高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程課件 新人教版選修2-1.ppt

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階段復習課 第二課,【答案速填】① (ab0) ②||PF1|-|PF2||=2a,(2a0,b0) ④y2=2px(p0) ⑤x2=2py(p0),類型 一 圓錐曲線的定義及應用 “回歸定義”解題的三點應用 應用一:在求軌跡方程時,若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程; 應用二:涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時,常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決; 應用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.,【典例1】(2013·合肥高二檢測)雙曲線16x2-9y2=144的左、 右兩焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且|PF1|·|PF2|=64, 求△PF1F2的面積. 【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144化簡為 即a2=9,b2=16,∴c2=25, 解得a=3,c=5,∴F1(-5,0),F2(5,0). 設|PF1|=m,|PF2|=n, 由雙曲線的定義知|m-n|=2a=6,又已知m·n=64,,在△PF1F2中,由余弦定理知cos∠F1PF2= = = ∴∠F1PF2=60°, ∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 = m·n·sin60°=16 , ∴△PF1F2的面積為16 .,類型 二 圓錐曲線的方程 求方程的常用方法——待定系數(shù)法 (1) (2)待定系數(shù)法的基本步驟: 定位置 → 設方程 → 求參數(shù) → 得方程,,,,,(3)幾點說明. ①當焦點位置不確定時,要分情況討論,也可以設為一般形式: 橢圓方程為Ax2+By2=1(A0,B0,A≠B);雙曲線方程為Ax2+By2=1(AB0,b0)共漸近線的雙曲線方 程可設為 (λ≠0);已知所求雙曲線為等軸雙曲線, 其方程可設為x2-y2=λ(λ≠0).,【典例2】已知雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點,它的一條漸近 線方程為x- y=0,求雙曲線的方程. 【解析】方法一:橢圓x2+4y2=64, 即 其焦點是(±4 ,0). 設雙曲線方程為 (a0,b0), 其漸近線方程是y=± x. 又∵雙曲線的一條漸近線方程為x- y=0,,∴ 又由a2+b2=c2=48,解得a2=36,b2=12. ∴所求雙曲線方程為 方法二:由于雙曲線的一條漸近線方程為x- y=0, 則另一條漸近線方程為x+ y=0. 結(jié)合已知可設雙曲線方程為x2-3y2=λ(λ0), 即,由橢圓方程 知 c2=a2-b2=64-16=48. ∵雙曲線與橢圓共焦點, 則λ+ =48,∴λ=36. 故所求雙曲線方程為,方法三:由雙曲線與橢圓共焦點, 可設雙曲線方程為 (16λ64). ∵雙曲線的一條漸近線方程為x- y=0, 即y= x,∴ ∴λ=28, 故所求雙曲線方程為,類型 三 圓錐曲線的性質(zhì)及應用 1.圓錐曲線的主要性質(zhì) 圓錐曲線的主要性質(zhì)主要包括范圍、對稱性、焦點、頂點、長短軸(橢圓)、實虛軸(雙曲線)、漸近線(雙曲線)、離心率和準線(拋物線).,2.“三法”應對離心率,【典例3】設雙曲線 (a0,b0)的右焦點為F, 直線l:x= (c為雙曲線的半焦距)與兩條漸近線交于P,Q兩 點,如果△PQF是直角三角形,則雙曲線的離心率e= .,【解析】如圖所示,設l與x軸交于M點. ∵△PQF是直角三角形,由雙曲線的對稱性可知,|PF|=|QF|,∴PF⊥QF,∴|MF|=|PM|.,解方程組 結(jié)合圖形可得 ∴|PM|= 又|MF|=|OF|-|OM|=c- ∴ ∴ab=c2-a2=b2,∴a=b. 故 答案:,類型 四 直線與圓錐曲線 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)從幾何的角度看,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系可分為三類:無公共點、僅有一個公共點及有兩個相異的公共點.其中,直線與圓錐曲線僅有一個公共點,對于橢圓,表示直線與其相切;對于雙曲線,表示與其相切或直線與雙曲線的漸近線平行;對于拋物線,表示與其相切或直線與其對稱軸平行.,(2)從代數(shù)的角度看,可通過將表示直線的方程與曲線的方程組成方程組,消元后利用所得方程的根的情況來判斷. 