數(shù)學(xué)物理方程總結(jié)

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1、浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 第1章 ：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式： 其中是自變量，是未知函數(shù) 偏微分方程的分類：線性PDE和非線性PDE，其中非線性PDE又分為半線性PDE，擬線性PDE和完全非線性PDE。 二階線性PDE的分類（兩個自變量情形）： （一般形式 記為 PDE（1）） 主部 目的：可以通過自變量的非奇異變換來化簡方程的主部，從而據(jù)此分類 非奇異 根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)公式最終可得到： 其中： 考慮如果能找到兩個相互獨立的解 那么就做變換 從而有 在這里要用到下面兩個引理： 引理1：假設(shè)是方程

2、 (1)的特解，則關(guān)系式是常微分方程： （2）的一般積分。 引理2：假設(shè)是常微分方程（2）的一般積分，則函數(shù)是（1）的特解。 由此可知，要求方程（1）的解，只須求出常微分方程（2）的一般積分。常微分方程（2）為PDE（1）的特征方程，（1）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。 記 則： 一維的波動方程： 一維的熱傳導(dǎo)方程 高維的情況只需要把改為laplace的形式即可。 數(shù)學(xué)物理方程（泛定方程）加上相應(yīng)的定解條件就構(gòu)成了定界問題。根據(jù)定解條件的不同，又可以把定解問題分為三類： 初值問題（Dirichlet）：定解條件僅有初值條件 邊值問題（Neuma

3、nn）：定解條件僅有邊值條件 混合問題（Rbin BC）：定解條件有初值條件也有邊值條件 數(shù)學(xué)物理方程的解：如果一個函數(shù)在某一自變量的取值區(qū)域內(nèi)有所需要的各界連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，并且?guī)霐?shù)學(xué)物理方程使方程成為等式，稱此函數(shù)為在該取值區(qū)域方程的解。 定界問題的適定性： 如果一個定解為題的解存在，唯一且穩(wěn)定，就稱這個定界問題是適定的；反之，若有一個性質(zhì)不滿足，則稱這個定界問題是不適定的。 所謂界存在，是指定解問題至少有一個解。如果一個定界問題的解不存在，這個問題就完全失去了意義，但定界問題反應(yīng)的是客觀物理實際，在實際問題中解釋存在的。若定解問題的解不存在，說明所建立的定界問題是錯誤的，

4、可能是在推導(dǎo)過程中有非次要因素被忽略掉了，導(dǎo)致泛定方程錯誤，還有可能定解條件給錯了等。這就需要重新考慮定解問題的提法。 解的唯一性從物理意義上講是顯然的，如果解存在但不唯一，將無法確定所求解是否是所需要的，當(dāng)然也無法求近似解。這表明問題的提法還不夠確切，需要進(jìn)一步分析。 所謂解的穩(wěn)定性，是指當(dāng)定解問題有微小變動時，解是否相應(yīng)地有微小的變動，如果是這樣，該解就是穩(wěn)定的解；否則所得的解就沒有實用價值，因為定解條件通常是利用實驗方法所獲得的，因而所得到的結(jié)果有一定的誤差，如果因此導(dǎo)致解的變動很大，那么這種解顯然不符合客觀實際的要求。 而我們多學(xué)的定解問題都是經(jīng)典問題，他們的適定性都是

5、經(jīng)過證明了的。 第2章 ：分離變量法 分離變量法的主要思想:1、將方程中含有各個變量的項分離開來，從而原方程拆分成多個更簡單的只含1個自變量的常微分方程；2、運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程；3、利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識、以及其他巧妙方法，求出各個方程的通解；4、最后將這些通解“組裝”起來。 分離變量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。主要根據(jù)的理論依據(jù)是線性方程的疊加原理和Sturm-Liouville 理論。最核心的思想是將偏微分方程的求解化為對常微分方程的求解。 下面就有界弦的自由振動的定解問題討論 觀察注意其特點是： 方程齊次, 邊界齊次

