ | | AF | 3 4 ， 所以 | QQ | 3 ， 根據(jù)拋物線定義可知 | QQ |
7、| QF | 3. 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 1 本例 ( 1 ) 中條件變?yōu)?“ 一條漸近線過點(diǎn) (2 ， 3 ) ， 且雙曲線的一 個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 y 2 4 7 x 的準(zhǔn)線上 ” ， 則雙曲線的方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 解析：由雙曲線的漸近線 y b a x 過點(diǎn) ( 2 , 3 ) ， 可得 3 b a 2. 由雙曲線的焦點(diǎn) ( a 2 b 2 ， 0 ) 在拋物線 y 2 4 7 x 的準(zhǔn)線 x 7 上 ， 可得 a 2 b 2 7 . 由 解得 a 2 ， b 3 ，
8、 所以雙曲線的方程為 x 2 4 y 2 3 1. x 2 4 y 2 3 1 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 2 把本例 ( 2 ) 條件 “ FP 4 FQ ” 改為 “ PF 1 2 PQ ” ， 其他條件不 變 ， 則 | QF | _ _ _ _ _ _ _ _ 解析：如圖 ， 過 Q 作 QQ l， 垂足為 Q ， A 為 l 與 x 軸的交點(diǎn) 因?yàn)?PF 1 2 PQ ， 所以 | PF | 1 2 | PQ |. 因?yàn)?P A F PQ Q ， 所以 | AF | | QQ | | PF | | PQ | ， 所以 |
9、QQ | 8 ， 因此 | QF | | QQ | 8. 8 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 3 ( 2 0 1 5 云南省第一次統(tǒng)一檢測(cè) ， T 10 ) 已知 F 1 、 F 2 是雙曲線 M ： y 2 4 x 2 m 2 1 的焦點(diǎn) ， y 2 5 5 x 是雙曲線 M 的一條漸近線 ， 離心 率 等于 3 4 的橢圓 E 與雙曲線 M 的焦點(diǎn)相同 ， P 是橢圓 E 與雙曲 線 M 的一個(gè)公共點(diǎn) ， 設(shè) | PF 1 | | PF 2 | n ， 則 ( ) A n 12 B n 24 C n 3 6 D n 12 且 n 2
10、4 且 n 36 A 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 解析： 由題意得 ， 雙曲線的方程為 y 2 4 x 2 5 1 ， 橢圓的方程為 x 2 7 y 2 16 1 ， 不妨設(shè) | PF 1 | | PF 2 | ， 從而可知 | PF 1 | | PF 2 | 8 ， | PF 1 | | PF 2 | 4 | PF 1 | 6 ， | PF 2 | 2 | PF 1 | | PF 2 | n 1 2 . 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 方法歸納 (1)圓錐曲線定義的應(yīng)用 已
11、知橢圓、雙曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)，首先要考慮使用橢圓、 雙曲線的定義求解 應(yīng)用拋物線的定義，靈活將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與 到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化使問題得解 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 (2)圓錐曲線方程的求法 求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是 “先定型，后計(jì)算 ” 定型就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置， 從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 計(jì)算即利用待定系數(shù)法求出方程中的 a2， b2或 p.另外，當(dāng) 焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為 y2 2ax或 x2 2ay(a0)， 橢圓常設(shè)為 mx2 ny2 1(m0， n0)，雙曲線常設(shè)為 mx2 ny
12、2 1(mn0). 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 命題角度 1 求橢圓 、 雙曲線的離心率或離心率的范圍 2 由圓錐曲線的性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 3 求雙曲線的漸近線方程 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 1 ) ( 2 0 1 5 高考湖南卷 ) 設(shè) F 是雙曲線 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1 的一個(gè) 焦點(diǎn)若 C 上存在點(diǎn) P ， 使線段 PF 的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端 點(diǎn) ， 則 C 的離心率為 _ _ _ _ _ _ _ _
