高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2直接證明與間接證明課件 理 蘇教版.ppt

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數(shù)學(xué) 蘇 （理）,,§13.2 直接證明與間接證明,第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù),基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí),題型分類·深度剖析,思想方法·感悟提高,練出高分,1.直接證明 (1)綜合法 ①定義：從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.,已知條件,③思維過程：由因?qū)Ч?,(2)分析法 ①定義：從 出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.,③思維過程：執(zhí)果索因.,問題的結(jié)論,2.間接證明,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.( ) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.( ) (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時，應(yīng)假設(shè)“ab”.( ) (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾.( ) (5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.( ) (6)證明不等式 ＋ ＋ 最合適的方法是分析法.( ),×,√,√,×,×,×,p≤q,④,②,a≥0，b≥0且a≠b,,解析,例1 對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： ①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,取特殊值代入計算即可證明；,例1 對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： ①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,證明 取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1，,∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.,又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0，,∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.,例1 對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： ①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性.,例1 對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： ①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,對照新定義中的3個條件，逐一代入驗證，只有滿足所有條件，才能得出“是理想函數(shù)”的結(jié)論，否則得出“不是理想函數(shù)”的結(jié)論.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,解 對于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②，,∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函數(shù).,對于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，,f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2) ＝(x1＋x2)2－x －x ＝2x1x2≥0，,即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2).,∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,對于f(x)＝ ，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②.,對任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.,∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③.,∴f(x)＝ (x∈[0,1])不是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)， f(x)＝2x(x∈[0,1])與f(x)＝ (x∈[0,1])不是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 (2013·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤ ；,,證明 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.,由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，,即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.,所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤ .,跟蹤訓(xùn)練1 (2013·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (2) ＋ ＋ ≥1.,,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,用分析法，移項，平方，化簡.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,,證明 因為a，b∈(0，＋∞)，所以要證原不等式成立，,即證(a3＋b3)2(a2＋b2)3，,即證a6＋2a3b3＋b6a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，,只需證2a3b33a4b2＋3a2b4.,,因為a，b∈(0，＋∞)，,所以即證2ab3(a2＋b2).,而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab2ab成立，,,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；,題型三 反證法的應(yīng)用,解 當(dāng)n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.,又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，,兩式相減得an＋1＝ an，,思維點撥,解析,思維升華,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,證明(2)用反證法，假設(shè)存在三項，符合條件推出矛盾.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,證明 反證法：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(pqr，且p，q，r∈N*)，,又因為pqr，所以r－q，r－p∈N*.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立.,所以假設(shè)不成立，原命題得證.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,(1)當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等．,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,(2)用反證法證明不等式要把握三點：①必須否定結(jié)論；②必須從否定結(jié)論進行推理；③推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,,跟蹤訓(xùn)練3 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋ ，S3＝9＋3 . (1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；,,(2)設(shè)bn＝ (n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.,,∵p，q，r∈N*，,∴p＝r，與p≠r矛盾.,∴假設(shè)不成立，即數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.,典例：(14分)已知數(shù)列{xn}滿足x1＝ ，xn＋1＝ ，求證： 0xn＋1－xn .,思想與方法系列20 放縮有“度”，巧證不等式,,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,思 維 點 撥,,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,先證0xn1，再求xn＋1－xn的表達式，利用不等式放縮得出結(jié)論.,規(guī) 范 解 答,,證明 由條件可知數(shù)列{xn}的各項均為正數(shù)，,故由基本不等式，得xn＋1＝ ≤ ＝1，,若xn＋1＝1，則xn＝1，,這與已知條件x1＝ 矛盾.,所以0xn1，,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,因上述兩個不等式中等號不可能同時成立，,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,(1)所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，根據(jù)證題目標(biāo)進行合情合理的放大或縮小，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟.,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,(2)本題技巧性較強，經(jīng)過了兩次放縮，關(guān)鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩.