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1、 出 版：電子科技大學(xué)出版社 (成都市建設(shè)北路二段四號，郵編： 610054) 責(zé)任編輯：徐守銘 發(fā) 行：電子科技大學(xué)出版社 印 刷：成都蜀通印務(wù)有限責(zé)任公司 開 本： 787mm 1092mm 1/16 印張 16.625 字?jǐn)?shù) 425千字 版 次： 2006年 4月第一版 印 次： 2007年 8月第二次印刷 書 號： ISBN 9787811140989 印 數(shù)： 2001 5000冊 定 價： 28.00元 數(shù)學(xué)物理方程 李明奇 田太心 主編 版權(quán)所有 侵權(quán)必究 郵購本書請與本社發(fā)行科聯(lián)系。電話： (028)832

2、01495 郵編： 610054。 本書如有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回印刷廠調(diào)換。 第一章 緒論 笫二章 定解問題與偏微分方程理論 第三章 分離變量法 第四章 行波法 第五章 積分變換 第六章 Green函數(shù)法 第七章 Bessel函數(shù) 第八章 Legendre多項式 第九章 保角變換法 第十章 非線性數(shù)學(xué)物理方程簡介 第一章 緒論 1.1 常微分方程基礎(chǔ) 1.2 積分方程基礎(chǔ) 1.3 場論基本概念 1.4 常用算符與函數(shù) 1.5 常用物理規(guī)律 1.1 常微分方程基礎(chǔ) 一、一階微分方程 一階常微分方程典則形式與對稱形式分別

3、為 : ( , ) ,y f x y ( , ) d ( , ) d 0p x y x q x y y 1可分離變量的一階微分方程 ( ) d ( ) df x x g y y 2齊次方程 d () d yy f xx ()u x u f u 3一階線性微分方程 ( ) ( )y p x y q x ( ) d ( ) de ( ) e dp x x p x xy q x x c 4 Bernoulli方程 ( ) ( ) ny p x y q x y ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )u n p x u n q x ( 0, 1)n 二、高階微分方程

4、 1可降階的二階微分方程 ( , )y f x y ( , )y f y y ( , )p p f y p 2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程 ( ) ( 1 ) ( 2 )1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n nny a x y a x y a x y a x y 定理 1 的特解可以通過方程 的特解之和求得。 1 L ( )n i i y f x L ( ) , 1 , , iy f x i n （ 1）特征方程有 n個不同的實(shí)根 ，

5、則 ， 為任意常數(shù)； （ 2）特征方程有 r個不同的實(shí)根 ，其 重數(shù)分別為 ， ，則 其中， 為任意常數(shù)。 （ 3）若 ，特征方程有 r個不同的復(fù)根 （ ），其重數(shù)分別為 ，所有復(fù) 根重數(shù)之和為，則 12, , , n 1 e in xi i yc i c 定理 2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為： 12, , , n 12, , , rn n n 1 =r kk nn 1, 0 , 1 , ( 1 )1 ( )eiir nxi i

6、i iiy c c x c x , ijc ()ia x R 12, , , r k k k i 12, , , rn n n 1 , 0 , 1 , ( 1 ) 1 1 , 0 , 1 , ( 1 ) 1 ( ) e sin ( ) e c os ii ii r nx i i i i i i r nx i i i i i i y c c x c x x d d x d x x 3二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解 設(shè) 為 對應(yīng)的齊 次方程的 i ( )重根，其中， 與

7、 分別是次多項式， 為常數(shù)。 則存在次多項式 使非齊次方程 有如下形式的特解： 0 0( ) e xmy p y q y p x 定理 3: ()mpx ()npx 0 0, 1, 2i ()mqx 0( ) e xi my x q x 與 分別是 次多項式， 與 為常數(shù)， 則 的特解為： 定理 4: ()mpx ()npx , mn 0 00( 0 ) 0 00e ( ) c o s ( ) s i n x mny p y q y p x x p x x 0 00e ( ) c o s

8、 ( ) s i n xk lly x p x x q x x 二階非齊次線性微分方程 定理 5: )( xfqyypy 的特解為 21 1200 1 2 1 2 ( ) ( )dd ( , ) ( , ) xxy f y fy y y y y y y 通解為 21 1 2 1 1 2 200 1 2 1 2 ( ) ( )d d ( ) ( ) ( , ) ( , ) xxy f y fy y y C y x C y x y y y y 三、 Euler方程 在微分方程中，我們還經(jīng)常遇到一類 特殊的非常系數(shù)非齊次線性微分方 程 Euler方程的求解：

9、 ( ) 1 ( 1 )0 1 1 ()n n n n nnp x y p x y p x y p y f x 0 D ( D 1 ) ( D 1 ) (e ) n t nk k p k y f 四、 Bessel方程 定義 2 二階線性微分方程 2 2 2( ) 0 x y x y x y 稱為 Bessel方程， 為非負(fù)常數(shù)。 定義 4 二階線性微分方程 2 22 1 0 2 x y x y x m y 稱為半奇數(shù)階 Bessel方程。 (m為整數(shù) ) 定義 5 二階線性微分方程 2 2 2( ) 0 x y x y x y