13、( 2 ) 已知橢圓 E ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的右焦點(diǎn)為 F ， 短軸的一個(gè) 端點(diǎn)為 M ， 直線 l ： 3 x 4 y 0 交橢圓 E 于 A ， B 兩點(diǎn)若 | AF | | BF | 4 ， 點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于 4 5 ， 則橢圓 E 的離心率的 取值范圍是 ( ) A (0 ， 3 2 B (0 ， 3 4 C 3 2 ， 1 ) D 3 4 ， 1 ) 5 A 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 思路點(diǎn)撥 ( 1 ) 根據(jù)題意建立 a ， c 間的聯(lián)系 ， 再利用離心率公 式計(jì)算
14、 ( 2 ) 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可求得 a 的值 ， 再根據(jù)短軸的端點(diǎn)到直線的 距離求得 b 的取值范圍 ， 代入離心率公式即可 解析 ( 1 ) 不妨設(shè) F ( c ， 0 ) ， PF 的 中點(diǎn)為 ( 0 ， b ) 由中點(diǎn)坐標(biāo) 公式可知 P ( c ， 2 b ) 又點(diǎn) P 在雙曲線上 ， 則 c 2 a 2 4 b 2 b 2 1 ， 故 c 2 a 2 5 ， 即 e c a 5 . 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 2 ) 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得 A ， B 兩點(diǎn)到橢圓左、右 焦點(diǎn)的距離為 4 a 2 ( | AF
15、 | | BF |) 8 ， 所以 a 2. 又 d |3 0 4 b | 3 2 （ 4 ） 2 4 5 ，所以 1 b 2 ， 所以 e c a 1 b 2 a 2 1 b 2 4 . 因?yàn)?1 b 2 ， 所以 0 e 3 2 . 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 方法歸納 圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用 (1)分析圓錐曲線中 a， b， c， e各量之間的關(guān)系是求解問題的 關(guān)鍵 (2)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍 ， 其關(guān)鍵就是確立 一個(gè)關(guān)于 a， b， c的方程 (組 )或不等式 (組 )， 再根據(jù) a， b， c的 關(guān)系消掉 b得到
16、 a， c的關(guān)系式 建立關(guān)于 a， b， c的方程 (組 )或 不等式 (組 )， 要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì) 、 點(diǎn)的坐 標(biāo)的范圍等 注 求橢圓 、 雙曲線的離心率 ， 常利用方程思想及整體代 入法 ， 該思想及方法利用待定系數(shù)法求方程時(shí)經(jīng)常用到 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 1 ( 2 0 1 4 高考廣東卷 ) 若實(shí)數(shù) k 滿足 0 k 5 ， 則曲線 x 2 16 y 2 5 k 1 與曲線 x 2 16 k y 2 5 1 的 ( ) A 實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B 虛半軸長(zhǎng)相等 C 離心率相等 D 焦距相等 解析： 因?yàn)?0
17、k b 0 ) 的左、右焦點(diǎn) ， 在此 橢圓上存在點(diǎn) P ， 使 F 1 PF 2 60 ， 且 | PF 1 | 2| PF 2 |， 則此橢圓 的離心率為 ( ) A. 1 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6 C 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 解析： 如圖所示 ， 由 F 1 PF 2 60 ， | PF 1 | 2| PF 2 |， 可得 PF 2 F 1 90 ， 所以 e c a 2 c 2 a | F 1 F 2 | | PF 1 | | PF 2 | 3 | PF 2 | 2| PF 2 | | PF 2 |
18、3 3 ， 故選 C. 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 命題角度 1 由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求直線方程有關(guān)問題 2 由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求圓錐曲線的方程及其性 質(zhì) 在平面直角坐標(biāo)系 x Oy 中 ， 已知橢圓 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0 ) 的左焦點(diǎn)為 F 1 ( 1 ， 0 ) ， 且點(diǎn) P (0 ， 1 ) 在 C 1 上 ( 1 ) 求橢圓 C 1 的方程； ( 2 ) 設(shè)直線 l 同時(shí)與橢圓 C 1 和拋物線 C 2 ： y 2 4 x 相切 ,求直線
