三角函數及反三角函數

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1、三角函數的基本關系式 倒數關系: 商的關系： 平方關系： tanα cotα＝1 sinα cscα＝1 cosα secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 誘導公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2

2、－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cos

3、α cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 兩角和與差的三角函數公式 萬能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－

4、sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函數的降冪公式 二倍角的正弦、余弦

5、和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan2α sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3α tan3α＝—————— 1－3tan2α 三角函數的和差化積公式 三角函數的積化和差公式 α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—－－cos—－— 22 α＋βα－β sinα－sinβ＝2co

6、s—－－sin—－— 22 α＋βα－β cosα＋cosβ＝2cos—－－cos—－— 2 2 α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－sin—－— 22 sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 　　cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 　　sinαsinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 化asinα bcosα為一個角的一個三角

7、函數的形式（輔助角的三角函數的公式） 函數變換 　　 360k+α sinα cosα tanα cotα secα cscα 90-α cosα sinα cotα tanα cscα secα 90+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα 180-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα 180+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα 270-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα

8、 -secα 270+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα 360-α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα ﹣α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα 　 反三角函數 　　三角函數的反函數，是多值函數。它們是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數的

9、主值，記為y=arcsin x；相應地，反余弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2

10、[0,π]，圖象用蘭色線條； 　　y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條； 　　sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】 證明方法如下：設arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個式子代如上式即可得 　　 為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數的主值，記為y=arcsin x；相應地，反余弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2

11、主值限在0

12、2)上的反函數，叫做反正切函數。arctan x表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2,π/2)區(qū)間內。 反三角函數主要是三個： 　　y＝arcsin(x)，定義域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]圖象用紅色線條； 　　y=arccos(x)，定義域[-1,1] ， 值域[0,π]，圖象用藍色線條； 　　y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條； 　　sin(arcsin x)=x,定義域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 　　證明方法如下：設arcsin(x)=y,則sin(y)=x

13、 ,將這兩個式子代入上式即可得 　　其他幾個用類似方法可得 　　cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x 　　tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx 反三角函數其他公式 　　arcsin(-x)=-arcsinx 　　arccos(-x)=π－arccosx 　　arctan(-x)=-arctanx 　　arccot(-x)=π－arccotx 　　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx 　　sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 　　當x∈[—π/2，π/2]時，有arcsin(sinx)=x 　　當x∈[0,π],arccos(cosx)=x 　　x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x 　　x∈(0，π),arccot(cotx)=x 　　x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx類似 　　若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),則arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)