10、 稱為虛宗量 Bessel方程。 五、 Legendre方程與 SturmLiouville方程 定義 6 二階線性微分方程 2( 1 ) 2 ( 1 ) 0 , 1 , 1 x y x y n n y x 稱為 n階 Legendre方程。 定義 7 二階線性微分方程 d d ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0dd yxk x x q x y xxx a x b 稱為 SturmLiouville方程。 六、微分方程解的理論基礎(chǔ) 定義 8 對于一階微分方程，稱以下問題為 Cauchy問題： 00 ( , ) () y f x

11、 y y x y 定義 9 對于二階微分方程，稱以下問題為邊值問題： 1 2 3 4 5 ( , , , ) 0 , ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y y y t a y a y a y a y a 設(shè)為 方程 的平凡解， 若 ，當(dāng) 時，對 ， 有 ，則稱 解穩(wěn)定。 定義 10: 0y ( , )y g x y 0 0 00 , , ( , ) 0 , x I x y 00( ,

12、)yx 0 xx 00( , , )y x x y 0y 定義 11: 設(shè) 為方程 的平凡解， 若 ，當(dāng) 時， ， 有 ，則 稱解不穩(wěn)定。 0y ( , )y g x y 0 0 00 , , 0 ,xy 0y 10 xx 1 0 0( , , )y x x y 0y 1.2 積分方程基礎(chǔ) 定義 1 積分號下含有未知函數(shù)的方程稱為積分方程。若 方程關(guān)于未知函數(shù)是線性的，則稱之為線性積分 方程；否則該積分方程稱為非線性積分方程。 定義 2 若未知函數(shù)只出現(xiàn)在積分號下，稱為第一

13、類線性 積分方程；若未知函數(shù)不僅出現(xiàn)在積分號下，還 出現(xiàn)在其他部分，則稱為第二類線性積分方程。 定義 3 若含參數(shù)齊次方程 ， 在 有非零解，則 稱為特征 值，相應(yīng)的解為特征函數(shù)。特征函 數(shù)構(gòu)成的空間稱為線性空間，其維 數(shù)稱為 的重數(shù)。 ( ) ( , ) ( ) dbay x k x t y t t 0 0 0 定理 1 若 在 ， 在 內(nèi) 都連續(xù)，且 ， ， 。級數(shù) 在 一致絕 對收斂，并且為方程 的唯一解。 ()fx , x a b ( , )k

14、 x t , , a b a b ()f x m ( , )k x t M 1M b a 0 ()iii x , x a b ( ) ( ) ( , ) ( ) d b a y x f x k x t y t t 定義 4 若 ， 與 都線性 無關(guān)，則 稱為退化核。 為退化核，則方程 變?yōu)? 代入原方程得 1 ( , ) ( ) ( )n ii i k x t x t ()i x ()i t ( , )k x t ( , )k x t ( ) ( ) ( , ) ( ) db a y x f x k x t

15、y t t 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) da n b i i iiy x f x x y y t y t ti 1 , n i i i k k k y f y ( ) ( ) d , ( ) ( ) d , 1 , , bbik i k i iaat t t f t f t t i n 1.3 場論基本概念 一、散度與通量 設(shè) S是一分片光滑的有向曲面，其單位側(cè)向量 為 ，則向量場 沿曲面 S的第二類曲 面積分 0n ( , , )x y zA 0dd SS S A S A n 稱為向量場通過曲面 S向著指定側(cè)的通量。

16、 如果 S是一分片光滑的閉曲面，為外法向， V 為 S所包圍的空間區(qū)域，由 Gauss公式有 0 dd ( , , ) d d ( , , ) d d ( , , ) d d ( ) d d d SS S x y z V S p x y z y z q x y z z x r x y z x y p q r x y z A S A n 其中， 稱為向量場的散度，記 為 ，即 x y zp q r div A d i v x y zp q r A 二、環(huán)流量與旋度 對于給定向量場 ( , , ) ( , ,

17、 ) ( , , ) ( , , )x y z p x y z q x y z r x y z A i j k 設(shè) L為場內(nèi)一有向閉曲線， L上與指定方向一致的 單位切向量為 ，則稱積分 0 0ddLL s A r A 為向量場沿有向閉曲線 L的環(huán)流量。 設(shè) S是以 L為邊界的有向曲面，曲線 L的方向與曲 面 S的側(cè)符合右手規(guī)則，由 Strokes公式，有 d ( , , ) d ( , , )d ( , , )d ( ) c o s ( ) c o s ( ) c o s d LL y z z x x y S p x y z x q x y z y r x y

18、 z z r q p r q p S Ar 其中，向量 為有向曲面 S的單位法 向量 的方向余弦，向量場的旋度記為 ， 且 c o s , c o s , c o s 0n rot A r o t ( ) ( ) ( )y z z x x yr q i p r j q p k A 旋度是一個向量，它是由向量場產(chǎn)生的向量 場，稱為旋度場。 1.4 常用算符與函數(shù) 一、常用算符 求導(dǎo)算子 D： D ( ) ( )f x f x 梯度算子 與 Laplace算子 是兩個最基本的算符： , , x y

