矩陣的特征值與特征向量.ppt

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第五章 矩陣的特征值與特征向量,在經(jīng)濟(jì)理論及其應(yīng)用中? 常要求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問題? 數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組的問題? 也都要用到特征值的理論?,2,引言,純量陣 lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ． 矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB ≠ BA ． 數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ? 例：,一 特征值與特征向量定義:,非零列向量X稱為A 的對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量,定義6設(shè)A是n階矩陣? 如果對(duì)于數(shù)?，存在n維非零 列向量X , 使,AX??X 成立,則稱?為方陣A的一個(gè)特征值,第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量p117,AX??X,如何求特征值和特征向量?,即,齊次方程有非0解,齊次方程有非0解的充要條件是系數(shù)行列式為0,即| ?I? A| ?0,(2) | ?I? A| ?0稱為方陣A的特征方程,二 特征多項(xiàng)式與特征方程,定義 設(shè)A為n階方陣,(1) f(?)? | ?I? A|稱為方陣A的特征多項(xiàng)式?,即,即,(3)方陣A的特征值?就是特征方程| ?I? A| ?0的根,所以方陣A的特征值?也稱為方陣A的特征根,齊次線性方程組,的每一個(gè)非零解向量， 都是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量,所以方陣A對(duì)應(yīng)于每一個(gè)不同特征值?的特征向量都有無窮多個(gè),三 特征向量,定理1 如果非零向量X為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量,則CX(C≠0為任意常數(shù)）也是A對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量,定理2 如果X1， X2為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量，,且X1+ X2 ≠0，則X1+ X2也是A對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量，,即:矩陣A對(duì)應(yīng)于同一特征值?的特征向量的非零線性組合仍然為A對(duì)應(yīng)于?特征向量(不能為0),綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如下:,第一步 計(jì)算矩陣A特征多項(xiàng)式| ?I? A| ;,第二步 求出矩陣A的特征方程| ?I? A|=0的全部根,即求得A的全部特征值?1， ?1，--- ?n，(其中可能有重根）,第三步 對(duì)于A的每個(gè)特征值?i ,求出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 （ ?i I? A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?i 的全部特征向量為,例1 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為?1?4? ?2?-2?,(2) 當(dāng)?1?4時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?1?4的全體特征向量為,例1 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(3) 當(dāng)?2?-2時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?2?-2的全體特征向量為,例2 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為?1?2? ?2?4?,(2) 當(dāng)?1?2時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?1?2的全體特征向量為,例2 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(3) 當(dāng)?2?4時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?2?4的全體特征向量為,例3 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為?1??2?4， ?3?2,例3 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,A的特征值為?1=?2=4? ?3?2,(2) 當(dāng)?1??2=4,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?1??2=4的全體特征向量為,例3 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,A的特征值為?1=?2=4? ?3?2,(3) 當(dāng)?3=2,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?3?2的全體特征向量為,例4 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為?1=?2=1? ?3?2,例4 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,A的特征值為?1=?2=1? ?3?2,(2) 當(dāng)?1??2=1,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?1??2=1的全體特征向量為,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為?1=?2=1? ?3?2,(3) 當(dāng)?3?2,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?3=2的全體特征向量為,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）． 