19、 l 的 方程 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 審題路線圖 審條件 ( 1 ) 條件 b ， c 的值 橢圓 C 1 的方程 ( 2 ) 設(shè)直線方程 為 y kx m 橢圓、 拋物線方程 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的 一元二次方程 相 切 0 k 、 m 的等式 k 、 m 的值 結(jié)果 解 ( 1 ) 因?yàn)闄E圓 C 1 的左焦點(diǎn)為 F 1 ( 1 ， 0 ) ， 點(diǎn) P (0 ， 1 ) 在 C 1 上 ， 所以 c 1 ， b 1 ， 所以 a 2 b 2 c 2 2. 所以橢圓 C 1 的方程為 x 2 2 y 2 1. 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合
20、 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 2 ) 由題意可知 ， 直線 l 的斜率顯然存在且不等于 0 ， 設(shè)直線 l 的 方程為 y kx m ， 由 x 2 2 y 2 1 ， y kx m ， 消去 y 并整理得 (1 2 k 2 ) x 2 4 k m x 2 m 2 2 0. 因?yàn)橹本€ l 與橢圓 C 1 相切 ， 所以 1 16 k 2 m 2 4 ( 1 2 k 2 ) ( 2 m 2 2) 0. 整理得 2 k 2 m 2 1 0. 由 y 2 4 x ， y kx m ， 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能
21、專題五 解析幾何 消去 y 并整理得 k 2 x 2 (2 km 4) x m 2 0. 因?yàn)橹本€ l 與拋物線 C 2 相切 ， 所以 2 (2 km 4) 2 4 k 2 m 2 0 ， 整理得 km 1. 綜合 ， 解得 k 2 2 ， m 2 ， 或 k 2 2 ， m 2 . 所以直線 l 的方程為 y 2 2 x 2 或 y 2 2 x 2 . 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 方法歸納 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟 ( 1 ) 設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； ( 2 ) 聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組 ， 消元得方程 ( 注意二
22、次項(xiàng) 系數(shù)是否為零 ) ； ( 3 ) 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式； ( 4 ) 結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式 求解 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 2 0 1 5 蘭州調(diào)研 ) 已知橢圓 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0 ) 的一個(gè)焦點(diǎn)是 F (1 ， 0 ) ， 且離心率為 1 2 . ( 1 ) 求橢圓 C 的方程； ( 2 ) 設(shè)經(jīng)過點(diǎn) F 的直線交橢圓 C 于 M ， N 兩點(diǎn) ， 線段 MN 的垂直 平分線交 y 軸于點(diǎn) P (0 ， y 0 ) ， 求 y 0 的取值范圍 欄目
23、 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 解： ( 1 ) 設(shè)橢圓 C 的半焦距是 c . 依題意 ， 得 c 1. 因?yàn)闄E圓 C 的離心率為 1 2 ， 所以 a 2 c 2 ， b 2 a 2 c 2 3. 故 橢圓 C 的方程為 x 2 4 y 2 3 1. 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 ( 2 ) 當(dāng) MN x 軸時(shí) ， 顯然 y 0 0. 當(dāng) MN 與 x 軸不垂直時(shí) ， 可設(shè)直線 MN 的方程為 y k ( x 1 ) ( k 0) 由 y k （ x 1 ） ， x 2 4 y
24、 2 3 1 消去 y 并整理得 ， (3 4 k 2 ) x 2 8 k 2 x 4( k 2 3) 0. 設(shè) M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 線段 MN 的 中點(diǎn)為 Q ( x 3 ， y 3 ) 又 x 1 x 2 8 k 2 3 4 k 2 . 所以 x 3 x 1 x 2 2 4 k 2 3 4 k 2 ， 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 y 3 k ( x 3 1) 3 k 3 4 k 2 . 線段 MN 的垂直平分線的方程為 y 3 k 3 4 k 2 1 k x 4 k 2 3 4 k 2 . 在上述方程中 ， 令 x 0 ， 得 y 0 k 3 4 k 2 1 3 k 4 k . 當(dāng) k 0 時(shí) ， 3 k 4 k 4 3 . 所以 3 12 y 0 0 或 0 y 0 3 12 . 綜上 ， y 0 的取值范圍是 3 12 ， 3 12 . 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 欄目 導(dǎo)引 要點(diǎn)整合 夯基釋疑 導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練 核心突破 專題強(qiáng)化 精練提能 專題五 解析幾何 本部分內(nèi)容講解結(jié)束 按 ESC鍵退出全屏播放
橢圓、雙曲線、拋物線.ppt