2.相交弦長 設弦AB端點的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k, 則弦長|AB|= 求弦長時,一般先設 出兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),其中的四個參數(shù)x1,y1,x2,y2 一般無需求出,而是應用根與系數(shù)的關(guān)系來解決.,3.三法應對“中點弦”,【典例4】(2013·大慶高二檢測)橢圓 (ab0) 的一個頂點為A(0,2),離心率 (1)求橢圓的方程. (2)直線l與橢圓相交于不同的兩點M,N且P(2,1)為MN中點, 求直線l的方程.,【解析】(1)由已知得 又因為a2=b2+c2,解得 所以橢圓的方程為,(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),把M,N代入橢圓方程得: 4x12+12y12=48 ① 4x22+12y22=48 ② ①-②得:4(x1+x2)(x1-x2)+12(y1+y2)(y1-y2)=0. 又因為P(2,1)為MN的中點,上式化為2+3 =0, 所以kMN=- ,即kl=- , 所以直線l的方程為y-1=- (x-2),即2x+3y-7=0.,圓錐曲線中的最值 最值問題的常見解法 圓錐曲線的參數(shù)范圍和最值問題屬同一類問題,解法是統(tǒng)一的,主要有幾何法與代數(shù)法,其中包括數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、變量代換法、不等式(組)法、三角換元法等,主要考查觀察、分析、綜合、構(gòu)造、創(chuàng)新等方面的綜合思維能力.,【典例】(2013·山西師大附中高二檢測)設橢圓C: (ab0)的離心率e= ,右焦點到直線 的距離為 O為坐標原點. (1)求橢圓C的方程. (2)過點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A,B兩點,證明點O到直線AB的距離為定值,并求弦AB的最小值.,【解析】(1)由 得 即a=2c,∴b= c. 由右焦點到直線 的距離為 得: 解得a=2,b= 所以橢圓C的方程為,(2)當AB的斜率不存在時,可令直線AB的方程為x=t, ∵OA⊥OB,∴A(t,t)或(t,-t). 代入 并解得t=± 此時O到直線AB的距離為 |AB|=|2t|= 當AB的斜率存在時, 設A(x1,y1),B(x2,y2),設直線AB的方程為y=kx+m, 與橢圓 聯(lián)立消去y得 3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,,∴x1+x2= x1x2= ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, ∴(k2+1) +m2=0, 整理得7m2=12(k2+1), 所以O到直線AB的距離 綜上,O到直線AB的距離為定值.,∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB, 當且僅當OA=OB時取“=”. 由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤ ∴AB≥2d= 所以由上可知弦AB的長度的最小值是,軌跡問題 求軌跡問題的六種常用方法 (1)直接法:根據(jù)形成軌跡的幾何條件和圖形性質(zhì),直接寫出所求動點坐標滿足的關(guān)系,即題中有明顯等量關(guān)系的或者可以用平面幾何知識推出等量關(guān)系的,這時只要將這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程,由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟,也不需要特殊技巧,故稱之為直接法.,(2)定義法:如果動點的軌跡滿足已知曲線的定義,如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等,這時可以根據(jù)軌跡的定義直接寫出軌跡方程. (3)待定系數(shù)法:根據(jù)條件可以確定曲線的類型,這時可以先設出其方程形式,再根據(jù)條件確定待定的系數(shù),即根據(jù)題意建立方程或方程組,解方程或方程組即可.,(4)相關(guān)點法(代點法):如果所求動點是由另外一個動點的運動引起的,而另外一個動點又在一條已知曲線上運動,這時通常是設法用所求動點的坐標表示已知曲線上的動點的坐標,再將它代入已知曲線的方程即可. (5)參數(shù)法:如果難以直接找到動點坐標之間的關(guān)系,可以借助中間變量,即利用參數(shù)建立起動點坐標之間的關(guān)系,然后消去參數(shù)得到曲線的方程.