6、. 端點會引起波的反射，弦有限長，波在兩端點之間往返反射。兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。駐波的特點： (1) 沒有波形的傳播，即各點振動相位與位置無關(guān)，按同一方式隨時間振動，可統(tǒng)一表示為(2) 各點振幅隨點而異，而與時間無關(guān)，用 X(x) 表示,所以駐波可用 表示 設(shè)且不恒為零，帶入方程和邊界條件中得到 （1） 由于不恒為零，有： （2） （3） 利用邊界條件： （4） （4） （5） 參數(shù)成為特征值。函數(shù)成為特征函數(shù)下面分三種情況討論特征值問題 （i）方程的通解為由邊值條件得 C1 =C 2=0 從而 （ii）方程的通解同樣的到， （iii）時，通解由

7、邊值條件得 得到從而，故 即 而由于 再求T： 其解為： 所以根據(jù)疊加原理可以得到： 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x＝0 和 x=l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 解的物理意義 u(x,t )是由無窮多個振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。 n＝1的駐波稱為基波,n>1的駐波叫做n次諧波. 注意：分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。 其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運用疊加原理。對于不同類型的定解條件做了如下總結(jié) 左端點 右端點 特征值 特征函數(shù) 取值

8、范圍 一 一 n=1,2,3，。。。 一 二 n=0，1,2，。。。 二 二 n=0，1,2，。。。 二 一 n=0，1,2，。。。 齊次化原理：（Duhamel） 設(shè)上的函數(shù)關(guān)于自變量x，t二次可微連同關(guān)于x和t的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)都對在上連續(xù)，且滿足： 則函數(shù)是下面方程的解： 1、 圓域上的laplace方程 定界問題 邊界條件 想法是把空間柱面坐標(biāo)退化為二維的極坐標(biāo)。挖掘邊界條件: r的邊界是0和a, j的邊界是0和2π.自然邊界條件有限值，周期邊界條件：，分離變量

9、令，帶入極坐標(biāo)Laplace方程：得到： 于是可以化為下面兩個常微分方程： 、求解式（1）的本征函數(shù)得到： 在求解（2）式，形式上是歐拉方程，因此可以通過來進(jìn)行代換，得： 因此式（2）化簡為：它的通解是： m=0時， m≠0時， 由自然邊界條件“u(0,j)=有限值“ 可知=0和=0.所以，原Laplace方程的通解為：再代入邊界條件： 上式實際上就是f(j)的傅立葉級數(shù)展開式，所以待定系數(shù)可以確定： 二維Laplace方程的一般解為： 1) 如果考慮圓內(nèi)問題則其解為： 2) 如果考慮圓外問題則其解為： 3) 如果考慮是圓環(huán)問題，則其解為一般

10、解，其中的系數(shù)由邊界條件確定。 關(guān)于非齊次邊界條件的問題可以轉(zhuǎn)化為其次邊界條件，因此在這里就不多說了，其求解原理和方法和求解其次邊界條件問題是一樣的。 第3章 ：行波法和積分變換 行波法： 1. 基本思想:先求出偏微分方程的通解，然后用定界問題確定特解。 2. 關(guān)鍵步驟：通過變量代換，將波動方程化為便于積分的其次二階偏微分方程 3. 適用范圍：無界域內(nèi)的波動方程等 達(dá)朗貝爾公式： 其解為： （一味的達(dá)朗貝爾公式） 再次引入一個平均值函數(shù) 為了應(yīng)用這種表達(dá)式在這里令a=x+at;b=x-at 則有 則達(dá)朗貝爾公式可以表示如下形式： 解的物理意義： a. 只有初始位移時

11、，，代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波，代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波。 b. 只有初始速度時：，假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于0，。。 結(jié)論是：達(dá)朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。 相關(guān)概念： 當(dāng)方程為非齊次時： 由疊加原理可知，如果v（x，t）是初值問題： 的解。 w（x，t）是初值問題： 則u=v+w是初值問題（*）的解，即可直接寫出（*）的解u（x，t）為： （這個公式成為一維非齊次波動方程初值為題解的Kirchhoff公式） 半無界弦的振動問題： 1. 端點固定 求解的思想是，把它轉(zhuǎn)化為無