19、 z 2 2 2 2 2 2x y z 設(shè)為向量場， 為數(shù)值函數(shù)，則有 以下公式： ( , , )u u x y z g r a d uu d iv AA r ot AA 2 g r a d u u u u ( ) u v u v u v 定理 1 設(shè)平面區(qū)域 D由分段光滑的閉曲線 L圍成，函 數(shù) 、 在 L上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則有 Green公式： ( , )p x y ( , )q x y ( , ) d ( , )d ( , ) ( , ) d dxyL D p x y

20、 x q x y y q x y p x y x y 式中， L的方向?yàn)閰^(qū)域 D邊界曲線的正向。 定理 2 設(shè)曲線 L為分段光滑的空間有向閉曲線， S為 以 L為邊界的任意分片光滑的有向曲面。函 數(shù) 、 、 在包含 S的 某一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 Strokes公式 ( , , )p x y z ( , , )q x y z ( , , )r x y z d d d d d d ( , , ) d ( , , ) d ( , , ) d L S y z z x x y p x y z x q x y z y r x y z

21、z x y z p q r 定理 3 設(shè)分片光滑的有向閉曲面圍成空間區(qū)域 V。函 數(shù) 、 、 在 V上具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，則有 Gauss公式： ( , , )p x y z ( , , )q x y z ( , , )r x y z ( , , ) ( , , ) d d ( , , ) d d ( ) d d dx y z SV p x y z d y d z q x y z z x r x y z x y p q r x y z 式中， S為空間區(qū)域 V的外側(cè)。 二 、 函數(shù) 、 函數(shù)與誤差函數(shù) 1 函數(shù)是指

22、 1 0 ( ) e d , 0 xtx t t x 2 函數(shù)是指 1 11 0 ( , ) ( 1 ) d , 0 , 0pqp q t t t p q 函數(shù)的主要性質(zhì)有： ( , ) ( , )p q q p ( ) ( )( , ) () pqpq pq 3誤差函數(shù)是指 2 0 2e r f ( ) e d x txt 余誤差函數(shù)是指 e r c f ( ) 1 e r f ( )xx 主要性質(zhì)有： 2 2 4 6 1 e 1 3 4 4 5 6e r c f ( ) ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) x x x x x x

23、 三、常用結(jié)論 命題 1 ，其球坐標(biāo)表示為 。 n為以原點(diǎn)為球心，半徑為 r的球面的外側(cè)，則 ( , , )u u x y z ( , , )u u r r u u n 命題 2 2 2 1 1 1 1c os 2 2 1 2 c os( ) n n kk n t k t k | | 1k 1.5 常用物理規(guī)律 1 Newton第二定律。平動規(guī)律： ；轉(zhuǎn)動規(guī) 律： 。 2 Hooke定律。 （ 1）在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力和彈簧的伸長成正 比： 。其中，

24、 k為彈簧的彈性系數(shù)。負(fù)號表示 彈力的方向和形變量的方向相反。 （ 2）彈性體的應(yīng)力 p與彈性體的相對伸長成正 比： 。其中， Y為楊氏模量，表示相對伸長。 F m a MI f kx xp Y u 3 Fourier實(shí)驗(yàn)定律（即熱傳導(dǎo)定律）。當(dāng)物體內(nèi) 存在溫差時，會產(chǎn)生熱量的流動。在 dt時間內(nèi)，沿 熱流方向流過面積微元 dS的熱量為，其中 k稱熱傳 導(dǎo)系數(shù)，它與物體的材料有關(guān)；式中的負(fù)號表示熱 量由高處流向低處；為溫度沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)。 熱流密度 q為 d ( , ) dd n Qq k u x t St 4 Newton冷卻定律。設(shè) 為周圍介質(zhì)的溫度，

25、 為物體的溫度。物體冷卻時單位時間內(nèi)流過單 位面積放出的熱量與物體和外界的溫度差 （ ）成正比，即熱流密度 q為 。 5熱量守恒定律。物體內(nèi)部溫度升高所吸收 的熱量，等于流入物體內(nèi)部的凈熱量與物體內(nèi) 部的源所產(chǎn)生的熱量之和。 0u su 0su u 0sq k u u 6擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)定律。當(dāng)物體內(nèi)濃度分布不均勻時會引 起物質(zhì)的擴(kuò)散運(yùn)動。沿粒子流方向流過面積微元 dS 的粒子質(zhì)量為 ，其中 k稱為擴(kuò)散系數(shù)， 它與材料有關(guān)；負(fù)號表示粒子流由濃度高處流向低處， 為溫度沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)。粒子流密度 q 為 。 7電荷守恒定律。

26、電荷既不能創(chuàng)造，也不能消滅， 它們只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體 的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。 d ( , ) d dnM k u x t S t nu ( , )nq k u x t 8 Coulomb定律。放臵于坐標(biāo)原點(diǎn)的電量為 e的 點(diǎn)電荷所產(chǎn)生電場（介電常數(shù)為）的電位勢 為 。 9 Gauss定律。通過一個任意閉合曲面的電通量， 等于這個閉曲面所包圍的自由電荷的電量的倍。 即 。其中， 為介電常數(shù)， 為體電荷 密度。 4 eu r 1 1dd SV v ES 10 JouleLenz定律。電流通過純電阻的一導(dǎo)體 時所放出的熱量跟電流