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, …, ln，則 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| （利用根與系數(shù)的關(guān)系可證，證明不要求。但性質(zhì)本身需牢固掌握）,四 特征值與特征向量的性質(zhì),例5 設(shè)?是方陣A的特征值? 證明 (1) ?2是A2的特征值?,證明,因?yàn)?是A的特征值?,故有X?0?,使AX??X?,于是,(1) A2X,??2X?,??(AX),?A(?X),?A(AX),所以?2是A2的特征值?,因?yàn)閄?0? 知??0?,有X??A?1X?,由AX??X?,(2) 當(dāng)A可逆時(shí)?,(2) 當(dāng)A可逆時(shí), 是 的特征值,是 的特征值,例5：設(shè) l 是方陣 A 的特征值，證明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 當(dāng) A 可逆時(shí)，1/l 是 A?1 的特征值． 結(jié)論：若非零向量 p 是 A 對(duì)應(yīng)于特征值 l 的特征向量，則 l2 是 A2 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是 p ． 當(dāng) A 可逆時(shí)，1/l 是 A?1 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍然是 p ．,一般地，令,則,例6：設(shè)3 階方陣 A 的特征值為1, ?1, 2，求 A* +3A?2E 的特征值． 解： A* +3A?2E = |A| A?1 +3A?2E = ?2A?1 +3A?2E = j (A) 其中|A| = 1×(?1) ×2 = ?2 ． 從而A* +3A?2E的特征值分別為,例7 主對(duì)角線上的元素為?1，?2---?n的n階對(duì)角矩陣?或三角形矩陣A的n個(gè)特征值就是其主對(duì)角線上的n個(gè)元素?1，?2---?n,定理4 n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值,證明,轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征多項(xiàng)式為,即方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項(xiàng)式,所以方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值,例8 證明: 方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個(gè)特征值為0,證明,必要性,則,如果A為奇異陣,所以A有一個(gè)特征值為0,充分性,如果A有一個(gè)特征值為0，對(duì)應(yīng)的特征向量為X,則,有非0解,所以 |A|=0,定理3 n階方陣A可逆的充要條件是A的每一個(gè)特征值均不為0,p120定理2 設(shè)?1? ?2? ? ? ?? ?m(m≤n)是n階方陣A的m個(gè)互不同特征值?X1? X2? ? ? ?? Xm分別是A對(duì)應(yīng)于?1? ?2? ? ? ?? ?m的特征向量? 則 X1? X2? ? ? ?? Xm線性無關(guān)?,A (k1X1?k2X2? ? ? ? ?ks Xs)?0,證明,設(shè)有常數(shù)k1? k2? ? ? ?? ks,?1k1X1??2k2X2?? ? ? ??sks Xs?0,用數(shù)學(xué)歸納法,m=1時(shí) X1≠0 顯然成立,使 k1X1?k2X2? ? ? ? ?ks Xs?0,設(shè) m=s-1時(shí) X1? X2? ? ? ?? Xs-1線性無關(guān),現(xiàn)證明 m=s時(shí) X1? X2? ? ? ?? Xs線性無關(guān),k1X1?k2X2? ? ? ? ?ks Xs?0,?sk1 X1??s k2X2?? ? ? ? ?s ks Xs?0,?1k1X1??2k2X2?? ? ? ??sks Xs?0,兩邊同乘?s,兩式相減,(?s -?1)k1X1? (?s - ?2)k2X2?? ? ? ? (?s - ?s-1)ks-1 Xs-1?0,所以 X1? X2? ? ? ?? Xs線性無關(guān),由設(shè) m=s-1時(shí) X1? X2? ? ? ?? Xs-1線性無關(guān),由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)任意正整數(shù)m,結(jié)論成立,p121例10 設(shè)?1和?2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值? 對(duì)應(yīng)的特征向量依次 為X1和X2? 證明X1? X2不是A的特征向量?,用反證法? 假設(shè)X1?X2是A的特征向量? 則應(yīng)存在數(shù)?? 使 A(X1?X2)??(X1?X2)? 于是,證明,按題設(shè)? 有AX1??1X1? AX2??2X2? 故,A(X1?X2)??1X1??2X2?,即(?1??)X1?(?2??)X2?0?,?(X1?X2)? AX1?AX2 ? ?1X1??2X2?,因此X1?X2不是A的特征向量?,與題設(shè)?1??2矛盾?,即?1??2?,?1????2???0?,故由上式得,因?yàn)閄1? X2線性無關(guān)?,定理6 設(shè)?1? ?2? ? ? ?? ?m是方陣A的m個(gè)互不同特征值?,為?1的r1個(gè)線性無關(guān)特征向量,為?2的r2個(gè)線性無關(guān)特征向量,… … …,為?m的rm個(gè)線性無關(guān)特征向量,則 向量組,,共r1+ r2+ ? ? ??+rm個(gè),線性無關(guān),例3 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為?1??2?4， ?3?2,(2) 當(dāng)?1??2=4,其基礎(chǔ)解系可取為,(3) 當(dāng)?3=2,其基礎(chǔ)解系可取為,由定理6可知,X1，X2? X3線性無關(guān),定理7 設(shè)?是n階方陣A的一個(gè)k重特征值?則A對(duì)應(yīng)于?的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為l ,則 l≤k,線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)不超過特征值的重?cái)?shù),定理8 設(shè)?是n階方陣A的1重特征值?則A對(duì)應(yīng)于?的線性無關(guān)的特征向量有且只有1個(gè),