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1、《數(shù)學(xué)思想方法》復(fù)習(xí)題三
1．為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？
①因?yàn)樵凇稁缀卧尽分?，除了推?dǎo)時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。②另外，《幾何原本》的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說，它也是封閉的。③所以，《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。
2．為什么說最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國人？
：①因?yàn)樵谥袊鴿h代的古算書《九章算術(shù)》中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學(xué)
2、模型。《九章算術(shù)》將246個題目歸結(jié)為九類，即九種不同的數(shù)學(xué)模型，分列為九章。②它在每一章中所設(shè)置的問題，都是從大量的實(shí)際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實(shí)原型，然后再通過“術(shù)”(即算法)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，③例如“勾股”、“方程”等章。這在世界數(shù)學(xué)史上是最早的。因此，我們說最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國人。
3．什么是類比猜想？并舉一個例子說明。
①人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。②例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與
3、分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對應(yīng)相似的。
4．簡述表層類比，并用舉例說明。
：①表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進(jìn)行的類比。這種類比可靠性較差，結(jié)論具有很大的或然性。②例如，從類比出是錯誤的，而類比出在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。
5．?dāng)?shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循序漸進(jìn)原則？試舉例說明。
：①數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。②學(xué)生對每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是從個別到一般，
4、從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。③例如，學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學(xué)習(xí)數(shù)軸時，要求學(xué)生會借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。
1．為什么說數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸？
正確答案：①運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法解決問題時，不是直接求出實(shí)際問題的解，因?yàn)檫@樣做往往是行不通的或者花費(fèi)過分昂貴。②而是先將實(shí)際問題化歸為一個合適的數(shù)學(xué)模型，然后通過求數(shù)學(xué)模型的解間接求出原實(shí)際問題的解，走的是一條迂回的道路。③因此，我
5、們說數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸。
2．特殊化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用有哪些？
正確答案：①利用特殊值(圖形)解選擇題。②利用特殊化探求問題結(jié)論。③利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果。④利用特殊化探索解題思路。
3．為什么數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用？
正確答案：①數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實(shí)世界本身是同時兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，既不存在有數(shù)無形的客觀對象，也不存在有形無數(shù)的客觀對象。②因此，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。③充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問題，對于溝通代數(shù)、三角、幾何各分支之間的聯(lián)系，提高分析問
6、題、解決問題的能力具有重要作用。
4．什么是公理方法和公理體系？
正確答案：簡要地說就是從初始概念和公理出發(fā)，按照一定的規(guī)律定義出其他所有的概念，推導(dǎo)出其他一切命題的一種演繹方法（5分）。公里體系由初始命題、公理、邏輯規(guī)則、定理等構(gòu)成（5分）。
5．簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個主要階段。
正確答案：
① 潛意識階段——在這個階段學(xué)生只注意數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，注意知識積累，而未曾注意到對這些知識起到橫向聯(lián)系和固定作用的思想方法，或者只是處于一種“朦朦朧朧”、“若有所悟”的狀況；（3分）
②明朗化階段——隨著運(yùn)用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐機(jī)會的增多，隱藏在數(shù)學(xué)知識后面的思想方
7、法就會逐漸引起學(xué)生的注意和思考，直至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng)悟。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度時，這種事實(shí)上已經(jīng)被應(yīng)用多次的思想方法就會凸現(xiàn)出來，學(xué)生開始理解解題過程中所使用的方法與策略，并且概括總結(jié)出這一思想方法；（3分）
③深刻理解階段——在這個階段，學(xué)生基本上能正確運(yùn)用某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索和思考，以求得問題的解決。同時，在解決問題的實(shí)踐過程中，學(xué)生又將加深了對數(shù)學(xué)思想方法的理解，并養(yǎng)成了有意識地、自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的思維習(xí)慣。（4分）
1．模型化的方法、開放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間的關(guān)系
正確答案：模型化的方法與開放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間是互相適應(yīng)并且互相促進(jìn)的。
8、（2分）雖然，各個數(shù)學(xué)模型之間也有一定的聯(lián)系，但是它們更具有相對獨(dú)立性。一個數(shù)學(xué)模型的建立與其它數(shù)學(xué)模型之間并不存在邏輯依賴關(guān)系。正因?yàn)槿绱?，所以可以根?jù)需要隨時從社會實(shí)踐中提煉出新的數(shù)學(xué)模型（3分）。另一方面，由于運(yùn)用模型化的方法研究數(shù)學(xué)，新的數(shù)學(xué)模型從何產(chǎn)生？只有尋找現(xiàn)實(shí)原型、立足于現(xiàn)實(shí)問題的研究，這就不可能產(chǎn)生封閉式的演繹體系（2分）。解決實(shí)際問題還提出了這樣的要求：對由模型化方法求得的結(jié)果必須能夠檢驗(yàn)其正確性和合理性，為了能夠求得實(shí)際可用的結(jié)果，于是算法化的內(nèi)容也就應(yīng)運(yùn)而生（3分）。
2．算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想有何區(qū)別？
正確答案：區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代
9、數(shù)解題允許未知的量參與運(yùn)算（5分）；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關(guān)鍵之處列方程（5分）。
3．簡單說明社會科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因？
正確答案：第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)（2.5分）；第二，社會科學(xué)理論體系的發(fā)展需要精確化（2.5分）；第三，出現(xiàn)了一些適合研究社會歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支（2.5分）；第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用（2.5分）。
4．第一次數(shù)學(xué)危機(jī)最終如何解決了？
正確答案：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)并沒有輕易地很快解決。最后約在公元前370年，才由柏拉圖的學(xué)生歐多克斯解決了（5分）。他創(chuàng)立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的方法，被歐幾里得《
10、幾何原本》第二卷(比例論)收錄。這個問題到19世紀(jì)戴德金及康托爾等人建立了現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論才算徹底解決（5分）。
5．何謂化歸方法？它遵循哪三個原則？
正確答案：所謂化歸方法，就是將一個問題進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一已能解決的問題，既然已可解決，那么也就解決了（5分）。化歸方法遵循三個原則：簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則（5分）。
1．我國數(shù)學(xué)教育存在哪些問題？
正確答案：①數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果，輕過程；重解題訓(xùn)練，輕智力、情感開發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下；②重模仿，輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動性，缺乏判斷力和獨(dú)立思考能力；③學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。原因是課堂教學(xué)效益不高，
