高考數(shù)學(xué) 4.5 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課件.ppt

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第五節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念:,a+bi,a,b,b=0,b≠0,a=0,且b≠0,a=c且,b=d,a=c,且b=-d,實(shí),軸,虛軸,(2)復(fù)數(shù)的幾何意義: ①復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng). ②復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)和向量 一一對(duì)應(yīng).,(3)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算: ①運(yùn)算法則: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則,(a±c)+(b±d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,②復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律: 設(shè)z1,z2,z3∈C,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律: (ⅰ)交換律:z1+z2=_____; (ⅱ)結(jié)合律:(z1+z2)+z3= __________.,z2+z1,z1+(z2+z3),2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)i乘方的周期性: (2)z· =|z|2=| |2.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法: ①利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求復(fù)數(shù)的和差積商的方法; ②以等式或點(diǎn)的坐標(biāo)的形式給出考查復(fù)數(shù)的幾何意義的方法. (2)常用思想:函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若a∈C,則a2≥0.( ) (2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)數(shù)能比較大小,因而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)數(shù)也能比較大小.( ) (3)一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部為0,則此復(fù)數(shù)必為純虛數(shù).( ) (4)復(fù)數(shù)的模就是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量的模.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.若a=i,則a2=-10,因而(1)錯(cuò).(2)錯(cuò)誤.若兩個(gè)復(fù)數(shù)為虛數(shù),或一個(gè)為實(shí)數(shù),一個(gè)為虛數(shù),則它們不能比較大小.(3)錯(cuò)誤.當(dāng)虛部也為0時(shí),則此復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)0.(4)正確.由復(fù)數(shù)的幾何意義可知該結(jié)論正確. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-2P112A組T2改編)在復(fù)平面內(nèi),已知6+5i對(duì)應(yīng)的向量為 =(4,5),則 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 . 【解析】由已知得 =(6,5),又 =(4,5), 故 =(6,5)+(4,5)=(10,10). 故 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為10+10i. 答案:10+10i,(2)(選修2-2P112A組T6改編)已知實(shí)數(shù)m是方程x2+(2+i)x+n+2i=0, n∈R的一個(gè)根,則m+n= .,【解析】由已知得m2+(2+i)m+n+2i=0, 即(m2+2m+n)+(m+2)i=0, 故 得 故m+n=-2. 答案:-2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ) =( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解析】選D. =-1-i.,(2)(2014·山東高考)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 【解析】選D.因?yàn)閍-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù), 所以a=2,b=1, 所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.,(3)(2014·江蘇高考)已知復(fù)數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位),則z的實(shí)部為 . 【解析】由題意z=(5+2i)2=21+20i,故實(shí)部為21. 答案:21,考點(diǎn)1 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 【典例1】(1)(2014·大綱版全國卷)設(shè)z= ,則z的共軛復(fù)數(shù)為 ( ) (本題源于教材2-2P116A組T1(2)) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i (2)(2013·上海高考)設(shè)m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù),其中i是虛數(shù) 單位,則m= .,【解題提示】(1)利用已知求得復(fù)數(shù)z后再求z的共軛復(fù)數(shù). (2)由純虛數(shù)概念求解. 【規(guī)范解答】(1)選D.z= =3i+1, 則 =1-3i. (2)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)? ?m=-2. 答案:-2,【易錯(cuò)警示】解答本例題(2)易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: (1)條件考慮不完整,只考慮m2+m-2=0得m=-2或m=1,忽略m2-1≠0的條件. (2)雖然考慮了m2-1≠0,但未取舍而保留原答案-2或1.,【規(guī)律方法】求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧 復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模,共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí),需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解.,【變式訓(xùn)練】(2014·安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位, 表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù) 數(shù).若z=1+i,則 =( ) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 【解析】選C.因?yàn)閦=1+i,所以 =1-i, 故 =-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.,【加固訓(xùn)練】1.(2013·天津高考改編)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(1+i)=bi,則復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)是( ) A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 【解析】選D.因?yàn)?a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以z=a+bi=1+2i,故復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是1-2i.,2.(2013·江蘇高考)設(shè)z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的模為 . 【解析】z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i,故|z|=5. 