27、強(qiáng)度的平方、導(dǎo)線的電阻 和通電的時間成正比。即 。 11 Kirchhoff定律。 （ 1）第一定律。會合在節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和為零， 即 。 （ 2）第二定律。沿任一閉合回路的電勢增量的 代數(shù)和為零，即 。 2Q R tI 1 0n k k I 11 nn kk kkkIR 12 Faraday電磁感應(yīng)定律。不論任何原因使 通過回路面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中產(chǎn) 生的感應(yīng)電動勢與磁通量對時間的變化率的負(fù) 值成正比，即 式中， N為感應(yīng)回路串聯(lián)線圈的匝數(shù)。此即 Faraday電磁感應(yīng)定律。由該定律知，當(dāng)閉合回 路（或線圈）中的電流發(fā)生變化而引

28、起自身回 路的磁通量改變而產(chǎn)生的自感電動勢為 式中， L為自感系數(shù)。 d dN t d d L t 2.1 波動方程及定解條件 2.2 熱傳導(dǎo)方程及定解條件 2.3 穩(wěn)態(tài)方程的定解問題 2.4 方程的化簡與分類 2.5 二階線性偏微分方程理論 2.6 函數(shù) 笫二章 定解問題與偏微分方程理論 2.1 波動方程及定解條件 一、波動方程的建立 細(xì)弦線橫振動問題。 設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦線，一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，另一端沿 x軸拉緊固定在 x軸上的 L處，受到擾動，開始沿 x軸（平衡位臵） 上下作微小橫振動（細(xì)弦線上各點(diǎn)運(yùn)動方向垂直于 x軸）。試 建立細(xì)弦線上任

29、意點(diǎn)位移函數(shù)所滿足的規(guī)律。 u T 1 0 x x +d x L x T 2 g d x 2 1 二、定解條件 1初始條件 波動方程含有對時間的二階偏導(dǎo)數(shù)。因此，一般要 給出兩個初始條件。對于做機(jī)械運(yùn)動的物體，其初 始條件可以從系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移和初速度考慮，即 0 0 () () t tt ux ux 2邊界條件 描述物理問題在邊界上受約束的狀態(tài)， 歸結(jié)為三類邊界條件。 （ 1）第一類邊界條件：給出未知函數(shù) u在邊界上的分 布值。例如，長為 L的細(xì)弦線橫振動，細(xì)弦線的兩端 固定在原點(diǎn)和 x軸的 L處，其邊界條件為 ，稱固定端。 （ 2）

30、第二類邊界條件：給出未知函數(shù) u在邊界上的法 向?qū)?shù)值。 （ 3）第三類邊界條件：第一類和第二類邊界條件的 線性組合。 0 0 , 0 x x Luu 2.2 熱傳導(dǎo)方程及定解條件 一、熱傳導(dǎo)方程 細(xì)桿的橫截面積為常數(shù) A，又設(shè)它的側(cè)面絕熱， 即熱量只能沿長度方向傳導(dǎo)，由于細(xì)桿很細(xì)，以 致在任何時刻都可以把橫截面積上的溫度視為相 同，密度為 。試求細(xì)桿的溫度分布規(guī)律。 x x x +d x L 0 二、擴(kuò)散方程的建立 * 設(shè)半導(dǎo)體材料每點(diǎn)的橫截面積相等，其值為 A；在 這塊材料中，有一種雜質(zhì)正在擴(kuò)散，我們用 u表示 雜質(zhì)濃度，即單位體積內(nèi)所含雜質(zhì)的質(zhì)量；由于各 個橫截面上雜質(zhì)

31、的濃度不一樣，而且它又是隨時間 改變的（設(shè)同一時間同一橫截面上各點(diǎn)處的濃度是 相同的），所以濃度 u既是位臵 x的函數(shù)，又是時間 t 的函數(shù)，即 。求 滿足的規(guī)律。 A x x 0 x +d x ( , )u x t ( , )u x t 三、定解條件 1初始條件 熱傳導(dǎo)方程含有對時間的一階偏導(dǎo)數(shù)，故只要一個 初始條件 初始時刻的溫度分布。 2邊界條件 （ 1）第一類邊界條件，給定溫度在邊界上的值。若細(xì)桿在 x=0端保持為零度， 端保持為 度，則有： ， 。 （ 2）第二類邊界條件，給定溫度在邊界上的法向?qū)?shù)值。

32、 （ 3）第三類邊界條件，給定邊界上溫度與溫度的法向?qū)?shù)的 線性關(guān)系。 TxL 0 0 xu xLuT 2.3 穩(wěn)態(tài)方程的定解問題 一、靜電場的電位方程 設(shè)空間有一分布電荷，其體密度為 ， E 表示電場強(qiáng)度， 表示電位，在國際單位制 下，靜電場滿足： （ 1）靜電場的發(fā)散性： ； （ 2）靜電場的無旋性： ； （ 3）靜電場存在場勢函數(shù)： ( , , )x y z ( , , )u x y z E 0 E u E 二、自由電磁波方程 設(shè)空間中沒有電荷，且和分別表示電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng) 度。由電磁場理論，描