11、教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。
2．《幾何原本》貫徹哪兩條邏輯要求？
正確答案：《幾何原本》貫徹了兩條邏輯要求。①第一，公理必須是明顯的，因而是無需加以證明的，其是否真實(shí)應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗(yàn)，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的，因而無需加以定義。②第二，由公理證明定理時，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則；同樣，通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時，必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。
3．簡述數(shù)學(xué)抽象的特征。
正確答案：數(shù)學(xué)抽象有以下特征：①數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性；②數(shù)學(xué)抽象具有層次性；③數(shù)學(xué)
12、抽象過程要憑借分析或直覺；④數(shù)學(xué)的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象
4．什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個不符合算法有限性特點(diǎn)的例子。
①算法得有限性是指一個算法必須在有限步之內(nèi)終止。②例如，對初始數(shù)據(jù)20和3，計(jì)算過程無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束，同時也不會出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程，我們只能得到一個近似的、不準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計(jì)算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法?？梢姡M(jìn)小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點(diǎn)。
5．簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理由。
正確答案：①由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是如
13、果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識，而注意不到處于深層的思想方法。②因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時必須以數(shù)學(xué)知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學(xué)過程達(dá)到思想方法教學(xué)之目的。
1、簡述《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的幾個主要特點(diǎn)。
答： 2001年6月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點(diǎn)和具體目標(biāo)，并呈現(xiàn)下列八個特點(diǎn)： 1）、把“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，且能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)
14、。 2）、把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)課程的一個目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程是將學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)一步提高、抽象的過程。 3）、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學(xué)”當(dāng)成是“未完成的數(shù)學(xué)”來教，給學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的機(jī)會。 4）、把“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“學(xué)段目標(biāo)”中的“解決問題”方面的具體闡述，實(shí)際上提出了“問題解決”的教學(xué)模式，即：情境—問題—探索—結(jié)論—反思。 5）、把“數(shù)學(xué)思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。 6）、把“數(shù)學(xué)活動”作為數(shù)學(xué)課程的一個方面。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會”，幫助他
15、們“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)”。 7）、把“合作交流”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問題的過程中“學(xué)會與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。 8）、把“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。
1、 論述社會科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因。
答：從整個科學(xué)發(fā)展趨勢來看，社會科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必 然的趨勢，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個方面： 第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會科學(xué) 數(shù)學(xué)化的最根本的因素。 第二，社會科學(xué)的各分支逐步走向成熟，社會科學(xué)理論體系 的發(fā)展也需要精確化。 第三，隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。 第
16、四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，使非常復(fù)雜社會現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進(jìn)行數(shù)值處理。
2、 論述數(shù)學(xué)的三次危機(jī)對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。
答：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)フJ(rèn)識和理解無理數(shù)，導(dǎo)致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)ド钊胩接憣?shí)數(shù)理論，導(dǎo)致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們研究和分析數(shù)學(xué)悖論，導(dǎo)致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。 由此可見，數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容，新 的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展
簡述公理方法歷史發(fā)
17、展的各個階段
答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學(xué)也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。
在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時應(yīng)注意哪些問題？p205
答：（1）要把數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)納入教學(xué)目標(biāo)，并在教案中設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程，這就要求教師具備較高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，具備數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)知識，更需要教師更新教學(xué)觀念，不斷提高對教
18、學(xué)重要性的認(rèn)識。 （2）重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；（3）做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作； （4）不同類型的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求； （5）注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用。
簡述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。p119.3
答：（1）電子計(jì)算機(jī)把數(shù)學(xué)家從繁重的、單調(diào)的、重復(fù)性的腦力勞動中解放出來，讓他們有更多的時間從事更富創(chuàng)造性的抽象思維工作，從而更有利于數(shù)學(xué)理論的發(fā)展；
（2）借助電子計(jì)算機(jī)的計(jì)算，人們可以得到一些新的猜想，并據(jù)此進(jìn)一步作出理論證明；也可以對已有的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證；還可以用計(jì)算機(jī)來證明某些理論問題；
（3）電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展本身也提出了許多數(shù)學(xué)理論問題。
簡述計(jì)算工具的發(fā)展。p114-116
答：計(jì)算工具的發(fā)展大致經(jīng)歷了：古代的計(jì)算工具；機(jī)械式計(jì)算工具；電動式計(jì)算機(jī)；機(jī)電式計(jì)算機(jī)；電子計(jì)算機(jī)。
33．簡述小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性，具體表現(xiàn)？p185（p307）
答：（1）數(shù)學(xué)思想方法是知識向能力過渡的橋梁； （2）人的數(shù)學(xué)智能依賴于數(shù)學(xué)思想方法的掌握； （3）數(shù)學(xué)思想方法能有效地提高人的思維品質(zhì)； （4）數(shù)學(xué)思想方法能有效地促進(jìn)人的全面發(fā)展。
《數(shù)學(xué)思想方法》復(fù)習(xí)題三