第一次是利用基本不等式，將xn＋1－xn轉(zhuǎn)化為常數(shù)，根據(jù)已知驗證可判定出0xn1；第二次放縮法是證明不等式經(jīng)常利用的方法，多采用添項或去項，分子、分母擴大或縮小，應(yīng)用基本不等式進行放縮，放縮時要注意放縮的方向保持一致.在此步驟中，因兩個等式中的等號不可能同時成立，所以兩式相乘后不取等號，這是易錯之處，必須加以警惕.,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,方 法 與 技 巧,1.分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知.,3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點.分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考.實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來.,,2.綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知.,,失 誤 與 防 范,1.用分析法證明時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)……”“即證……”“只需證……”等，逐步分析，直至一個明顯成立的結(jié)論.,2.利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)的命題進行推理，如果沒有用假設(shè)的命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的.,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,即ab.,答案 ab,,,3,4,5,6,7,,8,9,10,1,2,∴P2Q2，∴PQ.,PQ,,,2,4,5,6,7,8,9,10,1,,3,③欲證a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即證4－2ab≥2，,,,2,4,5,6,7,8,9,10,1,,3,即ab≤1，由①知成立.,答案 ①③④,,,2,3,5,6,7,8,9,10,1,,4,,,2,3,5,6,7,8,9,10,1,,4,即a＝b＝1時，取“＝”.,答案 4,,,2,3,4,6,7,8,9,10,1,,5,5.(2014·山東改編)用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是_________________________.,解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根.,方程x3＋ax＋b＝0沒有實根,6.下列條件： ①ab0；②ab0，b0；④a0，b0. 其中能使 ＋ ≥2成立的條件的個數(shù)是________.,,,2,3,4,5,7,8,9,10,1,,6,3,7.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是________.,,,2,3,4,5,6,8,9,10,1,,7,解析 依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知每組中每個“整數(shù)對”的和為n＋1，且每組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有 個“整數(shù)對”，,注意到 60 ，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各數(shù)對依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7).,,,2,3,4,5,6,8,9,10,1,,7,答案 (5,7),,,2,3,4,5,6,7,9,10,1,,8,解析 ∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A、B、C∈(0，π).,,,2,3,4,5,6,7,9,10,1,,8,,,2,3,4,5,6,7,8,10,1,,9,證明 ∵a⊥b，∴a·b＝0.,平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)， 只需證：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0，顯然成立.故原不等式得證.,10.已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝ ，SA＝1. (1)求證：SA⊥平面ABCD；,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,證明 由已知得SA2＋AD2＝SD2， ∴SA⊥AD.同理SA⊥AB. 又AB∩AD＝A， ∴SA⊥平面ABCD.,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由.,解 假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD. ∵BC∥AD，BC?平面SAD. ∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B， ∴平面FBC∥平面SAD. 這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾， ∴假設(shè)不成立. 故不存在這樣的點F，使得BF∥平面SAD.,,,2,3,4,5,,1,A≤B≤C,2.(2013·廣東)設(shè)整數(shù)n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件xyz，yzx，zxy恰有一個成立}.若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，則下列選項正確的是________. ①(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S ②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S ③(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S ④(y，z，w)?S，(x，y，w)?S,,,3,4,5,1,,2,解析 因為(x，y，z)∈S，則x，y，z的大小關(guān)系有3種情況，同理，(z，w，x)∈S，則z，w，x的大小關(guān)系也有3種情況，如圖所示，由圖可知，x，y，w，z的大小關(guān)系有4種可能，均符合(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.故②正確.,答案 ②,,,3,4,5,1,,2,,,2,4,5,1,,3,4.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00. (1)證明： 是函數(shù)f(x)的一個零點；,,,2,3,5,1,,4,證明 ∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，,∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，,∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，,,,2,3,5,1,,4,(2)試用反證法證明 c.,,,2,3,5,1,,4,,,2,3,4,1,,5,,,2,3,4,1,,5,,,2,3,4,1,,5,(2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列.,證明 用反證法證明.,假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項br，bs，bt(rst)按某種順序成等差數(shù)列，,于是有brbsbt，則只能有2bs＝br＋bt成立.,,,2,3,4,1,,5,兩邊同乘以3t－121－r，化簡得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.,由于rst，∴上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，,故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾.,故數(shù)列{bn}中任意三項不可能成等差數(shù)列.,,,2,3,4,1,,5,