33、述介質(zhì)中電磁場運(yùn)動的 Maxwell 方程組的微分形式為 0 0 t t H E E HE E H 三、穩(wěn)態(tài)場定解條件的提法 1邊界條件 邊界條件共分三類，第一類、第二類、第三類邊界條 件也是分別給出邊界上未知函數(shù)值、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 值或兩者的線性關(guān)系。穩(wěn)態(tài)場方程加上第一類、第二 類、第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題分別稱為第一類、 第二類、第三類邊值問題，也依次稱為 Dirichlet問題、 Neumann問題和 Robin問題。 2銜接條件 性質(zhì) 1 在兩種介質(zhì)的分界面上，靜電場電勢的邊值關(guān)系為 式中，

34、與 分別為界面兩側(cè)介質(zhì)的電勢和 介電常數(shù)； n是界面上由介質(zhì) 1指向介質(zhì) 2的法向單 位向量； 是界面上的自由電荷面密度。 21 1 2 2 1, f uuuu nn 12, uu 12, f 性質(zhì) 2 若為 導(dǎo)體的電勢， 為絕緣介質(zhì)的電勢， 為封閉面 S所包圍的電量的代數(shù)和，則在 導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上電勢 u的邊值關(guān)系為 1u 2u fQ 12uu 2 2 f u n 2 2 d f S u SQ n 3有限性條件 例如，在靜電場中常利用在坐標(biāo)原點(diǎn)電勢有限的條件 （當(dāng)原點(diǎn)無點(diǎn)電荷時）。 4周期性條件 由于物理量在同一點(diǎn)、在同一

35、時刻有確定值，在采用球坐標(biāo)系 （或柱坐標(biāo)系）時，就必然導(dǎo)致周期性條件，因?yàn)? 與 均表示空間同一點(diǎn)，由電勢的唯一性可得 , , 2 , , u r u r , , 2 r ( , , )r 2.4 方程的化簡與分類 一、方程的化簡、特征方程 二、方程的分類 若在區(qū)域 D中某點(diǎn) ，有 （或 ），我們就稱方程式在點(diǎn)為雙曲 型（或拋物型，或橢圓型）。 若方程在某個區(qū)域中的每一點(diǎn)均為雙曲型（或拋 物型，或橢圓型），我們就稱方程在區(qū)域 D上是 雙曲型（或拋物型，或橢圓型）。 00, xy 0 0 , 0 2.

36、5 二階線性偏微分方程理論 一、疊加原理 定義 1 泛定方程是線性的，而且定解條件也是線性 的，這種定解問題稱為線性定解問題。 定義 2 對于一個算子 T，若滿足 則稱算子 T為線性算子。 1 1 2 2 1 1 2 2T T Tc u c u c u c u 疊加原理 1 設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件） （ ） 那么這些解的線性組合必滿足方程 （或定解條件）： 。 疊加原理 2 設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件） （ ） 且級數(shù)收斂，并滿足算子中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與求和記號 交換次序所需要的

37、條件，那么滿足線性方程（或定解 條件） L iiuf 1 , 2 , , in 1 L n ii i u c f L iiuf 1, 2 , i 1 L ii i u c f 疊加原理 3 設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件） 其中， M表示自變量組； M0為參數(shù)組。且積分 收斂，并滿足中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與積分運(yùn)算交換次序 所需要的條件，那么滿足方程（或定解條件） 特別地，當(dāng)滿足齊次方程（或齊次定解條件）時， 也滿足此齊次方程（或齊次定解條件）。 0L , u f M M 00, d v U M u M M M 00L ( ) , d v U M f M

38、 M M 二、齊次化原理 齊次化原理 1 設(shè) 滿足齊次方程的 Cauchy問題（這里， M是自變量組 為參數(shù)） , ; w t M ( , , ) , x y z 2 3 2 L , , 0 , , tt M R t t fM t 齊次化原理 2 設(shè) 滿足 Cauchy問題 , ; tM 3L , , , t M R t t fM 則 Cauchy問題 3 0 L ( , ) , , 0 0t u u f t M M R t t u

39、 0 , ; d t u t M 三、解的適定性 一個定解問題提得是否符合實(shí)際情況，當(dāng)然必須靠實(shí)踐來證實(shí)。 然而從數(shù)學(xué)角度來看，可以從三方面加以檢驗(yàn)： （ 1）解的存在性：研究所歸結(jié)出來的定解問題是否有解。 （ 2）解的唯一性：研究定解問題是否只有一個解。 （ 3）解的穩(wěn)定性：即看當(dāng)定解條件有微小變動時，解也相應(yīng) 地只有微小的變動，則稱解具有穩(wěn)定性。在具體問題中解的穩(wěn) 定性是必需的，否則所得的解就無實(shí)用價值。 2.6 函 數(shù) （ 1）對稱性。 ，即 是偶函數(shù)。形式地作變 量代換 ，對于任何連續(xù)函數(shù) ，有 這就說明了等式

40、的合理性。更一般地，有對稱性 ，即對任何連續(xù)函數(shù)，有 把上式中的與變換位臵，得 。 （ 2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè) ，則由 定義 的算符稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這個定義的合理性可由下面形 式的分部積分看出： ( ) ( )xx ()x xt ()x 0( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( 0)tx x x t t t t 00( ) ( )x x x x 0 0 0( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )x x x x x x x x x 0 0 0( ) (