這種方法的關(guān)鍵是如何選擇恰當?shù)膮?shù)和如何消去參數(shù),解題的一般步驟為:引入?yún)?shù)——建立參數(shù)方程——消去參數(shù)(注意等價性),得到一個等價的普通方程.,(6)交軌法:如果要求兩條動曲線交點的軌跡方程,這時一般是通過聯(lián)立動曲線的方程構(gòu)成方程組,通過解方程組得到交點的坐標(含變量參數(shù)),再消去參數(shù)求出所求交點的軌跡方程,這種方法經(jīng)常與參數(shù)法并用.,【典例】已知兩同心圓的半徑分別為5和4,AB為小圓的直徑,求以大圓的切線為準線且過A,B兩點的拋物線的焦點的軌跡方程. 【解析】以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為坐標原點,建立平面直角坐標系.設大圓的切線為l,拋物線的焦點為F,過點A,B,O分別作l的垂線,垂足分別為點A1,B1,O1,由拋物線定義得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.,又由梯形中位線定理,得|AA1|+|BB1|=2|OO1|, ∴|AF|+|BF|=2|OO1|=10. ∴點F的軌跡是以A,B為焦點,長軸長為10的橢圓. 由2a=10,2c=8,得a=5,c=4. ∴軌跡方程為 又由于l與AB不能垂直, ∴其軌跡必須除去(±5,0)兩點,即y≠0. 因此,所求軌跡方程為 (y≠0).,分類討論思想 分類討論思想的認識及其應用 分類討論思想,實際上是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略.分類討論時應注意理解和掌握分類的原則、方法和技巧,做到確定對象的全體,明確分類的標準,不重不漏地討論.,【典例】橢圓的中心是坐標原點,長軸在x軸上,離心率e= 已知點P(0, )到這個橢圓上點的最遠距離為 ,求這個橢 圓方程,并求橢圓上到點P的距離為 的點的坐標. 【解析】設橢圓方程為 (ab0), ∵e= ∴c2= a2, 由a2=b2+c2得a=2b,故橢圓方程可化為 (b0), 設M(x,y)是橢圓上任意一點,則x2=4b2-4y2.,∴|PM|2=x2+(y- )2=4b2-4y2+y2-3y+ =-3y2-3y+ +4b2 =-3(y+ )2+3+4b2. ∵-b≤y≤b(討論- 與[-b,b]間的關(guān)系), 若b≥ ,則當y=- 時, ∴b=1. 若0b ,則當y=-b時, |PM|max= ∴|b+ |= ,b= 與b 矛盾.,綜上所述b=1,故所求橢圓方程為 +y2=1. ∵|PM|= 時,y=- ,∴x=± . ∴橢圓上到P點的距離為 的點有兩個,分別為,【跟蹤訓練】 1.(2013·大理高二檢測)橢圓 與雙曲線 有相同的焦點,則a的值是( ) A. B.1或-2 C.1或 D.1 【解析】選D.由條件可知,兩條曲線的焦點在x軸上且a0, ∴4-a2=a+2,即a2+a-2=0,解得a=1,-2(舍).,2.(2013·安陽高二檢測)以橢圓 的左焦點為焦點, 以坐標原點為頂點的拋物線方程為( ) A.y2=-4x B.y2=-2x C.y2=-8x D.y2=-x 【解析】選A.橢圓 中,a2-b2=1, ∴左焦點為(-1,0),故拋物線方程為y2=-4x.,3.已知雙曲線 (mn0)的離心率為2,有一個焦點恰好 是拋物線y2=4x的焦點,則此雙曲線的漸近線方程是( ) A. x±y=0 B.x± y=0 C.3x±y=0 D.x±3y=0 【解析】選A.由條件可知,雙曲線的焦點在x軸上,由 得 所以雙曲線的漸近線方程 為y=± x,即 x±y=0.,4.(2013·陜西高考)雙曲線 的離心率為 則 m等于 . 【解析】由 解得m=9. 答案：9,5.直線l:y=kx+1與曲線C: +y2=1交于M,N兩點,當|MN|= 時,則直線l的方程為 . 【解析】由 消去y得(1+2k2)x2+4kx=0, 解得x1=0,x2= (x1、x2分別為M,N的橫坐標), 由|MN|= |x1-x2|= ·| |= 解得k=±1,代入y=kx+1得x+y-1=0或x-y+1=0, 綜上所述,所求直線方程是x+y-1=0或x-y+1=0. 答案:x+y-1=0或x-y+1=0,6.(2013·溫州高二檢測)設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓 (ab0)上的兩點,滿足 橢圓的 離心率e= ,短軸長為2,O為坐標原點. (1)求橢圓的方程. (2)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距), 求直線AB的斜率k的值.,【解析】(1)由已知,2b=2,b=1, ∴ c= a,代入a2=b2+c2,解得a=2,c= ,b=1. ∴橢圓方程為 +x2=1. (2)焦點F(0, ),直線AB的方程為y=kx+ ,代入 橢圓方程整理得,(k2+4)x2+2 kx-1=0,,∴Δ0且 y1y2=(kx1+ )(kx2+ ) =k2x1x2+ k(x1+x2)+3=k2( )+ k( )+3 = ∴ 解得k2=2,∴k=± , ∴直線AB的斜率k為± .,