12、界弦的振動問題，因此需要做一個奇延拓： 則問題轉(zhuǎn)化為： 即解為： 通過討論t的范圍（分為x>at,和0

13、z），考慮 u 在以（x，y，z）為球心，r 為半徑的球面上的平均值。直接得出三維波動方程的解為： 并令則得到： 二維波動方程的初值問題 求解方法：降維法：由高維波動方程的柯西問題的解來求解低維波動方程柯西問題的方法。 由Hadamard最早提出的。由于初始數(shù)據(jù)與第三個變量無關(guān)，因此，在上的球面積分可由在圓域：上的積分得到。r=at 由 和可以得到二維波動方程的解為： 物理意義：三維情況是惠更斯原理（有清晰的前鋒和后尾） 二維情況是波的彌散（有清晰的前鋒但無后尾） 積分變換（Fourier變換和Laplace變換） 1. F

14、ourier變換： 定義： 性質(zhì)： 1. 線性性質(zhì)： 2. 尺度性質(zhì)： 3. 位移性質(zhì)： 4. 微分性質(zhì)：一般情況下有 5. 積分性質(zhì)： 6. 卷積公式： 7. Parseval等式 Laplace 變化及性質(zhì) 性質(zhì)： 1. 線性性質(zhì) 2. 3. 相似性質(zhì) 4. 微分性質(zhì)： 一般情況 5. 積分性質(zhì)： 6. 乘多項式性質(zhì)： 7. 延遲性質(zhì)： 8. 初值定理: 9. 終止定理: 10. 卷積公式： 第4章 ：拉普拉斯方程的green函數(shù)法 Green函數(shù)： 格林函數(shù),又稱點源影響

15、函數(shù),是數(shù)學(xué)物理中的重要概念,代表一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場,而知道了點源的場,可以用疊加的方法計算任意源產(chǎn)生的場.。 第一green公式： 同理 第二green公式：兩式相減就得到（green第二公式） 討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題,泊松方程而第一,第二,第三類邊界條件可以統(tǒng)一表示為其中f是區(qū)域邊界上給定的函數(shù)，為第一類邊界條件（Dirichlet BC），為第二類邊界條件（Neumann BC）；為第三類邊界條件（Robin BC） 三維空間Laplace方程的基本解： 定點是動點是 二維空間Laplace方

16、程的基本解： ，動點是 基本解： 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 1) .牛曼問題有解的必要條件 2) 平均值公式則 3) 極值原理：則只在區(qū)域的邊界上取得最大值和最小值. 4) Dirichlet問題的解釋唯一的，Neumann內(nèi)的解（只相差一個常數(shù)）也是唯一的 二 ）狄內(nèi)問題Green函數(shù)法的步驟 （1） 、半空間問題;(鏡象法構(gòu)造green函 任取置+e電荷，在對稱點置-e電荷，則任意點M的電位當(dāng)M位于邊界上時有 （2）.球域 其格林函數(shù)是： （3） 推廣：第一掛限和第二掛限 它的格林函數(shù)的形式是： 圖和上述第一種類型圖相似，其中點是關(guān)

17、于xoz平面的對稱點，點是點關(guān)于xoz平面的對稱點。 (4) 在上半半平面的半球域 構(gòu)造格林函數(shù)法思想如第三種類型其格林函數(shù)是： 其中點是關(guān)于xoy平面的對稱點，點是點關(guān)于xoy平面的對稱點。 課程感悟： 通過這門課程讓我學(xué)到了怎樣去解一些簡單的偏微分方程，了解古典方程的類型，明白了其物理意義和現(xiàn)象。中間老師給我們布置了一個小論文，讓我明白了現(xiàn)在自己的知識很有限，這樣就需要查閱更多的資料和文獻(xiàn)。在無形中就提高了自己的知識面和自己的寫作的能力。這樣的訓(xùn)練讓我受益匪淺，雖然在花費了大量的時間在這門課上，但是我覺得很值得。現(xiàn)在了解了最簡單基本的方程和模型，我相信這對以后的學(xué)習(xí)會有很大的幫助。