41、) d ( )x x x x x ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( 0 )x f x x x f x x f x x f 1()f x C ( ) ( ) d ( 0)x f x x f 3.1 齊次弦振動方程的分離變量法 3.2 熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法 3.3 二維定解問題分離變量法 3.4 高維混合問題的分離變量法 3.5 非齊次方程定解問題的解 3.6 非齊次邊界條件定解問題的解 3.7 SturmLiouville固有值問題 第三章 分離變量法 3.1 齊次弦振動方程的分離變量法 一、求解弦振動

42、方程的混合問題 2 0 00 , 0 , 0 0 , 0 ( ), ( ) t t x x x x L t t t u a u x L t uu u x u x 其中為 已知函數(shù)。 ( ) , ( )xx 1當(dāng)時 ，方程 的通解為 0 0XX ( ) e exxX x A B 2當(dāng)時 ，方程 的通解為 。其中 A,B為兩個任意常數(shù)。代入邊界條件，得 0 0XX X Ax B ( 0 ) 0 0 , ( ) 0X A B X L A L B 3當(dāng)時 ，方程 的通

43、解為 0 0XX ( ) c o s s i nX x A x B x 二、級數(shù)解的物理意義 1 ( , ) ( c os sin ) sinnn n n at n at n xu x t C D L L L , sin sinn n n n nxu x t N t L 2 2 1 , ta n ,n n n n n n n C naN C D DL ( , )u x t 是由一系列頻率不同、相位不同、振幅不同的 駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波 振幅的大小和相位的差異，由初始條件決定，而圓頻率 與初始條件無關(guān)，所以也稱為弦的

44、固有頻率。 n naL 三、解的適定性 1解的存在性 2 0 00 , 0 , 0 0 , 0 , tt x x x x L t t t u a u x L t uu u x u x 11 ( , ) ( c o s s in ) s in n n nnn n a t n a t n xu u x t C D L L L 可以驗(yàn)證上述 Fourier解，既滿足方程，又滿足邊界條件和初始條 件。為了保證解的存在性，我們需要以下兩個充分條件： 43, x C x C ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) 0L L

45、L 2能量積分和解的唯一性 弦振動的動能為 ，而位能 為 ，弦振動的總能量 稱為一維波動方程的能量積分。 在沒有外力作用的情況下，總能量 應(yīng)該是守恒的。 2 0 1( ) d 2 L tK t u x 2 0 1( ) d2 L xV t T u x ( ) ( ) ( )E t K t V t ()Et 3.2 熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法 在討論熱傳導(dǎo)方程混合問題的求解時，如果所取的邊界 條件是第一類的，當(dāng)使用分離變量法時，它與上節(jié)所運(yùn) 用過的求解方法相類似，這里就不再重復(fù)了。如果所取 的邊界條件其一端點(diǎn)上是第一類

46、的，另一端點(diǎn)上是第二 類的，那么當(dāng)使用分離變量法時，其基本思路和步驟與 上節(jié)所運(yùn)用過的求解方法也是一致的，只是特征值問題 有所不同。 定理 1（極值原理） 區(qū)域 R為 ， 為區(qū)域 R的邊界。假設(shè) 函數(shù) 在閉域 ： 上連續(xù)，在 上滿足熱傳導(dǎo)方程，則該函數(shù)在區(qū)域上的最大值、 最小值必在其邊界曲線 上取得，即 0 , 0 x L t T ( , )u x t R 0 , 0 x L t T m a x , m a x , , m i n , m i n , RR u x t u x t u x t

47、 u x t 定理 2 熱傳導(dǎo)混合問題的解具有唯一性和穩(wěn)定性。 3.3 二維定解問題分離變量法 求解下列定解問題： 其中， A為常數(shù)。 0 22 02 2 2 11 0 , ( ) c o s u u u uA 3.4 高維混合問題的分離變量法 例 1 求邊長分別為 的長方體中的溫度分布， 設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為 例 2 求解三維靜電場的邊值問題： , , a b c ( , , , 0 ) ( , , )u x y z x y z 0 , 0 , 0 , 0 0 ,

48、, , , 0 , 0 , , , 0 , , 0 0 , , , , x x y y zzu u u x a y b z c u y z u a y z u x z u x b z u x y u x y c x y 3.5 非齊次方程定解問題的解 I： 12 1 1 1 1 2 2 2 2 L L ( , ) , 0 , ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) ( ) tx x x t u u f x t t x x x a u x t u x t a u x t u x t u x

49、x u x x 這里 ， 及分別是關(guān)于及的二階常系數(shù)線性偏微 分算子， 都是非負(fù)常數(shù)， 。當(dāng) 是一階算子時，問題 I中的初始條件只 有： 。求解這類定解問題的一般方法有 兩種：固有函數(shù)法和齊次化原理法。 Lt Lx 1 2 1 2, , , 22 0 ( 1 , 2 )ii i Lt ( , 0 ) ( )u x x 3.6 非齊次邊界條件定解問題的解 現(xiàn)將解定解問題的主要步驟小結(jié)如下： 1根據(jù)邊界的形狀選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，選取的原則是使在此 坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡單。圓、圓環(huán)、扇形等域 用極坐標(biāo)系較方