答案:5,考點(diǎn)2 復(fù)數(shù)的幾何意義 【典例2】(1)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z1=2+i,則z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i (2)(2014·重慶高考)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1-2i)的點(diǎn)位于(本題源于教材2-2P116A組T1(3))( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解題提示】(1)利用對(duì)稱得出兩復(fù)數(shù)實(shí)虛部關(guān)系后代入可解. (2)利用復(fù)數(shù)運(yùn)算后虛部與實(shí)部的正負(fù)判斷. 【規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閦1=2+i,z1與z2關(guān)于虛軸對(duì)稱,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5,故選A. (2)選A.i(1-2i)=2+i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為(2,1),位于第一象限.,【互動(dòng)探究】本例(2)中i(1-2i)對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 . 【解析】由i(1-2i)=2+i可知其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),其關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),故其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i. 答案:2-i,【規(guī)律方法】復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用 (1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量 相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)? . (2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.,提醒:|z|的幾何意義:令z=x+yi(x,y∈R),則|z|= ,由此可知 表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義;|z1-z2|的幾何意義 是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1,z2的兩點(diǎn)之間的距離.,【變式訓(xùn)練】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z= (i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì) 應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選D.z= =i+1, =1-i.所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì) 應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.,【加固訓(xùn)練】1.(2013·湖南高考)復(fù)數(shù)z=i·(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選B.因?yàn)閦=i·(1+i)=-1+i,而(-1,1)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,所以選B.,2.(2015·臨沂模擬)已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平 面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若 =λ +μ (λ,μ∈R),求λ+ μ的值.,【解析】由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-4), 故 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1), 若 =λ +μ ,即(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1), 得 解得 故λ+μ=-1+2=1.,考點(diǎn)3 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 知·考情 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是高考考查的一個(gè)重要考向,常利用復(fù)數(shù)的加減乘運(yùn)算求復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的相等或除法運(yùn)算求復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求復(fù)數(shù)等,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:復(fù)數(shù)的加減乘法運(yùn)算 【典例3】(2014·福建高考)復(fù)數(shù)z=(3-2i)i的共軛復(fù)數(shù) 等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 【解題提示】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算. 【規(guī)范解答】選C.因?yàn)閦=2+3i,所以 =2-3i.,命題角度2:復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 【典例4】(2014·天津高考)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) =( ) 【解題提示】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)求解. 【規(guī)范解答】選A. =1-i.,悟·技法 利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求復(fù)數(shù)的一般思路. (1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足多項(xiàng)式的乘法法則,利用此法則后將實(shí)部與虛部分別寫出即可. (2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡. (3)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念解題時(shí),通常是設(shè)出復(fù)數(shù)或利用已知聯(lián)立方程求解.,通·一類 1.(2014·湖北高考)i為虛數(shù)單位, =( ) A.-1 B.1 C.-i D.i 【解析】選A. =-1.,2.(2014·遼寧高考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=( ) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 【解析】選A.由(z-2i)(2-i)=5得z= +2i= +2i =2+i+2i=2+3i.,【一題多解】選A.設(shè)z=a+bi(a,b∈R), 則由(z-2i)(2-i)=5,得 z-2i= =2+i, 又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i, 所以a+(b-2)i=2+i, 所以 得 故z=2+3i.,3.(2014·四川高考)復(fù)數(shù) = . 【解析】 =(1-i)2=-2i. 答案:-2i,自我糾錯(cuò)12 復(fù)數(shù)有關(guān)概念的應(yīng)用 【典例】(2013·陜西高考)設(shè)z是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( ) A.若z2≥0,則z是實(shí)數(shù) B.若z20,則z是虛數(shù) C.若z是虛數(shù),則z2≥0 D.若z是純虛數(shù),則z20,【解題過程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:上述解題過程錯(cuò)在對(duì)純虛數(shù)與虛數(shù)概念含混不清,搞不明白,純虛數(shù)一定是虛數(shù),而虛數(shù)不一定是純虛數(shù),從而判斷錯(cuò)誤.,【規(guī)避策略】 1.弄清虛數(shù)與純虛數(shù)的區(qū)別,對(duì)于z=a+bi(a,b∈R),若b≠0,則z為虛數(shù),若b≠0且a=0,則z為純虛數(shù). 2.利用排除法解題時(shí),不要找到一個(gè)就停止,這樣極易誤選,應(yīng)該將剩余選項(xiàng)再觀察,若有選項(xiàng)適合,應(yīng)將兩個(gè)進(jìn)行比較再確定正確答案.,【自我矯正】選C.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi. 對(duì)于A:若z2≥0,則 故b=0或a,b都為0, 即z為實(shí)數(shù),所以A正確; 對(duì)于B:若z20,則 即 故z為純虛數(shù),即z是虛數(shù),所 以B正確; 對(duì)于C:若z是虛數(shù),則b≠0,z2=a2-b2+2abi,,由于a的值不確定,故z2無法與0比較大小,所以C錯(cuò)誤; 對(duì)于D:若z是純虛數(shù), 則 z2=-b20成立,所以D正確.,