50、便，圓柱形域與球域分別用柱坐標(biāo)系與球坐 標(biāo)系較方便。 2若邊界條件是非齊次的，又沒有其他條件可以用來定固有 函數(shù)，則不論方程是否為齊次，必須先作函數(shù)的代換使之化 為具有齊次邊界條件的問題，然后再求解。 3非齊次方程、齊次邊界條件的定解問題（不論初始條件如 何）可以分為兩個定解問題，其一是具有原來初始條件的齊 次方程的定解問題，其二是具有齊次定解條件的非齊次方程 的定解問題。第一個問題用分離變量法求解，第二個問題按 固有函數(shù)法求解或用齊次化原理求解。 3.7 SturmLiouville固有值問題 一、 SturmLiouville方程 定理 1 對于第三類邊值問題 ( ) (

51、 ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 k x y q x y x y a x b y a hy a y b hy b 在條件 k(x)及其一階導(dǎo)數(shù) 和在 上連續(xù)， k(x)， ，在區(qū)間 內(nèi)為正， 在 內(nèi)連 續(xù)，且在端點(diǎn) a和 b上至多有一級極點(diǎn)，而 k(x)與 至多有一級零點(diǎn)， ()x , ab ()x ( , )ab ()x ( , )ab ()x （ 1）固有值具有可數(shù)性。存在無窮多個實(shí)的固 有值遞增序列 ； 與其對應(yīng)的固有函數(shù)

52、 。 （ 2）固有值的非負(fù)性。 。 （ 3）固有函數(shù)系的正交性。設(shè) 是任意兩 個不同固有值，則對應(yīng)的固有函數(shù) 與 在區(qū)間 以權(quán)函數(shù) 正交，即有 1 2 3 n lim nn 1 2 3( ) , ( ) , ( ) , , ( ) , ny x y x y x y x 0n mn ()myx ()nyx , ab ()x ( ) ( ) ( ) d 0 , b nm a x y x y x x m n 4展開定理。定義在區(qū)間 上并滿足 固有值問題的邊界條件的任意個具有一階 連續(xù)導(dǎo)數(shù) f(x)和二

53、階逐段連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)可 按固有函數(shù)系 展成絕對且一致收斂 的級數(shù) , ab ( )nyx 1 ( ) ( )nn n f x f y x 其中 2 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d b n a n b n a x f x y x x f x y x x 稱為展開式的系數(shù)或廣義 Fourier系數(shù)。 4.1 一維波動方程的 dAlembert公式 4.2 半無界弦振動問題 4.3 高維波動方程 Cauchy問題 4.4 非齊次波動方程解法 第四章 行波法 4.1 一維波動方程的 dAlembert公式 定義 1 由過點(diǎn) 的

54、兩條斜率分別為 的直線在 x 軸所截得的區(qū)間 稱為點(diǎn)的依賴區(qū)間。 定義 2 區(qū)間 的決定區(qū)域是指過 點(diǎn)作斜率為 的直線 ，過點(diǎn) 作斜率為 的直線 ，它們和區(qū)間 一起構(gòu)成的三角形區(qū)域。 ( , )xt 1a , x a t x a t 12 , xx 1x 1a 1x x at 2x 1a 2x x at 12 , xx t ( x , t ) x 0 x at x + at x = x 2 at x = x 1 + at t x = x 2 at x = x 1 + at 0 x 1

55、 x 2 x t x = x 1 at x = x 2 + at 0 x 1 x 2 x (a ) (b ) (c ) 4.2 半無界弦振動問題 一、端點(diǎn)固定 端點(diǎn)固定的半無界弦振動定解問題是 2 0 , 0 ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) ( ) , 0 (0 , ) 0 t t x x t u a u x u x x u x x x ut 為了把半無界問題作為保持 的無界 問題來處理，必須把 、 和 延拓 到整個無界區(qū)域。 (0 , ) 0ut ( , )u x t ()x (

56、)x 二、端點(diǎn)自由 定解問題是 2 0 , 0 ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) ( ) , 0 (0 , ) 0 t t x x t x u a u x u x x u x x x ut 同理，將 dAlembert解代入，得 11( 0 , ) 022xu t a t a t a t a ta 又由于初始位移和初始速度獨(dú)立，得 , a t a t a t a t 可見， 及 均應(yīng)為正?；呐己瘮?shù)。 x x 4.3 高維波動方程 Cauchy問題 一

57、、 三維波動方程 的球?qū)ΨQ解 2ttu a u 將波函數(shù) u用空間球坐標(biāo)（ ）表示。 球?qū)ΨQ就是指 u與 都無關(guān)。在球坐標(biāo) 系中，波動方程變?yōu)? , , r , 222 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1sin sin sin u u u ur r r r r r a t 22 2 2 2 ( ) 1 ruru r a t 二、三維波動方程 Cauchy問題平均值法 平均值法可以將三維無界空間的自由振動轉(zhuǎn)化成球?qū)?稱情形，把一維的 dAlembert公式推廣到三維。設(shè) 在以

58、 為中心、 r為半徑的球面 上的平均值 為 。則 ( , , , )u x y z t ( , , )M x y z MrS ( , )u r t 2 11( , ) ( , ) d ( , ) d 4 4 MM rrSS u r t u M t S u M tr 三、二維波動方程 Cauchy問題的降維法 二維波動方程 Cauchy問題是 2 , , , 0 , , 0 , , , , 0 , tt x x y y t u a u u x y t u x y x y u x y x y （ ） 2 1 ( , ) d

59、 d 4 MM a t a tSS u M t S S a t t t d S M at y 0 x z d 四、波動方程 Cauchy問題一維、二維、三維的比較 考查二維和三維波動方程 Cauchy問題 2 00 , , , 0 ( , ) , ( , ) tt t t t u a u x y t u x y u x y 2 00 , , , , 0 ( , , ) , ( , , ) tt t t t u a u x y z t u x y z u x y z 1 是一個任意函數(shù)。令

60、則 是函數(shù) 在區(qū)間 上的算術(shù)平均值，積分的 大小依賴于區(qū)間的中點(diǎn) x和區(qū)間的半徑長。 2函數(shù) ，總滿足方程 。 3如果要求 還滿足初始條件 ，則只需將被積函數(shù) 換成 。如果 還要求滿足初始條件 ，只需 將 換成 。兩者都換了以后， 就成為波動方程一 維初值問題的解。 ()x 1( , ) ( ) d 2 x at x atV x t at ( , )V x t () , x at x at 12 ( , ) ( , ) , tV

61、x tu tV x t u t 2tt xxu a u 1u 0 ()ttux ()x ()x 2u 0 ()tux ()x ()x 12uu 五、 Poisson公式的物理意義 4.4 非齊次波動方程解法 為了求解無界空間中非齊次波動方程定解問題 2 00 ( , , , ) , , ( , , ) , ( , , ) tt t t t u a u f x y z t x y z u x y z u x y z ， 將定解問題化為 2 00 , , ( , , ) , ( , , ) tt t t t u a u x y z u x y z u

62、 x y z ， 2 00 ( , , , ) , , 0 , 0 tt t t t u a u f x y z t x y z uu ， 5.1 Fourier變換 5.2 Fourier變換的應(yīng)用 5.3 Laplace變換 5.4 Laplace變換的應(yīng)用 5.5 其他的積分變換 第五章 積分變換 5.1 Fourier變換 一、 Fourier變換的定義 定理 1 若 ,且在一個周期內(nèi)只有有限個第 一類間斷點(diǎn)與極值點(diǎn)，則 其中 ( ) ( 2 )f x f x L 0 1 ( ) ,

63、 c o s s in ( 0 ) ( 0 )2 , 2 nnn f x xa n x n x ab f x f xLL x 為 連 續(xù) 點(diǎn) 為 不 連 續(xù) 點(diǎn) 1 ( ) c os d 1 ( ) si n d L n L L n L nxa f x x LL nxb f x x LL 0, 1, 2, n 定義 1 稱為 f(x)的 Fourier變換， f(x)稱為 的 Fourier逆變換。 ()f ()f Fourier變換有多種形式。這些形式的差異主 要體現(xiàn)在積分號前的系數(shù)以及被積函數(shù)中指 數(shù)函數(shù)的指數(shù)符號

64、。本書采用工程應(yīng)用中典 型的定義形式，這樣的 Fourier變換許多性質(zhì) 也可以從物理上得到解釋。 二、正（余）弦變換的定義 定義 2 Fourier余弦變換是指 定義 3 Fourier逆余弦變換是指 0 ( ) ( ) c os d cf f x x x 0 2 ( ) c os d c f x f x () 定義 4 Fourier正弦變換是指 定義 5 Fourier逆正弦變換是指 0 ( ) ( ) sin dsf f x x x 0 2 ( ) ( ) sin d s f x f x 三、 Fourier變換的基本性質(zhì)

65、 性質(zhì) 1 Fourier變換是一個線性變換：對于任意常數(shù) 、 與任意函數(shù) 、 有 1()fx 2()fx 1 2 1 2F ( ) ( ) F ( ) F ( ) f x f x f x f x 定義 6 設(shè) 都滿足 Fourier變換的條件，則稱 為 的卷積。記為 12( ) , ( )f x f x 12 df x f 12( ) , ( )f x f x 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) df x f x f x f 性質(zhì) 2 的卷積的 Fourie

66、r變換等于 的 Fourier變換的乘積： 12( ), ( )f x f x 12( ) , ( )f x f x 1 2 1 2F ( ) ( ) F ( ) F ( ) f x f x f x f x 11 2 1 2 ( ) ( ) F ( ) ( ) f x f x f f 性質(zhì) 3 乘積的 Fourier變換等于它們各自的 Fourier變換的卷積再乘以系數(shù) ，即 12( ), ( )f x f x 12 1 2 1 2 1 F ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x f f 性質(zhì) 4 F ( ) j ( )f x f ()F ( ) ( j ) ( ) kkf x F f x 性質(zhì) 5 ( ) F j ( ) f x f x 性質(zhì) 6 設(shè)為任意常數(shù)，則 0 x 0j 0F ( ) e F ( ) xf x x f x 性質(zhì) 7 設(shè) 為任意常數(shù)，則 0 0j 0F e ( ) ( )x f x f 性質(zhì) 8 1F ( ) d F ( )